精品解析：山东省德州市德城区三校联考2024-2025学年下学期第二次月考八年级数学试题

2024-2025学年第二学期6月份阶段性检测 八年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，故本选项中的式子不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、，故本选项中的式子不是最简二次根式； D、，故本选项中的式子不是最简二次根式； 故选：B. 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，熟知概念是关键. 2. 的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用．通过分析各条件中角的关系或边的比例，判断是否为直角三角形． 【详解】①由，代入内角和，得，化简得，故，为直角三角形，符合条件； ②设，，，则，解得，最大角，不满足条件； ③由展开得，即，根据勾股定理逆定理，为直角三角形，符合条件； ④设，，，则，满足勾股定理，为直角三角形，符合条件． 综上，符合条件的有①、③、④，共3个． 故选C． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，根据平方根的定义，算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：，选项A正确； ，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D错误． 故选：A． 4. 小明在班上做节约用水意识的调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：4，4，6，7，8，9，10．他发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数，众数保持不变，则去掉的两个数可能是（ ） A. 4，10 B. 4，9 C. 7，8 D. 6，8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出原数据的中位数和众数，分析即可得到应去掉的两个数． 【详解】解：∵4，4，6，7，8，9，10的众数是4，中位数是7， ∴去掉的两个数可能是6，8，9，10中的任意两个数，不能去掉的数是4和7， 故选：D． 【点睛】此题考查了求数据的中位数和众数，正确理解中位数及众数的求法是解题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】向上平移，则，根据图像位置与系数的关系判断． 【详解】解：由题知，， ∵ ∴位于第一、二、三象限． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图像平移，掌握图像平移与点坐标变化的关系是解题的关键． 6. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A. OA＝OC B. AB＝CD C. ∠BCD＝90° D. AD//BC 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可． 【详解】解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO， ∴OA＝OB＝OD， ∵AO＝OC， ∴AO＝OB＝OD＝OC， 即对角线平分且相等， ∴四边形ABCD为矩形，不符合题意； B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD， 无法得出△ABO≌△DCO， 故无法得出四边形ABCD是平行四边形， 进而无法得出四边形ABCD是矩形，符合题意； C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO， ∴OA＝OB＝OD， ∵∠BCD＝90°， ∴AO＝OB＝OD＝OC， 即对角线平分且相等， ∴四边形ABCD为矩形，不符合题意； D、∵AD//BC，∠BAD＝90°,BO＝DO， ∴∠CBO＝∠ADO， ∵∠COB＝∠DOA， ∴△AOD≌△BOC（ASA）， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理． 7. 一艘轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地，横坐标表示航行的时间，纵坐标表示轮船与甲地的距离，则下列说法错误的是（ ） A. 轮船从甲地到乙地的平均速度为 B. 轮船在乙地停留了 C. 轮船从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度 D. 甲、乙两地相距 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象逐项分析即可，解题的关键是看懂图象，获取信息． 【详解】、轮船从甲地到乙地的平均速度为，此选项不符合题意； 、轮船在乙地停留了，此选项不符合题意； 、轮船从乙地到甲地的平均速度为，则轮船从乙地到甲地的平均速度小于去时的速度，此选项符合题意； 、根据图象可知：甲、乙两地相距，此选项不符合题意； 故选：． 8. 如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，折痕为与，，根据正方形的性质：正方形的对角线平分对角，可得，．所以剪口与折痕所成的角的度数应为． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，． ∴剪口与折痕所成的角的度数应为． 故选：B． 【点睛】本题通过折叠变换考查正方形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作，易得出答案． 9. 若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．根据函数图象知：一次函数过点；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出、的关系式；然后将、的关系式代入中进行求解 【详解】解：一次函数经过点，函数值随的增大而减小， ； 令，则， ； 解关于的不等式，移项得：； 两边同时除以， ， ． 故选：C 10. 如图，矩形中，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接．则下列结论： ①；②； ③；④当时，四边形是菱形． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】通过判断△AND≌△CMB即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF证明出③，再证明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，进而判断出②，通过 DF与EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE，即可知四边形为菱形． 【详解】∵BF⊥AC ∴∠BMC=90° 又∵ ∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC ∴∠DNA=∠BMC=90° ∵四边形ABCD为矩形 ∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB ∴∠ADB=∠CBD ∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO即∠AND=∠CBM 在△AND与△CMB ∵ ∴△AND≌△CMB(AAS) ∴AN=CM，DN=BM，故①正确． ∵AB∥CD ∴∠NAE=∠MCF 又∵∠DNA=∠BMC=90° ∴∠ANE=∠CMF=90° 在△ANE与△CMF中 ∵ ∴△ANE≌△CMF（ASA） ∴NE=FM，AE=CF，故③正确． 在△NFM与△MEN中 ∵ ∴△NFM≌△MEN（SAS） ∴∠FNM=∠EMN ∴NF∥EM，故②正确． ∵AE=CF ∴DC-FC=AB-AE，即DF=EB 又根据矩形性质可知DF∥EB ∴四边形DEBF为平行四边 根据矩形性质可知OD=AO， 当AO=AD时，即三角形DAO为等边三角形 ∴∠ADO=60° 又∵DN⊥AC 根据三线合一可知∠NDO=30° 又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30° 故DE=EB ∴四边形DEBF为菱形，故④正确． 故①②③④正确 故选D． 【点睛】本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知是整数，则满足条件的最小正整数n为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可求出答案． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是整数， ∴是一个平方数， ∴最小正整数n为5； 故答案为：5 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 12. 如图，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线求出P点坐标，不等式的解即为直线OP在直线PQ下方时，对应的x的范围 【详解】 ∵点在上 ∴ 即 故 ∵ 即直线OP在直线PQ下方 由图知，此时 故答案为： 【点睛】本题考查一元一次不等式与一次函数，注意以两直线交点作为分界点去看 13. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也向右滑，则梯子的长度为________. 【答案】##5米 【解析】 【分析】设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，然后由勾股定理求出的长度． 【详解】解：设， 由题意得：，，， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴ ， 即梯子的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 14. 如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿，，运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是_______． 【答案】20 【解析】 【分析】点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明的长为4； 当点P在上运动时，的面积保持不变，就是矩形面积的一半，并且动路程由4到9，说明的长为5； 根据上述求出的矩形的边长，求出矩形的面积. 本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出、的长度是解决问题的关键． 【详解】解：结合图形可以知道，P点在上，的面积为y增大， 当x在4-9之间时的面积不变，得出，， ∴矩形的面积为：． 故答案为：20． 15. 已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是______；记直线和与x轴围成的三角形面积为，当k＝1时，可求得，请计算的值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】变形解析式得到两条直线都经过点，即可证出无论取何值，直线与的交点均为定点；先求出与轴的交点和与轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出，求出，，以此类推，相加后得到． 【详解】解：直线， 直线经过点； 直线， 直线经过点． 无论取何值，直线与的交点均为定点． 直线与轴的交点为，， 直线与轴的交点为，， ， ； ． 故答案为, ． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题，解题的关键是掌握一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与轴的交点的纵坐标为0，与轴的交点的横坐标为0． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的乘法与除法，二次根式的化简，再合并即可； （2）先利用平方差公式与完全平方公式进行二次根式的乘法运算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键． 四、解答题：本题共7小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 每年月日为“全国爱眼日”按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示． 类别 视力 视力 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽查的学生中，视力状况属于类的学生有________人，类所在扇形的圆心角的度数是________；并补全条形统计图． （2）对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为________类； （3）已知该校共有名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数． 【答案】（1），， 补全条形统计图为： ． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据． （1）首先利用类的人数和所占的百分比求得总人数，然后乘以类所占的百分比，即可求得类学生的人数． （2）用周角乘以类所占的百分比即可． （3）用样本数据估计总体数据即可． 【小问1详解】 解：观察两个统计题知：类有人，占， ∴调查的总人数为人， ∴视力情况属于类的学生有人， 类所在扇形的圆心角的度数为， 故答案为，． 【小问2详解】 解：由条形统计图可得，每类人数分别为人，人，人，人，共人， ∴中位数为第人和第人的平均数，均落在了类， ∴本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为类， 故答案为． 【小问3详解】 解：人， ∴估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为人． 18. 如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到点处，如图3． （1）请你按小明的方案求出旗杆的高度； （2）已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】（1）旗杆的高度为米 （2）绳结离地面米高 【解析】 【分析】（1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程，求出，进而求解即可． 【小问1详解】 如图，设旗杆的长度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故旗杆的高度为米： 【小问2详解】 由题可知，米，米． 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴（米）， ∴米． 故绳结离地面米高． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B． （1）求交点P的坐标； （2）求PAB的面积； （3）请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围． 【答案】（1）；（2）3；（3） 【解析】 【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标； （2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可； （3）根据图象求得即可． 【详解】解:根据题意，交点的横、纵坐标是方程组的解 解这个方程组，得 交点的坐标为 直线与轴的交点的坐标为 直线与轴交点的坐标为 的面积为 在图象中把直线在直线上方的部分 描黑加粗，图示如下: 此时自变量的取值范围为 【点睛】 本题考查了两条直线平行或相交问题，两条直线的交点坐标是两条直线的解析式构成的方程组的解． 20. 小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． （1）函数的自变量x的取值范围是_________________； （2）下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 1 m 3 … 写出表中m的值； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图像； （4）小明结合该函数图像，解决了以下问题： ①对于图像上两点，，若，则_______（填“＞”，“＝”或“＜”）； ②当时，若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数的值，则k的取值范围是_______________． 【答案】（1）全体实数； （2）0； （3） 该函数图象如图所示： （4）①＜ ② 【解析】 【分析】（1）无论x取任何实数，该函数都有意义，则自变量x的取值范围是全体实数； （2）把代入函数，即可求得m的值； （3）根据表中的数值描点，连线即可得到函数图象； （4）①根据函数的增减性判断即可； ②当时，函数可化为，结合函数的图象即可解答． 【小问1详解】 无论x取任何实数，该函数都有意义，则自变量x的取值范围是全体实数； 故答案为：全体实数 【小问2详解】 把代入函数，得，所以． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 ①由图象可得，当时，图象从左到右下降，即y随x的增大而减小； 当时，图象从左到右上升，即y随x的增大而增大． ∴图像上两点，，当，则 故答案为：＜ ②当时， 若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数的值，则 故答案为： 【点睛】本题考查函数的性质及其图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 21. 为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的． （1）求篮球、足球的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式； （3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？​ 【答案】（1）篮球每个100元，足球每个80元； （2）； （3）足球45个，篮球15，费用最少为5100元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价，注意分式方程要检验； （2）根据题意，可以写出w与m的函数关系式； （3）根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少； 【小问1详解】 设篮球每个x元，足球每个 元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 则足球的单价为： （元）， 答：篮球每个100元，足球每个80元； 【小问2详解】 由题意得：， 即w与m的函数关系式为； 【小问3详解】 由题意可得：， 解得：， ， 由（2）得：， ， 随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值， 此时元，，， 故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 22. 阅读下列材料： 数学课上老师出示了这样一个问题：如图1，等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边AD上，斜边BF交CD于点Q，连接PQ．请探索PQ、AP、CQ的数量关系． 某学习小组的同学经过探索，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将△ABP旋转到△CBE位置，然后通过证明△BPQ≌△BEQ来探索数量关系． （1）（问题解决）请你根据他们的想法写出PQ、AP、CQ的数量关系是________； （2）（学以致用）如图2，若等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边DA的延长线上，斜边BF的延长线交CD的延长线于点Q，连接PQ，猜想线段PQ，AP，CQ满足怎样的数量关系？并证明你的结论； （3）（思维拓展）等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内部一点，若BC＝2．则AP＋BP＋CP的最小值＝________． 【答案】（1）PQ＝AP＋CQ （2） CQ＝AP＋PQ，理由如下： 如图2，将△ABP绕点B顺时针旋转90°到△CBE， ∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，AP＝CE， ∵BP＝PF，∠BPF＝90°， ∴∠PBF＝45°， ∴∠ABP＋∠ABQ＝45°， ∴∠EBC＋∠ABQ＝45°＝∠QBE＝∠PBF， 又∵BE＝BP，BQ＝BQ， ∴△BQE≅△BQP（SAS）， ∴PQ＝QE， ∴PQ＝QE＝QC−CE＝QC−AP， ∴CQ＝AP＋PQ； （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，AP＝CE，∠A＝∠BCE＝90°，由“SAS”可证△BQE≅△BQP，可得PQ＝QE，可得结论； （2）由旋转的性质可得BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，AP＝CE，由“SAS”可证△BQE≅△BQP，可得PQ＝QE，可得结论； （3）由旋转的性质可得AC＝A'C＝2，∠A'CA＝∠PCP'＝60°，CP＝CP'，AP＝A'P'，可证△CPP'是等边三角形，可得CP＝PP'，当点A'，点P'，点P，点B四点共线时，BP＋AP＋CP有最小值为A'B的长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，将△ABP绕点B顺时针旋转90°到△CBE， ∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，AP＝CE，∠A＝∠BCE＝90°， ∴∠BCD＋∠BCE＝180°， ∴点E，点C，点D三点共线， ∵BP＝PF，∠BPF＝90°， ∴∠PBF＝45°， ∴∠ABP＋∠CBQ＝45°， ∴∠EBC＋∠CBQ＝45°＝∠QBE＝∠PBF， 又∵BE＝BP，BQ＝BQ， ∴△BQE≅△BQP（SAS）， ∴PQ＝QE， ∴PQ＝QE＝QC＋CE＝AP＋QC； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3，将△ACP绕点C顺时针旋转60°，得到△A'CP'，连接PP'，A'B，过点A'作A'E⊥BC，交BC的延长线于E， ∴AC＝A'C＝2，∠A'CA＝∠PCP'＝60°，CP＝CP'，AP＝A'P'， ∴△CPP'是等边三角形， ∴CP＝PP'， ∴BP＋AP＋CP＝BP＋PP'＋A'P'， ∴当点A'，点P'，点P，点B四点共线时，BP＋AP＋CP有最小值为A'B的长， ∵∠A'CE＝180°−∠ACA'−∠ACB＝30°，A'E⊥CE， ∴A'E＝A'C＝1，EC＝， ∴A'B＝＝， ∴AP＋BP＋CP的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________； 探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由． 探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里． 【解析】 【分析】延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 探究延伸1：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 探究延伸2：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可． 【详解】解：EF=AE+CF 理由：延长到G，使，连接， 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE+∠CBF=60°， ∴∠CBG+∠CBF=60°， 即∠GBF=60°， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 探究延伸1：结论EF=AE+CF成立． 理由：延长到G，使，连接， 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=2∠MBN， ∴∠ABE+∠CBF=∠ABC， ∴∠CBG+∠CBF=∠ABC， 即∠GBF=∠ABC， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立． 理由：延长到G，使，连接， ∵，∠BCG+∠BCD=180°， ∴∠BCG=∠BAD 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=2∠MBN， ∴∠ABE+∠CBF=∠ABC， ∴∠CBG+∠CBF=∠ABC， 即∠GBF=∠ABC， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C， ∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°， ∴∠EOF=∠AOB ∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°， ∴符合探索延伸中的条件 ∴结论EF= AE+CF仍然成立 即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为210海里． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期6月份阶段性检测 八年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 小明在班上做节约用水意识的调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：4，4，6，7，8，9，10．他发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数，众数保持不变，则去掉的两个数可能是（ ） A. 4，10 B. 4，9 C. 7，8 D. 6，8 5. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 6. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A. OA＝OC B. AB＝CD C. ∠BCD＝90° D. AD//BC 7. 一艘轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地，横坐标表示航行的时间，纵坐标表示轮船与甲地的距离，则下列说法错误的是（ ） A. 轮船从甲地到乙地的平均速度为 B. 轮船在乙地停留了 C. 轮船从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度 D. 甲、乙两地相距 8. 如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接．则下列结论： ①；②； ③；④当时，四边形是菱形． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知是整数，则满足条件的最小正整数n为__________． 12. 如图，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集是______． 13. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也向右滑，则梯子的长度为________. 14. 如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿，，运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是_______． 15. 已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是______；记直线和与x轴围成的三角形面积为，当k＝1时，可求得，请计算的值为_______． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 16. 计算： （1） （2） 四、解答题：本题共7小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 每年月日为“全国爱眼日”按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示． 类别 视力 视力 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽查的学生中，视力状况属于类的学生有________人，类所在扇形的圆心角的度数是________；并补全条形统计图． （2）对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为________类； （3）已知该校共有名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数． 18. 如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到点处，如图3． （1）请你按小明的方案求出旗杆的高度； （2）已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B． （1）求交点P的坐标； （2）求PAB的面积； （3）请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围． 20. 小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． （1）函数的自变量x的取值范围是_________________； （2）下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 1 m 3 … 写出表中m的值； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图像； （4）小明结合该函数图像，解决了以下问题： ①对于图像上两点，，若，则_______（填“＞”，“＝”或“＜”）； ②当时，若对于x的每一个值，函数的值小于正比例函数的值，则k的取值范围是_______________． 21. 为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的． （1）求篮球、足球的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式； （3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？​ 22. 阅读下列材料： 数学课上老师出示了这样一个问题：如图1，等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边AD上，斜边BF交CD于点Q，连接PQ．请探索PQ、AP、CQ的数量关系． 某学习小组的同学经过探索，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将△ABP旋转到△CBE位置，然后通过证明△BPQ≌△BEQ来探索数量关系． （1）（问题解决）请你根据他们的想法写出PQ、AP、CQ的数量关系是________； （2）（学以致用）如图2，若等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边DA的延长线上，斜边BF的延长线交CD的延长线于点Q，连接PQ，猜想线段PQ，AP，CQ满足怎样的数量关系？并证明你的结论； （3）（思维拓展）等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内部一点，若BC＝2．则AP＋BP＋CP的最小值＝________． 23. 问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________； 探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由． 探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $