精品解析：江西省九江市瑞昌部分校 2024-2025学年八年级下学期5月联考（月考）数学试题

江西省八年级阶段评估（七） 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列不属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中必须含有字母的式子才是分式，若分母为常数，则属于整式． 【详解】解：A、，分母为，含字母，属于分式； B、，分母为，含字母，属于分式； C、，分母为（常数），不含字母，属于整式，不是分式； D、，分母为，含字母，虽然分子可因式分解为，但原式形式仍满足分式定义． 故选：C． 2. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判断，把一个多项式分成几个因式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选D． 3. 如图，平分，在上取一点P，过P作，若，则点P到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结果． 【详解】解：∵平分，在上取一点P，过P作，， 则：点到的距离等于，点到的距离等于点到的距离， ∴点P到的距离为； 故选B． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．根据分式的乘法运算法则计算即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 5. 小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用图形法进行因式分解，解题的关键是数形结合，用两种方法表示大长方形的面积． 用两种方法表示大长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成， ∴大长方形的面积为， 另外大长方形可以看作一般长为宽为的长方形组成， ∴大长方形的面积为， ∴可以得到一个因式分解的等式为，故D正确． 故选：D． 6. 若的三边长a，b，c满足，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，先把等式的右边都移项到左边，再分解因式，再根据几个数相乘得0，至少有一个为0求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∵a，b，c为三角形的三边长， ∴，，即， ∴一定是等腰三角形． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若分式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可得到答案． 【详解】解：若分式有意义，则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零是解题关键． 8. 如图，该数轴所表示的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集时向右画；向左画，，要用实心圆点表示，，要用空心圆点表示，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，该数轴所表示的不等式的解集是， 故答案为：． 9. 某公园准备修建一块长方形草坪，长为，宽为，并在草坪上修建如图的十字路．若十字路的路宽为，则草坪的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据草坪的面积等于长方形草坪面积减去横向小路面积和纵向小路面积再加上两条小路重合部分的面积进行计算． 【详解】根据题意可得： 长方形草坪面积， 横向小路面积， 纵向小路面积， 两条小路重合部分面积， 所以剩余草坪面积 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形面积和有理数的混合运算，解决本题的关键是要熟练分析图形中面积关系． 10. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的5倍后，分式的值为2，那么原分式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的求值，根据题意可得，据此可得． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴原分式的值为， 故答案为：． 11. 简便运算：________． 【答案】10000 【解析】 【分析】本题考查了因式分解、完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有________． 【答案】7或或3 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，不等式的应用，一元一次方程． 先根据分式的性质化简分式为，然后根据题意得到且为整数，得到关于x的方程，进而求解即可． 【详解】解： ∵x为整数，且分式的值为正整数， ∴且为整数， 即且为整数， ∴或， 解得或或3． 故答案为：7或或3． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 14. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，过点B作的高线． （2）在图2中，过点C作的高线． 【答案】（1） 即为所求， （2） 即为所求， 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理与网格问题、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据勾股定理可得，取的中点D，连接，根据等腰三角形的性质，可知是的高线； （2）构造，与交点即为，可得高线． 【小问1详解】 解：设正方形网格中每个小正方形的边长为1， 则，， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴的高线即为所求； 【小问2详解】 解：由图可得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的高线即为所求． 15. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质以及分式的求值，解题关键是熟练运用分式的运算法则对等式进行变形，整体代入求值． 将变形为，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ． 16. 风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分． 【答案】 证明：∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴垂直平分． 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，全等三角形的性质和判定， 首先证明出，得到，然后结合即可得到垂直平分． 【详解】略 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在答题比赛中，每名选手回答10道题，每答对一题得5分，每答错一题扣1分，则至少要答对多少道题，得分才能不少于35分？ 【答案】至少要答对8道题，得分才能不少于35分 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据“每答对一题得5分，每答错一题扣1分，得分不少于35分”可以列出相应的不等式，解不等式即可解答本题． 【详解】解：设答对x道题，则答错道题， 根据题意得，， 解得， ∵x取整数， ∴至少要答对8道题，得分才能不少于35分． 19. 有一块周长为20米的长方形菜地，若米，米，且满足 （1）求这块长方形菜地的面积； （2）求的长度． 【答案】（1）平方米 （2）的长度为米 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，因为，所以，即可作答． （2）先整理得，再结合勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵有一块周长为20米的长方形菜地，米，米， ∴， ∵ ∴， ∴， 这块长方形菜地的面积为平方米； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵菜地是长方形， ∴， 在中，（米）， ∴的长度为米． 20. 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如： ①分解因式； ②求代数式的最小值：由可知，当时，有最小值，最小值是． 根据以上材料内容，使用配方法解答下列问题． （1）分解因式：________． （2）当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值． 【答案】（1） （2），，的值最小，最小值为 【解析】 【分析】（）根据题例①因式分解即可； （）利用配方法把原式转化为，进而根据非负数的性质解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴当，时，即，，的值最小，最小值为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法，并完成题（2）． （1）两个连续的奇数的平方差能被8整除吗？为什么？ （2）①若k为任意整数，则的值总能________． A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 ②必能被10和20之间某两个整数整除，求这两个数． 【答案】（1） 两个连续的奇数的平方差能被8整除，理由如下： 设两个连续的奇数分别为和，m为任意整数， ， ∵m为任意整数， ∴是8的整数倍， 即两个连续的奇数的平方差能被8整除； （2）①C；②15和17 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式、平方差公式． （1）设两个连续的奇数分别为和，m为任意整数，则两个连续的奇数的平方差为，利用完全平方公式展开，再合并同类项后得，即可得出结论； （2）①利用完全平方公式展开，再合并同类项后得，即可得出答案； ②利用平方差公式展开得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：① ， ∵k为任意整数， ∴是整数， ∴的值总能被5整除， 故选：C； ② ， ∴这两个数是15和17． 22. 【阅读】 我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只需要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【运用】 （1）若，要比较和的大小，只需要， ∴可得_______．（填“”“”或“”） （2）若，，，试比较与的大小． （3）甲、乙两水果店分别两次采购同一种苹果，第一次采购的价格为元/斤，第二次采购的价格为元/斤（是整数，且）．甲店两次各购买了斤苹果，乙店两次购买苹果均花费了元．试比较甲店和乙店两次采购苹果的平均价格的高低． 【答案】（1） （2） （3）甲店的平均价格比乙店的平均价格高 【解析】 【分析】（）根据作差法的比较法则即可求解； （）求出的差，再根据作差法的比较法则即可判断求解； （）根据题意表示出甲店和乙店的平均价格，再利用作差法比较即可判断求解； 本题考查了作差法，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得，甲店的平均价格为元/斤， 乙店的平均价格为元/斤， ∴ ， ∵，，且， ∴，， ∴， 即， ∴甲店的平均价格比乙店的平均价格高． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与探究 如图，在等边三角形中，，是边上的中线．E是射线上的一动点，连接，以点B为旋转中心，把线段顺时针旋转后，得到线段，连接，． （1）如图1，当点E在线段上，求证：． （2）如图2，当点E在线段的延长线上，若，求的长． （3）连接，若，求的长． 【答案】（1） ∵在等边三角形中， ∴， ∵把线段顺时针旋转后，得到线段 ∴， ∴ ∴ ∴； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由等边三角形和旋转得到，，，推出，即可证明； （2）同（1）可得，，得到，然后利用勾股定理分别求出，，然后证明出是等边三角形，即可得到； （3）根据题意分两种情况讨论，分别根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 同（1）可得， ∴ ∵在等边三角形中，，是边上的中线 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵把线段顺时针旋转后，得到线段 ∴是等边三角形 ∴； 【小问3详解】 如图所示，当点E在线段上时， 同（1）可得， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当点E在射线延长线上时， ∵ ∴ 同（1）可得， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省八年级阶段评估（七） 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列不属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平分，在上取一点P，过P作，若，则点P到的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ） A. B. C. D. 6. 若的三边长a，b，c满足，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若分式有意义，则的取值范围是________． 8. 如图，该数轴所表示的不等式的解集是________． 9. 某公园准备修建一块长方形草坪，长为，宽为，并在草坪上修建如图的十字路．若十字路的路宽为，则草坪的面积为______． 10. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的5倍后，分式的值为2，那么原分式的值为________． 11. 简便运算：________． 12. 已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 因式分解： （1）； （2）． 14. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，过点B作的高线． （2）在图2中，过点C作的高线． 15. 已知，求的值． 16. 风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分． 17. 先化简，再求值：，其中． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在答题比赛中，每名选手回答10道题，每答对一题得5分，每答错一题扣1分，则至少要答对多少道题，得分才能不少于35分？ 19. 有一块周长为20米的长方形菜地，若米，米，且满足 （1）求这块长方形菜地的面积； （2）求的长度． 20. 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如： ①分解因式； ②求代数式的最小值：由可知，当时，有最小值，最小值是． 根据以上材料内容，使用配方法解答下列问题． （1）分解因式：________． （2）当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法，并完成题（2）． （1）两个连续的奇数的平方差能被8整除吗？为什么？ （2）①若k为任意整数，则的值总能________． A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 ②必能被10和20之间某两个整数整除，求这两个数． 22. 【阅读】 我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只需要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【运用】 （1）若，要比较和的大小，只需要， ∴可得_______．（填“”“”或“”） （2）若，，，试比较与的大小． （3）甲、乙两水果店分别两次采购同一种苹果，第一次采购的价格为元/斤，第二次采购的价格为元/斤（是整数，且）．甲店两次各购买了斤苹果，乙店两次购买苹果均花费了元．试比较甲店和乙店两次采购苹果的平均价格的高低． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与探究 如图，在等边三角形中，，是边上的中线．E是射线上的一动点，连接，以点B为旋转中心，把线段顺时针旋转后，得到线段，连接，． （1）如图1，当点E在线段上，求证：． （2）如图2，当点E在线段的延长线上，若，求的长． （3）连接，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $