精品解析：湖北省天门市五校2024-2025学年八年级下学期第三次水平能力测试数学试卷

2025年春季八年级五月联考数学试卷 考试时间：120分钟 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 2. 下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 7，24，25 C. 5，12，13 D. 1，1， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形． 【详解】解：A、，此三角形不是直角三角形，故此选项符合题意； B、，此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C、，此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 如图，下列的四个图象中，不能表示是的函数图象的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义可以判断哪个选项中的图象不是示与的函数图象，本题得以解决． 【详解】解：由函数的定义可知， 选项A、B、D中的函数图象符合函数的定义，选项C中的图象，对于任意一个x的值，与之对应的y的值不唯一，不符合函数的定义， 故选：C． 【点睛】本题考查函数的图象、函数的概念，解答本题的关键是明确函数的定义，利用数形结合的思想解答． 4. 已知直线经过点，则a的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足其函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值． 【详解】解：直线经过点， ， 解得：， 故选：A． 5. 若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要使函数值y随x的增大而增大可以得到，由此可以求出m的取值范围． 【详解】：解：要使函数值y随x的增大而增大， 则， 解得， 则m取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 6. 已知菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质，对角线互相垂直，则菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得的 【详解】根据题意， 故选C 【点睛】本题考查了菱形的性质，理解菱形的性质是解题的关键． 7. 在中，点，分别是，上的点，且，点是延长线上一点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：、∵， ∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意； 、∵， ∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意； 、由，，判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 8. 如图，三个函数的图象对应的表达式为：；；，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质，掌握函数图象的性质是解题的关键． 根据正比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵图象在第二、四象限， ∴， ∵，图象在第一、三象限，，， ∵直线在第一、三象限越陡，则越大， ∴， ∴， 故选：． 9. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分三个过程：当水的高度不高于小水杯的高度，当小水杯没有装满水，小水杯装满水，分别分析出高度与时间的关系即可得到答案． 【详解】解：当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度前，水杯内水面的高度为非0的定值，故选项A、D不合题意；当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度后，水杯内水面的高度逐渐增大，当水杯内水面的高度达到水杯高度时，水杯内水面的高度不再增加，故选项B符合题意；选项C不合题意； 10. 如图1，在矩形中，，，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠．使点落在边上的处，点落在处，连接，若，如图2，若为中点，连接．则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作于点H，由折叠性质以及矩形性质可得，证明，得到，，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，过点B作于点H， 由矩形折叠可知，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ∵若为中点， ∴ ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 将化成最简二次根式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理求平面直角坐标系中两点的距离，解题关键是掌握勾股定理． 直接利用勾股定理求解． 【详解】解：点到原点的距离是， 故答案为：5． 13. 已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，则一次函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两条直线平行的问题，解题的关键是知道两条直线平行的条件是相等．根据两直线平行的条件可知，再把代入中，可求，进而可得一次函数解析式． 【详解】解：设一次函数的表达式为， 与直线平行， ， 把代入中，得， 一次函数解析式是， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，，，E为的中点，连接，如果，则________． 【答案】53 【解析】 【分析】连接，延长交于点F，作于G，得出，由平行线的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，证出，得出，证明，得出，，得出，由等腰三角形的性质即可得出结果． 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：连接，延长交于点F，作于G，如图所示： ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 故答案为：53． 15. 如图，直线与的交点的横坐标为．下列结论：①，；②直线一定经过点；③m与n满足；④当时，．其中正确的有________．（只填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①由直线与轴交于负半轴，可得；的图象从左往右逐渐上升，可得，即可判断结论①正确； ②将代入，求出，即可判断结论②正确； ③由整理即可判断结论③正确； ④观察函数图象，可知当时，直线在直线的上方，即，即可判断结论④正确． 【详解】】解：①直线与轴交于负半轴， ； 的图象从左往右逐渐上升， ， 故结论①正确； ②将代入，得， 直线一定经过点． 故结论②正确； ③直线与的交点的横坐标为， 当时，， ． 故结论③正确； ④当时，直线在直线的上方， 当时，， 故结论④错误． 故答案为①②③． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与一元一次不等式以及一次函数的图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】首先化简二次根式进而合并得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 17. 如图，在中，点分别在上，，交于点O．求证． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先由平行四边形的性质得，则，结合，得，再证明，即可作答． 【详解】略 18. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）14 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值 （1）先计算出， 再利用完全平方公式得到，进而即可得解； （2）由（1）知出，再算出，然后利用平方差公式化简即可得解； 熟练掌握二次根式的运算法则是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知 ， ∵， ． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形， （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、 【答案】（1） 如图1所示：正方形即为所求； （2） 如图2所示：三角形即为所求． 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形， （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形， 本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长，熟练掌握定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东方向走了到达B点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离． 【答案】A、C两点之间的距离为． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据所走的方向可判断出是直角三角形，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：∵， ， 在中，，， ， 、C两点之间的距离为． 21. 如图，过点的直线与直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题及待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． （1）将点和点的坐标代入即可解决问题． （2）求出点的坐标，再利用三角形的面积公式即可解决问题． 【小问1详解】 解：将点和点的坐标代入得， ， 解得， 所以直线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：将代入得， ， 所以点的坐标为， 所以， 所以． 22. 如图，矩形中，点E为边上任意一点，连结，点F为线段的中点，过点F作．与、分别相交于点M、N，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形性质、菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质等知识点，解题关键是熟练掌握矩形性质、菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质． （1）先根据矩形性质和已知条件证明，，，从而证明，在根据全等三角形的性质证明四边形EMCN是平行四边形，再证明，从而得到，最后利用菱形的判定定理证明即可； （2）根据（1）中的结论得到，然后设，利用已知条件和勾股定理求出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知四边形是菱形， ， 设， 四边形是矩形， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ∴的长为． 23. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． （1）【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是____________； （2）【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 【答案】（1）①，；②5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法． （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值． 【小问1详解】 解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1， ∵，， 则四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； 【小问2详解】 解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，则四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，点在直线上． （1）求点A，B的坐标； （2）若点C是x轴的负半轴上一点，且，求直线的表达式； （3）在（2）的条件下，若E是直线上一动点，过点E作轴交直线于点Q，轴，轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A的坐标为；点B的坐标为； （2）直线的表达式为 （3）存在，当点E的坐标为或时，四边开形为正方形 【解析】 【分析】（1）分别将、代入即可解答； （2）如图，过点作轴于点．先求出P点坐标，再求出、的长，然后根据求得C点坐标，再运用待定系数法即可解答； （3）如图2，设点的坐标为，可得Q点纵坐标，再代入可得Q点得坐标，然后表示出、的长，再令其相等求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴点B的坐标为 将代入，得，解得， ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴点P的坐标为． 如图，过点P作轴于点H． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． ∴ 设直线的表达式为． 将，代入， 得解得 直线的表达式为． 【小问3详解】 解：存在，E的坐标为或，理由如下： ∵轴，轴 ∴ ∵轴 ∴四边开形为矩形 如图2，设点E的坐标为， ∵轴， ∴点Q的纵坐标也为． 把代入，得，解得． ∴点Q的坐标为 ∴，． ∵当时，矩形为正方形， ∴，解得或． 当时，；当时，， ∴当点E的坐标为或时，四边开形为正方形． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、待定系数法求一次函数解析式以及正方形的性质等知识点，灵活运用一次函数的性质、待定系数法、正方形的性质成为本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季八年级五月联考数学试卷 考试时间：120分钟 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 2. 下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 7，24，25 C. 5，12，13 D. 1，1， 3. 如图，下列的四个图象中，不能表示是的函数图象的是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知直线经过点，则a的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，点，分别是，上的点，且，点是延长线上一点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三个函数的图象对应的表达式为：；；，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，，，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠．使点落在边上的处，点落在处，连接，若，如图2，若为中点，连接．则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 10 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 将化成最简二次根式为______． 12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____． 13. 已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，则一次函数的表达式为______． 14. 如图，在四边形中，，，，E为的中点，连接，如果，则________． 15. 如图，直线与的交点的横坐标为．下列结论：①，；②直线一定经过点；③m与n满足；④当时，．其中正确的有________．（只填序号） 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 如图，在中，点分别在上，，交于点O．求证． 18. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形， （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、 20. 如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东方向走了到达B点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离． 21. 如图，过点的直线与直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 22. 如图，矩形中，点E为边上任意一点，连结，点F为线段的中点，过点F作．与、分别相交于点M、N，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，当时，求的长． 23. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． （1）【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是____________； （2）【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，点在直线上． （1）求点A，B的坐标； （2）若点C是x轴的负半轴上一点，且，求直线的表达式； （3）在（2）的条件下，若E是直线上一动点，过点E作轴交直线于点Q，轴，轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $