精品解析：河北省唐山市路南区2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

2024～2025学年度第二学期知识清单梳理 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．考试结束时，请将答题卡交回． 一、选择题（本题有14个小题，每小题2分，共28分） 1. 如图，四边形的两条对角线、交于点O，下列不能判定是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，，不能判定四边形是平行四边形（如等腰梯形），故选项D符合题意； 故选：D． 2. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 3. 下列函数中，属于正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如 (其中)的函数是正比例函数，根据正比例函数的定义即可判断． 【详解】解：根据正比例函数的定义可知：为正比例函数， 故选：A． 4. 下列曲线中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义逐项判断即可求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、给定一个的值，有唯一一个值和它对应，是的函数，该选项符合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 故选：． 5. 若、是正比例函数（为常数，且）图象上的两点，那么与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较正比例函数的函数值大小，根据，可得y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵、是正比例函数（为常数，且）图象上的两点，且， ∴， 故选：B． 6. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象可由直线向下平移1个单位得到 C. 点，都在直线1上，则 D. 图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键． 【详解】解：A、，的值随值的增大而减小，原说法错误，不符合题意； B、一次函数可由直线向上平移1个单位得到，原说法错误，不符合题意； C、的值随值的增大而减小，，，则该说法正确，符合题意； D、，，一次函数的图象经过第一、二、四象限，原说法错误，不符合题意； 故选： ． 7. 如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 8 C. 12 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，由于点，于点，得，则，即可根据“”证明，得，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 于点，于点，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：A． 8. 如图，四边形是菱形，对角线，交于点，是边的中点，过点作，，点，为垂足，若，，则的长为（　　） A. 7 B. 10 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，证出四边形是矩形，得到即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ，，， 在中，， 又是边的中点， ， ，，， ，，， 四边形为矩形， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 9. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是过作于，证明，由菱形的面积公式求出的长．过作于，由菱形的性质推出，，，，平分，由角平分线的性质推出，由于，，，得到、、共线，因此，由勾股定理求出，由菱形的面积公式得到，即可求出，得到的值． 【详解】解：过作于， 四边形是菱形， ，，，，平分， 于， ， ，，， 、、共线， ， ，， ，， ， 菱形的面积， ， ． 的值为． 故选：C 10. 如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．交于点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明，设，将、和分别表示出来，在中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 设，则，，， 在中，根据勾股定理，得，即， 解得． 故选：A． 11. 函数的图象如图所示，函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置． 【详解】解：函数的图象经过第一、三、四象限， ，， 函数的图象经过第一、二、四象限． 12. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解． 首先利用得到点P坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为：， 故选：B． 13. 如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②；③；④的最小值为；⑤一定是等腰三角形．其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直的定义得到，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到．根据正方形的性质得到，求得是等腰直角三角形，得到，①正确；延长交于点N，延长交于点M．推出四边形是正方形，，根据全等三角形的性质得到；故②正确；根据垂直的定义得到，故③正确；当时，最小，即最小，此时是等腰直角三角形，斜边为，于是得到的最小值为，故④正确；当或或时，是等腰三角形，除此之外，不是等腰三角形，故⑤错误． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故①正确； 延长交于点N，延长交于点M， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵，， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 故②正确； ， 与中，，， ∴， ∴， 故③正确； ∵矩形中，， ∴当时，最小，即最小， 此时是等腰直角三角形，斜边为， 则， ∴的最小值为， 故④正确； ∵点P是正方形的对角线上任意一点，， ∴当或或时，是等腰三角形， 除此之外，不是等腰三角形， 故⑤错误． 综上，正确的有①②③④，一共4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、垂线段最短、矩形的判定和性质，解决线段间的数量关系，可以借助特殊三角形的性质求解，转化线段是解决本题的关键． 14. 早晨，小刚上学途中发现忘带学具，停下往家里打电话，妈妈接到电话后立刻带上学具从家出发沿着同一路线赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，小刚始终以米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法中正确的个数是（ ） ①小刚打电话分钟后与妈妈相遇； ②小刚家与学校的距离是米； ③小刚从家到学校一共用了分钟； ④小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度是米/分． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象的实际意义，结合题意正确理解函数图象，利用基本行程问题解决问题．根据函数的图象和已知条件分别分析探讨其正确性，进一步判定得出答案即可． 【详解】解：①由图知小刚打电话后，5分钟与妈妈相遇，故原说法正确； ②∵小刚始终以米/分的速度步行， ∴小刚与妈妈相遇时，小刚妈妈所走路程（小刚妈妈离家的距离）为（米）， 根据题意，小刚妈妈回家的速度为：（米/分）， ∴小刚妈妈回到家所用的时间为：（分钟）， ∴分钟时，小刚妈妈回到家， ∴小刚家与学校的距离为（米），故原说法正确； ③小刚从家到学校的时间为：（分钟），故原说法正确； ④由②知妈妈回家的速度是米/分，故原说法正确； ∴正确的有①②③④共4个． 故选：D． 二、填空题（本题有6个小题，每空2分，共16分） 15. 如图，在菱形中，，，则菱形的周长是________． 【答案】20 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，熟记菱形的各种性质是解题关键．由四边形是菱形，可得，又由，则可证得是等边三角形，继而求得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， 即， 菱形的周长为：． 故答案为：20． 16. 直线向上平移2个单位后得到的直线解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直线的平移，根据“上加下减，左加右减”的法则求解即可． 【详解】解：直线向上平移2个单位后得到的直线解析式为， 故答案为：． 17. 若一次函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图形的性质，解题关键是明确一次函数不经过第二象限，比例系数大于0，常数项小于或等于0． 【详解】解：由题意知，一次函数的图象不经过第二象限， 故， 解之得：． 故答案为：． 18. 已知一次函数，当时，的最大值是_____，的最小值是_____． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】本题考查一次函数的增减性．根据题意，得到，再由一次函数的增减性解题即可． 【详解】解：一次函数中，， 随的增大而减小， 故当时， 的最大值是时，即， 的最小值是时，即， 故答案为：；1． 19. 瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列函数的关系式，正确理解题意并分类讨论是解题的关键． 分和两种情况，分别根据付款金额等于单价乘数量列出函数关系式即可． 【详解】解：当时由题意得：， 当时由题意得：， 综上，y与x之间的函数关系式为． 故答案为：． 20. 如图，在正方形中，为对角线，的交点，，分别为边，上一点，且，连接． （1）若，则的长为______． （2）若，则的最小值为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由正方形性质可得，，，又，则可得，然后证明，从而可得是等腰直角三角形，最后由勾股定理即可求解； （）由（）得是等腰直角三角形，若要最小，则最小即可，则当时，最小，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 根据勾股定理，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（）得是等腰直角三角形，若要最小，则最小即可， ∴当时，最小， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（满分56分） 21. 已知一次函数满足下列条件，分别求出，的取值范围． 使得随增加而减小． 使得函数图象与轴的交点在轴的上方． 使得函数图象经过一、三、四象限． 【答案】(1) ,取一切实数;(2)，；(3)，． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的性质，如果y随x的增大而减小，则一次项的系数小于0，由此得出2m-3＜0，即可求出m的取值范围； （2）先求出一次函数y=（2m-3）x+2-n与y轴的交点坐标，再根据图象与y轴的交点在x轴的上方，得出交点的纵坐标大于0，即可求出m的范围； （3）根据一次函数的性质知，当该函数的图象经过第一、三、四象限时，2m-3＞0，且2-n＜0，即可求出m的范围． 【详解】解：∵一次函数的图象随的增大而减小， ∴， 解得，取一切实数； ∵， ∴当时，， 由题意，得且， ∴，； ∵该函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，且， 解得，． 【点睛】考查的是一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与系数的关系是解答此题的关键． 22. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则　　　． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，进而得到，推出，证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，得到，，再利用勾股定理，求出，进而得到，最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ∴在中， ∴， ∵，O为中点， ∴。 23. 如图，一次函数图象与y轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）计算四边形的面积． （3）下列说法正确的有______（填序号）； ①关于x的不等式的解集是；②关于x的方程的解是； ③关于x的不等式的解集是． 【答案】（1） （2） （3）②③ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，三角形面积公式，是解题的关键． （1）先求得，再利用待定系数法求解即可； （2）设交y轴于点D，求出，得，由求出，得，根据，，得； （3）观察图象，利用数形结合，即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数图象经过点和， ∴， 解得， ∴一次函数； 【小问2详解】 解：设交y轴于点D， 当时，， ∴， ∴， ∵中，时，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：观察图象， ①关于x的不等式的解集是， 说法不正确； ②关于x的方程的解是， 说法正确； ③关于x的不等式的解集是， 说法正确． 综上，正确的说法是②③； 故答案为：②③ 24. 如图，四边形为菱形，为对角线上的一个动点（不与点，重合），连接并延长交射线于点，连接． （1）求证≌； （2）求证； （3）若，当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】 （1）证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， （2）证明：， ， ， ， ，即； （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出； （2）利用全等三角形平行线的性质即可解决问题； （3）利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出：①当在延长线上时；②当在线段上时；分别求出即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：分两种情况： ①如图1，当在延长线上时， 为钝角， 只能是， 设， 可通过三角形内角形为得：， 解得：， ； ②如图2，当在线段上时， 为钝角， 只能是，设，则有， 可证得：， 得， 解得：， ． 综上：或． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键． 25. 自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16 000元采购A型商品的件数是用7 500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元． (1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？ (2)若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围； (3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益． 【答案】（1）一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元；（2）80≤m≤125；（3）m＝80时，最大利润为(18 300－80a)元． 【解析】 【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题； （2）根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题； （3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，分三种情形讨论即可解决问题． 【详解】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元． 由题意：，解得x=150，经检验x=150是分式方程的解． 答：一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元． （2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件． 由题意：v=80m+70（250﹣m）=10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125，∴v=10m+17500（80≤m≤125）； （3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500： ①当10﹣a＞0时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750﹣125a）元． ②当10﹣a=0时，最大利润为17500元． ③当10﹣a＜0时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300﹣80a）元，∴当0＜a＜10时，最大利润为（18750﹣125a）元；当a=10时，最大利润为17500元；当a＞10时，最大利润为（18300﹣80a）元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期知识清单梳理 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．考试结束时，请将答题卡交回． 一、选择题（本题有14个小题，每小题2分，共28分） 1. 如图，四边形的两条对角线、交于点O，下列不能判定是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，属于正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列曲线中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若、是正比例函数（为常数，且）图象上的两点，那么与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象可由直线向下平移1个单位得到 C. 点，都在直线1上，则 D. 图象经过第二、三、四象限 7. 如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 8 C. 12 D. 2 8. 如图，四边形是菱形，对角线，交于点，是边的中点，过点作，，点，为垂足，若，，则的长为（　　） A. 7 B. 10 C. D. 5 9. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．交于点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 11. 函数的图象如图所示，函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A. B. C. D. 无法确定 13. 如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②；③；④的最小值为；⑤一定是等腰三角形．其中正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 早晨，小刚上学途中发现忘带学具，停下往家里打电话，妈妈接到电话后立刻带上学具从家出发沿着同一路线赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，小刚始终以米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法中正确的个数是（ ） ①小刚打电话分钟后与妈妈相遇； ②小刚家与学校的距离是米； ③小刚从家到学校一共用了分钟； ④小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度是米/分． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本题有6个小题，每空2分，共16分） 15. 如图，在菱形中，，，则菱形的周长是________． 16. 直线向上平移2个单位后得到的直线解析式为_______． 17. 若一次函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是____________． 18. 已知一次函数，当时，的最大值是_____，的最小值是_____． 19. 瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为__________． 20. 如图，在正方形中，为对角线，的交点，，分别为边，上一点，且，连接． （1）若，则的长为______． （2）若，则的最小值为______． 三、解答题（满分56分） 21. 已知一次函数满足下列条件，分别求出，的取值范围． 使得随增加而减小． 使得函数图象与轴的交点在轴的上方． 使得函数图象经过一、三、四象限． 22. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则　　　． 23. 如图，一次函数图象与y轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）计算四边形的面积． （3）下列说法正确的有______（填序号）； ①关于x的不等式的解集是；②关于x的方程的解是； ③关于x的不等式的解集是． 24. 如图，四边形为菱形，为对角线上的一个动点（不与点，重合），连接并延长交射线于点，连接． （1）求证≌； （2）求证； （3）若，当为等腰三角形时，求的度数． 25. 自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16 000元采购A型商品的件数是用7 500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元． (1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？ (2)若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围； (3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $