精品解析：山东省济南市东南片区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 一、选择题（本大题共10个题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列关于天气的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 太阳能是储量巨大的可再生能源，其开发与利用备受关注．某实验室研发的高效太阳能电池的超薄纳米涂层，其厚度仅为米．其中数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，以A为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连接交于点E，已知的周长为13，，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知a，b，c是的三条边，则下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 7. 在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　） A. 16° B. 28° C. 44° D. 45° 8. 如图是一个H型连通器模型，甲、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面积是乙水箱底面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处(体积忽略不计)，现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．下列图象能大致反映甲水箱的水面高度y与注水时间x之间关系的图象是（） A. B. C. D. 9. 如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于F，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 某班同学都报名参加了学校举办的数学节闯关活动，该活动共有A，B，C，D，E五个项目，每位同学选择其中的两项(不考虑顺序)，以下是该班的报名表： 项目类型 A B C D E 报名人数 15 10 13 10 12 若选择组合的刚好有10人，则选择组合的人数是（　　）人 A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 二、填空题（本大题共5个题，每题4分，共20分．） 11. 如图，已知，则的度数为___________． 12. 四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为___________． 13. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 14. 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为___． 15. 如图，，，，点是射线上的动点，以为边在左侧作等边三角形，连接，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共10个题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 17 先化简，再求值：，其中， 18. 请阅读下面的推理过程，并填空（填写理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一条直线上，且，．请说明： 证明：如图2，延长交于点P ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴ ___________（等量代换） ∴（ ） ∴___________（两直线平行，同旁内角互补） 又∵___________ （已知） ∴（ ） ∴（ ） 19. 如图，在中，D是上一点，E是外一点，，，．求证：． 20. （1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点均在格点上． ①的长度为 ___________；的面积=___________； ②在图（1）中作出关于直线l对称的； ③若点P为直线l上的一点，在图（1）中标出的值最小时点P的位置．（仅用无刻度的直尺在网格中完成画图） （2）如图（2），在正方形网格中，点A，B在格点上． ①请在网格中找出一个格点C（一个即可），使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点C有___________个． 21. 在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20个，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）． （2）假如你去摸一次，你摸到白球概率是______，摸到黑球的概率是______． （3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个． 22. 阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以帮助我们求代数式的最大值或最小值．例如：求的最小值． 解：，，， 所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； （2）的最小值等于___________； （3）当___________时，多项式有最___________值，是___________； 【知识迁移】 （4）代数式的最小值为___________． 23. 如图1，长方形中，，动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上的速度为每秒1个单位长度，在边上的速度为每秒2个单位长度，在边上的速度为每秒3个单位长度．设运动时间为x 秒，的面积为S，S与x的关系图象如图2所示． （1） ___________， ___________； （2）当时，求x的值； （3）如图3，连接，当点P在线段的垂直平分线上时， ___________；当点P在的角平分线上时， ___________． 24. 本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得结论或方法解决一般性问题． 【问题】 如图1，已知等边三角形中，，点P为边上一点，过P作于点E，于点F．求的值． 【特殊化】 （1）因为点P在边上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时，恰为边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时的长，由此可得到特殊情形的结论：的值等于___________． 【一般化证明】 （2）上述条件下，请在图1中添加高线，求证：． 【迁移应用】 （3）已知等边三角形，． ①如图2，点P为内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．则的值为___________； ②如图3，若点P在线段的延长线上，过点P分别向，作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段，的数量关系为___________； ③如图4，若点P是等边三角形外一点，且，连接，则用等式表示线段，，的数量关系为___________． 25. 类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： （1）如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点但不与边相交，过点作于点，过点作于点．小明同学分析图形关系，发现了，以及三角形全等，在此基础上，请进一步探索并直接写出，，之间的数量关系：___________； （2）如图，在中，，点，分别在边，上，，且．若，，求的长度（用含，的代数式表示）； （3）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接，； 探索与的数量关系并说明理由； 在点，运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当点共线时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 一、选择题（本大题共10个题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴2算术平方根是， 故选：C． 2. 下列关于天气的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意； B．图形不是轴对称图形，不符合题意； C．图形不是轴对称图形，不符合题意； D．图形是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 3. 太阳能是储量巨大的可再生能源，其开发与利用备受关注．某实验室研发的高效太阳能电池的超薄纳米涂层，其厚度仅为米．其中数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此来解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，同底数幂除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在中，以A为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连接交于点E，已知的周长为13，，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据尺规作图得到，是的垂直平分线，进而得到，然后根据的周长为13求解即可． 【详解】由题意得，， 是的垂直平分线 ∴ ∵的周长为13， ∴ ∴，即， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 6. 已知a，b，c是的三条边，则下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，熟练应用勾股定理逆定理是解题的关键． 根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A．由，设，，，则，即，能判定不是直角三角形，不合题意； B．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意． C．由可得，，不能判定是直角三角形，不合题意； D．由可得即，满足勾股定理逆定理，能判定是直角三角形，符合题意； 故选：D． 7. 在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　） A. 16° B. 28° C. 44° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出， 【详解】解：延长，交于， 是等腰三角形，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 8. 如图是一个H型连通器模型，甲、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面积是乙水箱底面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处(体积忽略不计)，现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．下列图象能大致反映甲水箱的水面高度y与注水时间x之间关系的图象是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是根据题意，结合图象来解答； 由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段：甲水面上升，乙水面上升，甲、乙水面一起上升，再根据甲、乙底面积的关系求出的关系即可得到结论． 【详解】解：阶段一：注水开始，水只注入甲水箱．由于甲水箱是圆柱体，底面积固定，水匀速注入，根据（是水位高度，是注入水的体积，是甲水箱底面积），水位随时间匀速上升，对应图象是从原点开始缓慢上升的线段． 阶段二：当甲水箱水位到达连接管位置，此时继续注水，水会通过连接管流入乙水箱．因为甲水箱底面积是乙水箱的倍，相同时间注入相同体积的水，根据，乙水箱水位上升速度是甲水箱阶段一的倍．要使乙水箱水位从初始到连接管位置（和甲水箱到达连接管位置时的水位变化量相同），根据（是时间，是水位变化量，是水箱底面积，是注水速度），乙水箱水位上升时间是甲水箱阶段一的一半，即阶段二时间是阶段一的一半，此阶段甲水箱水位保持不变，对应图象是水平线段． 阶段三：当乙水箱水位也到达连接管位置后，再注水时甲乙水箱同时升高．此时相当于向两个连通的水箱注水，甲水箱底面积大，根据（、分别是甲乙水箱底面积），水位上升速度比阶段一慢，对应图象是上升但坡度比阶段一小的线段． 综上，注水过程分三个阶段，结合各阶段时间和水位变化特点，阶段二时间是阶段一的一半，阶段三水位上升速度变慢．符合的图象是A选项； 故选：A． 9. 如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于F，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先过点E作，设，根据，得出的面积的面积，即，进而求得x的值即可． 【详解】解：过点E作， ∵是的平分线，于F， ∴， 设， ∵是中线，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线、中线以及三角形的面积的计算，解决问题的关键是根据的面积，列出方程求解．解题时注意方程思想的运用． 10. 某班同学都报名参加了学校举办的数学节闯关活动，该活动共有A，B，C，D，E五个项目，每位同学选择其中的两项(不考虑顺序)，以下是该班的报名表： 项目类型 A B C D E 报名人数 15 10 13 10 12 若选择组合的刚好有10人，则选择组合的人数是（　　）人 A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查组合计数与方程求解的综合应用，关键是根据各项目报名人数建立方程，通过代入消元求解组合人数． 利用各项目的总人数建立方程，结合已知条件求解． 【详解】解：∵每位同学选2项，总报名人次为， ∴班级共有人． ∵项目B的总人数为10，且选组合的有10人， ∴其他含B的组合人数为，即． ∵项目D的总人数为10， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵项目A的总人数为15， ∴． 代入，得 ∵项目C的总人数为13， ∴． 代入，得 ． ∵项目E的总人数为12，故 ∴． 代入，得 ． 由，得． 由，得． 代入，得 ，解得． 综上，选择组合的人数为8人， 故选：D． 二、填空题（本大题共5个题，每题4分，共20分．） 11. 如图，已知，则的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键．分两种情况，①时，②时，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：分两种情况： ①时， 在中，，符合题意； ②时， 在中，，不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，线段的长为3， 故答案为：3． 13. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率计算公式及应用，熟练掌握面积之比几何概率是解题的关键． 根据飞镖扎在阴影区域的概率阴影区域面积与总面积之比，计算即可得到答案． 【详解】解：设小正方形面积为， 飞镖游戏板由大小相等的个小正方形构成， 飞镖游戏板的面积为，阴影区域面积为， 飞镖扎在阴影区域的概率是， 故答案为：． 14. 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为___． 【答案】5 【解析】 【分析】设DE=x，则AE=8-x．先根据折叠性质和平行线的性质，得∠EBD=∠CBD=∠EDB，则BE=DE=x，然后在直角三角形ABE中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设DE=x，则AE=8-x． 根据折叠的性质，得∠EBD=∠CBD． ∵AD∥BC， ∴∠CBD=∠ADB， ∴∠EBD=∠EDB， ∴BE=DE=x． 在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得 x2=（8-x）2+16， 解得x=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 15. 如图，，，，点是射线上的动点，以为边在左侧作等边三角形，连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，垂直平分线的判定与性质，以为边在下方作等边，连接，交于点，则有，，又是等边三角形，所以，，证明，得到，得，即垂直平分，则，从而有，则当点三点共线时最小，即最小，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边在下方作等边，连接，交于点， ∴ ，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 则当点三点共线时，如图， ∴最小，即最小，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算、整式的混合运算、零指数幂和负整数指数幂等知识，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用幂的运算法则计算各项后，再合并同类项即可； （2）利用绝对值、二次根式的性质化简、负整数指数幂和零指数幂进行计算即可； （3）利用二次根式的除法和乘法，二次根式的性质化简，再进行二次根式的加减法即可； （4）利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 17. 先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式，单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 18. 请阅读下面的推理过程，并填空（填写理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一条直线上，且，．请说明： 证明：如图2，延长交于点P ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴ ___________（等量代换） ∴（ ） ∴___________（两直线平行，同旁内角互补） 又∵___________ （已知） ∴（ ） ∴（ ） 【答案】；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】证明：延长交于点P ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴ （等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 又∵（已知） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∴（同角的补角相等） 19. 如图，在中，D是上一点，E是外一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意可得，根据全等三角形的判定可证明，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明：∵， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. （1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点均在格点上． ①的长度为 ___________；的面积=___________； ②在图（1）中作出关于直线l对称的； ③若点P为直线l上的一点，在图（1）中标出的值最小时点P的位置．（仅用无刻度的直尺在网格中完成画图） （2）如图（2），在的正方形网格中，点A，B在格点上． ①请在网格中找出一个格点C（一个即可），使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点C有___________个． 【答案】（1）①，5；②见解析；③见解析 （2）①见解析；②4 【解析】 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，算术平方根的应用，作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （）①利用算术平方根的定义求解，利用割补法计算面积即可；②根据轴对称图形的性质作图即可；③连接，与直线相交于点，点即为所求； （）①根据轴对称图形的性质画图即可；②根据①所画图形即可求解； 【详解】（1）解：①：以为边作正方形， 则 ∴（舍负）， 的面积， 故答案为：，； ②如图所示，即为所求； ③如上图，点即为所求； （2）解：①如图所示，即为所求； ②由图可知，符合条件的格点有个， 故答案为：． 21. 在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20个，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）． （2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______． （3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个． 【答案】（1）0.6 （2）， （3）白色12个，黑色8个 【解析】 【分析】（1）根据摸球的次数1000次时摸到白球的频率，即可估计出摸到白球的频率． （2）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率． （3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只． 本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系． 【小问1详解】 根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6． 故答案为：0.6． 【小问2详解】 因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， 所以摸到白球的概率是；摸到黑球的概率是． 故答案为：，． 【小问3详解】 因为摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是．所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球个，黑球个． 22. 阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以帮助我们求代数式的最大值或最小值．例如：求的最小值． 解：，，， 所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； （2）的最小值等于___________； （3）当___________时，多项式有最___________值，是___________； 【知识迁移】 （4）代数式的最小值为___________． 【答案】（1）9；（2）1；（3）3，大，12；（4）6． 【解析】 【分析】本题考查了多项式、完全平方式和多项式的最值． （1）利用已知条件中的配方法求出答案即可； （2）把所给多项式配方，写成一个完全平方式，根据偶次方的非负性，求出其最值即可； （3）把所给多项式配方，写成一个完全平方式，根据偶次方的非负性，求出其最值即可； （4）利用分组分解法分解因式，再写成完全平方式，求出其最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是完全平方式， 故答案为：9； （2）解： ， ， ∴当时，即时，有最小值1， 故答案为：1； （3）解： ， ， ， 当时，即时，多项式有最大值，最大值是12， 故答案为：3，大，12； （4）解： ， ， 代数式有最小值，最小值为6， 故答案为：6． 23. 如图1，长方形中，，动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上的速度为每秒1个单位长度，在边上的速度为每秒2个单位长度，在边上的速度为每秒3个单位长度．设运动时间为x 秒，的面积为S，S与x的关系图象如图2所示． （1） ___________， ___________； （2）当时，求x的值； （3）如图3，连接，当点P在线段的垂直平分线上时， ___________；当点P在的角平分线上时， ___________． 【答案】（1）8，12 （2）或11 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象进行解答即可； （2）分两种情况进行解答即可； （3）利用垂直平分线和角平分线和角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理列方程进行解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，在边上运动时， 面积为， 解得， 点P在边上的速度为每秒1个单位长度，在边上的速度为每秒2个单位长度，在边上的速度为每秒3个单位长度． ∴， 故答案为：8，12； 【小问2详解】 解：当时，有两种情况： 当点P在边上时， ， 解得， 当点P在边上时， ， 解得， 综上可知，或11； 【小问3详解】 解：连接，当点P在线段的垂直平分线上时，如图，连接，设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 当点P在的角平分线上时，作于点Q， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； 【点睛】此题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线和垂直平分线的性质等知识，分情况讨论是解题的关键． 24. 本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置（如顶点、中点、对称点等）、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题】 如图1，已知等边三角形中，，点P为边上一点，过P作于点E，于点F．求的值． 【特殊化】 （1）因为点P在边上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时，恰为边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时的长，由此可得到特殊情形的结论：的值等于___________． 【一般化证明】 （2）在上述条件下，请在图1中添加高线，求证：． 【迁移应用】 （3）已知等边三角形，． ①如图2，点P为内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．则的值为___________； ②如图3，若点P在线段的延长线上，过点P分别向，作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段，的数量关系为___________； ③如图4，若点P是等边三角形外一点，且，连接，则用等式表示线段，，的数量关系为___________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①3，②，③ 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题关键是用特殊化策略，借面积法、构造全等转化线段关系． （1）利用等边三角形“三线合一”，结合勾股定理求$AC$边上高，因与重合时，故值为该高． （2）连接，将面积拆分为与面积和，依据，通过面积公式化简证得 ． （3）①连接、、，把面积拆为三个小三角形面积和，结合等边三角形高公式，推出等于高 ．②连接，将与面积作差等于面积，利用等边三角形边长与高的关系，得到的数量关系 ． ③延长构造，连接，证，再证为等边三角形，从而得出 ． 【详解】（1）当点与顶点重合时，此时（因为、重合，，垂足也与重合），为边上的高， 是等边三角形，，则． 过作于，则为中点（等边三角形三线合一），． 在中， ，即． 把，代入可得： ， 此时，， 所以． 故答案为． （2）作交于点，连接， ， ， ， ， ； （3）①连接、、，作 将分割为、、， ∴． 过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F． ∴，，， ∴．．． ． 因为是等边三角形， 所以． 将上述面积关系代入可得： ． 在等边三角形中，， 由（1）得等边三角形的高公式（为边长）， 可得． 所以． 故答案为：； ②连接 将图形分割为和， ∴． 对于，以为底，为高，面积． 对于，以为底，为高，面积． 对于，以为底，为高（是等边三角形的高），面积． ∵是等边三角形， ∴． 将上述面积关系代入可得： 得． 在等边三角形中，， 由（1）得等边三角形的高公式（为边长）， ∴， ， ∴； 故答案为：； ③延长至，使，连接． ∵是等边三角形， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， 在和中： ∴． ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴． 25. 类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： （1）如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点但不与边相交，过点作于点，过点作于点．小明同学分析图形关系，发现了，以及三角形全等，在此基础上，请进一步探索并直接写出，，之间的数量关系：___________； （2）如图，在中，，点，分别在边，上，，且．若，，求的长度（用含，的代数式表示）； （3）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接，； 探索与的数量关系并说明理由； 在点，运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当点共线时，直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）； （3），理由见解析；． 【解析】 【分析】（）由，，则有，从而可得，然后证明即可； （）由，则，故有，然后证明即可； （）在上取一点，使得，连接，由，，则，再证明，，所以，，又，，则，从而得出，然后代入即可求证； 由，，，，可得，由点共线，则，则可得，由勾股定理得，由得，则有，求出即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：，理由， 如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$