精品解析：吉林省松原市前郭县第一中学2024—2025学年下学期期末考试八年级数学试卷

前郭县2024-2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下面各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 正比例函数y＝（m﹣1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（　　） A. m＝1 B. m＞1 C. m＜1 D. m≥1 3. 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（ ） A. B. C. D. 4. 农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A. 16，15 B. 16，15.5 C. 16，16 D. 17，16 5. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 比较大小：________．（用、或连接） 8. 若直线向下平移个单位长度后经过点，则的值为________． 9. 2025年4月23日是第30个世界读书日．某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占进行计算，某选手这三项的得分依次为80，95，80，则这位选手的最后得分是______． 10. 如图，校园内有一块等边三角形的空地，已知M，N分别是边，的中点，量得米，若想把四边形用围栏围成一个花园，则需要围栏的长是______． 11. 如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 三、解答题（共11小题，共87分） 12. 以下是某同学化简二次根式：的运算过程： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 （1）上面的运算过程中第一步出现了两个错误，分别是：①______，②______；第二步出现了一个错误：③______． （2）请你写出正确完整的解答过程． 13. 图①、图②均是的正方形网格，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，作出以，为边的正方形； （2）在图②中，作出的中线． 14. 如图1，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从食堂吃完早餐，接着骑自行车去图书馆读书，然后以相同的速度原路返回家．如图2中反映了小明离家的距离与他所用时间之间的函数关系． （1）小明骑自行车速度为______； （2）求小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式； （3）当小明离家的距离为时，求x的值． 15. 如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 16. 已知：，． （1）求和的值； （2）求式子的值． 17. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，________． 同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 18. 如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． （1）求四边形的面积； （2）小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 19. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 20. 如图，矩形纸片，，，点P为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点E． （1）为何值时，点E与点A重合； （2）当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点在直线AB上． （1）求直线的解析式． （2）P为x轴上一动点，连接，当最小时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形是平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ （3）若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前郭县2024-2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下面各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同时满足以上条件的二次根式是最简二次根式，据此逐项判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 、，不是最简二次根式，该选项不合题意． 故选：． 2. 正比例函数y＝（m﹣1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（　　） A. m＝1 B. m＞1 C. m＜1 D. m≥1 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质进行解得即可． 【详解】∵比例函数y＝（m﹣1）x的图象经过第一、三象限， ∴m﹣1＞0， ∴m＞1． 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象与所经过的象限的问题，熟练掌握函数性质是解题的关键． 3. 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 4. 农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A. 16，15 B. 16，15.5 C. 16，16 D. 17，16 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：16出现了10次，出现的次数最多，则众数是16； 把这组25个数据从小到大排列，第13个数是16 则这组数据的中位数是16； 故选C． 5. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形的斜边上的中线性质和菱形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由菱形的性质得，根据题意得，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故选：． 6. 已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数的性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 本题考查了一次函数图象的性质以及一次函数与与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数图象的性质及数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， 所以①正确； ∵直线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 所以②错误； ∵当时，， ∴关于x的方程的解为， 所以③正确； ∵当，直线在直线的下方， ∴时，． 所以④错误． 故答案为：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 比较大小：________．（用、或连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式 的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键．将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ，即， 故答案为：． 8. 若直线向下平移个单位长度后经过点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，点的坐标与函数的关系；掌握函数上下平移的特征：上加下减是关键；由题意可得平移后的一次函数解析式，把点的坐标代入平移后的解析式中即可求解． 【详解】解：直线向下平移个单位长度后的解析式为：； 由于经过点， 则； 故答案为：． 9. 2025年4月23日是第30个世界读书日．某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占进行计算，某选手这三项的得分依次为80，95，80，则这位选手的最后得分是______． 【答案】86 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，利用求加权平均数的公式计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：86． 10. 如图，校园内有一块等边三角形的空地，已知M，N分别是边，的中点，量得米，若想把四边形用围栏围成一个花园，则需要围栏的长是______． 【答案】20米 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质． 根据三角形的中位线等于第三边的一半求出BC的长，也就是等边三角形的边长，据此求解即可． 【详解】解：∵M，N分别是边的中点，米， ∴是的中位线， ∴米， ∵是等边三角形， ∴米， ∴米， ∴篱笆的长（米）． 故答案为：20米． 11. 如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得出，推出，证出可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 三、解答题（共11小题，共87分） 12. 以下是某同学化简二次根式：的运算过程： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 （1）上面的运算过程中第一步出现了两个错误，分别是：①______，②______；第二步出现了一个错误：③______． （2）请你写出正确完整的解答过程． 【答案】（1）①；②；③ （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，绝对值的意义以及算术平方根的定义等知识． （1）根据完全平方公式，绝对值的意义以及算术平方根的定义求解即可． （2）按照二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：① ② ③ 故答案为：；； 【小问2详解】 13. 图①、图②均是的正方形网格，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，作出以，为边的正方形； （2）在图②中，作出的中线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是作正方形，作三角形的中线，正方形的判定与性质，勾股定理与勾股定理的逆定理； （1）如图，取格点，连接，则四边形即为所求； （2）如图，取格点，连接，连接交于，则即为所求. 【小问1详解】 解：如图所示，正方形即为所求； ； 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 解：如图所示，中线即为所求： ； 由（1）可得，四边形为正方形； ∴， ∴为的中线. 14. 如图1，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从食堂吃完早餐，接着骑自行车去图书馆读书，然后以相同的速度原路返回家．如图2中反映了小明离家的距离与他所用时间之间的函数关系． （1）小明骑自行车速度为______； （2）求小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式； （3）当小明离家的距离为时，求x的值． 【答案】（1）200 （2） （3）x的值为1或41 【解析】 【分析】(1)根据图象中的数据，可知小明家与图书馆的距离，根据速度=路程÷时间即可计算出小明骑自行车的速度； (2)先求出小明从图书馆回到家用的时间，然后即可得到函数图象与x轴的交点，再设出函数解析式，根据点和图象与x轴的交点，即可计算出y与x的函数解析式； (3)分两种情况，分别求出x的值即可． 【小问1详解】 解：由图象可得，小明家与图书馆的距离为， 小明骑自行车的速度为：， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：小明从图书馆回到家用的时间为：， ， 小明从图书馆返回家的过程中，设y与x的函数解析式为， ∵点，在该函数图象上， 解得， 即小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式为：； 【小问3详解】 解：当小明从食堂去图书馆离家的距离为时， 此时他距离食堂，所用的时间 小明从图书馆返回家的过程中，当时， ， 解得， 综上，当小明离家的距离为时，x的值为1或41． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出函数解析式． 15. 如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键． （1）由，，得，由四边形是平行四边形，点在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质和矩形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 16. 已知：，． （1）求和的值； （2）求式子的值． 【答案】（1）， （2）24 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式、代数式求值． （1）把，代入求值即可； （2）根据，，利用完全平方公式进行变形，再整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 17. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，________． 同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 【答案】（1）85，87，七； （2）220 （3） 我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好， 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数， A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生； 故答案为：85，87，七； 【小问2详解】 （人）， 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 18. 如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． （1）求四边形的面积； （2）小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【答案】（1）平方米 （2）线段的长度为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵米，米 ∴米 ∵ ∴是直角三角形，且 ∴四边形的面积为平方米 【小问2详解】 解：由（1）可得是直角三角形， 依题意，米， 设米，则米 在中， ∴ 解得：，即线段的长度为米． 19. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1），（2）（3）与不是关于1的平衡数 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【详解】(1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 20. 如图，矩形纸片，，，点P为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点E． （1）为何值时，点E与点A重合； （2）当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 【答案】（1）为时，点E与点A重合 （2）当时，的面积最大值为10 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，当点E与点A重合时，即可求解； （2）由折叠可知，由平行线的性质可得，于是可得，，由，可知当最大时，的面积最大，而在中，只要当最大时，就最大，于是可得当最大时，最大，设，则，在中，利用勾股定理建立方程解得，再求出此时，的面积即可． 【小问1详解】 解：当点E与点A重合时，如图， ∵四边形为矩形， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴为时，点E与点A重合； 【小问2详解】 解：如图， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，而的长度不变， ∴当最大时，的面积最大， 又∵， ∴最大时，的面积最大， 而在中，只要当最大时，就最大， ∴当最大时，最大， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大值为10． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点在直线AB上． （1）求直线的解析式． （2）P为x轴上一动点，连接，当最小时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形是平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）过点B作轴的对称点，连接，显然由对称得,，故，当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点，可求直线的表达式为，令，即可求解； （3）利用平行四边形的性质和平移的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为：， 代入点得，， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点B作轴的对称点，连接， 当时，， ∴ 由对称得,， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点， 设直线的表达式为， 代入点坐标得，， 解得：， ∴设直线的表达式为， 当是，， 解得， ∴此时． 【小问3详解】 解：∵平行四边形， ∵， ∴点B向点P的平移方式与点A向点的平移方式一样， ∵， ∴点B向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点P， ∴点A向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点 而， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，“将军饮马”求最值，平行四边形的性质 ，平移的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 22. 如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ （3）若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 【答案】（1） （2）图象见解析，性质：当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，还考查了平行四边形的性质，勾股定理； （1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论； （2）先确定，，然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从最值写出函数的一条性质； （3）通过平移直线，与相交，找到只有一个交点时的临界点，根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止， ∴当点到达点时秒，当点到达点时秒， ∴当时，点在线段上，此时，； 当时，点在线段上， 此时，； ∴； 【小问2详解】 解：函数图象如图： 由函数图象可得，当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可）； 【小问3详解】 解：平移直线，与相交，函数图象如图： 把代入可得； 把代入可得，解得； 把代入可得，解得； 由函数图象可得，直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $