精品解析：2025年河北省保定市易县九年级三模数学 试题　

2025年河北省初中数学学业水平仿真模拟考试（二） 注意事项： 1. 满分120分，答题时间120分钟． 2. 请将各题答案填涂在答题卡上． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列计算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（ ）     A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 3. 若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，这是用5个相同的小正方体搭成的立体图形，其三视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平分，矩形直尺的一边与垂直，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 八名同学一起到河北白洋淀游玩，购买当地文旅推出的冰箱贴，冰箱贴类型共四种，淇淇统计这八名同学购买的冰箱贴类型，并根据统计结果制作了如下两个统计图.由统计图可知，学生和学生购买的冰箱贴类型是（ ） A. 两人都是乙类型 B. 两人都是丙类型 C. 一个是乙类型，一个是丙类型 D. 一个是丙类型，一个是丁类型 9. 如图，用四根木条制作一个平行四边形框架，双手将它的两个对角慢慢向两边拉动，直至变为矩形框架停止，在这个变化过程中，设平行四边形的面积为y，高为x，则y与x之间的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 在平面直角坐标系中，将由点向点的移动称为“交错移动”．例如，点经过两次“交错移动”，先移动到点，再移动到点．下列各点中，无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则n的值为________. 14. 若，，则的值为_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边的边的中点M．若等边的面积为16，则k的值为_________． 16. 如图，，延长，交于点P，若，，，，则的值为_______. 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某校举行跳远能力竞赛，比赛场地从起跳线由近及远共三个得分区域，每个区域对应的分数如图所示，每位选手跳远5次，5次成绩的和为该选手的最终成绩，两位参赛选手的跳远情况如下图. （1）求嘉嘉5次跳远的最终成绩. （2）若淇淇的最终成绩为3分，求x的值. 18. 如图，这是一种正四面体（每个面都是正三角形）骰子，四个面上分别是整数1~4，投掷骰子，记录底面上的数字. （1）投掷一次，求底面数字为奇数的概率. （2）投掷两次，先后得到两个数字，如先后掷到“1”和“2”，记为12，可表示某月的12日；先后掷到“4”和“2”，记为42，则不能表示某月的日期.若第二次掷到的数字与第一次相同，则再掷一次，直到掷到的数字不同为止.请补全下列树状图，并根据树状图，求得到的两个数字能构成七月中的某个日期的概率. 19. 发现：差为4的两个正整数的积与4的和等于这两个正整数的平均数的平方.例如：. 验证： （1）4×8+4=_______=_______，7×11+4=_______=_______.（参照例题的格式填写） 证明： （2）设“发现”中的两个已知正整数中较小的正整数为k，请论证“发现”中的结论的正确性. 20. 如图，直线经过线段的中点，，为射线上的一动点，为射线上的一动点，，连接. （1）求证：. （2）若，当时，求的长. 21. 列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同的角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系． 1 2 1 0 2 画出的图象如下． （1）求a和b的值． （2）______，并在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象． （3）设直线与直线和分别交于A，B两点，当点A，B关于轴对称时，直接写出的值． 22. 如图1，是的直径，过圆上异于A，B两点且在上方的点P处作的切线，过点A作，交切线于点Q，连接，． （1）求证：平分． （2）移动点P，在移动过程中，始终垂直于． ①如图2，当点Q在的垂直平分线上时，与满足一定的数量关系，请写出此数量关系，并证明． ②如图3，当时，请直接写出与之间的数量关系，无需说明理由． 23. 最值是数学中的常见问题，嘉嘉和淇淇利用所学知识研究如下最值问题. （1）如图，在矩形中，，分别为和的中点，连接，为上的一动点.若，，则得最小值为_______. （2）如图1，抛物线与x轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点. ①求抛物线的函数解析式. ②抛物线的对称轴为直线，P为直线上的一动点，求的最小值. ③如图2，为直线上的一点，连接，请直接写出的最小值. 24. 【情境】在一次综合实践活动课上，老师给每名同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何确定正方形一边上的一个三等分点. 嘉嘉通过折叠的方法确定正方形一边上的一个三等分点. 【操作1】如图1，他先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折，得折痕，交于点G；过点G折叠正方形纸片，使折痕. 嘉嘉认为M是边的三等分点，嘉嘉的证明过程如下. ∵E，F分别是的中点，四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴★________， ∴. ∵， ∴■_______，即， ∴M是边的三等分点 （1）在证明过程中，“★”代表________，“■”代表________. 淇淇利用折叠和尺规作图相结合的方法确定正方形一边上的一个三等分点. 【操作2】如图2，她先将正方形纸片对折，使点A和点D重合，然后展开铺平，确定的中点E；再利用尺规作图在正方形内作，最后延长，交边于点G，淇淇认为G即为边AB的三等分点. （2）①利用尺规作图补全图形. ②求证. 【拓展研究】三等分点的应用 （3）如图3，在菱形中，，，E是上靠近点D的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直接写出的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中数学学业水平仿真模拟考试（二） 注意事项： 1. 满分120分，答题时间120分钟． 2. 请将各题答案填涂在答题卡上． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列计算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的定义，有理数加法，有理数减法，有理数乘法，有理数除法，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（ ）     A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行公理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解，∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴过点P作直线的平行线，可作的平行线有1条， 故选：A 3. 若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于 1 与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故， 故选：B． 4. 如图，这是用5个相同的小正方体搭成的立体图形，其三视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看所得到的图形，主视图是从正面看所得到的图形，左视图是从左面看所得到的图形，熟练掌握知识点是解题的关键．根据三视图的概念，再根据小正方体的个数和排列进行作答即可． 【详解】解：这个立体图形的三视图为： 故选：A． 5. 如图，平分，矩形直尺的一边与垂直，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等，根据题意得出，，结合三角形内角和定理得出，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵矩形直尺的一边与垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，求一个数的立方根，同底数幂的除法，积的乘方运算，根据各自的运算法则一一计算并判断即可得出答案． 【详解】解：．，计算正确，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项符合题意； ． ，计算正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查七巧板．熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．根据小三角形的面积是小正方形面积的一半；平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等；大三角形的面积是小正方形面积的2倍，即可求出结果． 【详解】解：两块最大等腰直角三角形的直角边的长为， 两块最大等腰直角三角形的面积为， 平行四边形和最左侧腰直角三角形的面积与小正方形的面积相等，且等于大三角形的面积的一半， 平行四边形、最左侧腰直角三角形、小正方形的面积都为， 小三角形的面积是小正方形面积的一半， 小三角形的面积是， “灵蛇开运”图的面积是， 故选：B． 8. 八名同学一起到河北白洋淀游玩，购买当地文旅推出的冰箱贴，冰箱贴类型共四种，淇淇统计这八名同学购买的冰箱贴类型，并根据统计结果制作了如下两个统计图.由统计图可知，学生和学生购买的冰箱贴类型是（ ） A. 两人都是乙类型 B. 两人都是丙类型 C. 一个是乙类型，一个是丙类型 D. 一个是丙类型，一个是丁类型 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图和扇形统计图，根据统计图求出购买丙类型和乙类型的学生数即可判断求解，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：由统计图可知，购买丙类型的同学占了， ∴购买丙类型的同学有人， ∴学生和学生购买的冰箱贴类型有一个是丙类型， ∵购买乙类型的同学占了， ∴购买乙类型的同学有， ∴学生和学生购买的冰箱贴类型有一个是乙类型， 故选：． 9. 如图，用四根木条制作一个平行四边形框架，双手将它的两个对角慢慢向两边拉动，直至变为矩形框架停止，在这个变化过程中，设平行四边形的面积为y，高为x，则y与x之间的函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查判断正反比例的关系，根据题意得出平行四边形的面积底高，底是一定的，即可判断，熟练掌握正反比例的关系是解题关键． 【详解】解：∵平行四边形的面积底高，底是一定的为常数， ∴y与x之间的函数是成正比例关系，且随着x增大而增大， 故选：B． 10. 已知，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了接一元一次不等式，解题的关键是构造出关于a的表达式． 首先表示出，然后根据得到，然后求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 11. 如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 12. 在平面直角坐标系中，将由点向点的移动称为“交错移动”．例如，点经过两次“交错移动”，先移动到点，再移动到点．下列各点中，无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了平面直角坐标系中点的特征，解一元一次不等式组，根据题意设初始点，第一次“交错移动”后为点，第二次“交错移动”后为点，……以此类推，根据“交错移动”方式确定前四次移动后的点坐标，得出规律，再根据无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧列不等式，解不等式，即可解答． 【详解】解：设初始点，第一次“交错移动”后为点，第二次“交错移动”后为点，……以此类推， 根据题意，得 ， ， ，…… 由此可知，以后的点和前面的点开始重复． ∵“交错移动”点都在y轴左侧， ∴，，，， ∴，， 则满足条件的点为， 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则n的值为________. 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．利用二次根式的加法法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：3． 14. 若，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，求代数式值，掌握因式分解的步骤，公式的运用是解题的关键． 先提公式，再运用公式法，将待求的代数式用已知的代数表示，代入求解． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边的边的中点M．若等边的面积为16，则k的值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】过点A作轴，垂足为C，过点M作轴，垂足为D，根据k的几何意义，确定，证明，得到，根据的面积是16，求出，根据图象的分布确定k值即可； 【详解】解：过点A作轴，垂足为C，过点M作轴，垂足为D， ∵反比例函数的图象经过点M， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵等边的面积为16， ∴， ∴， ∴，解得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义，灵活运用相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 16. 如图，，延长，交于点P，若，，，，则的值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，作于点H，交于点O，证明，推出，求出、即可解决问题． 【详解】解：如图，作于点H，交于点O， ∵， ∴， ，即 ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某校举行跳远能力竞赛，比赛场地从起跳线由近及远共三个得分区域，每个区域对应的分数如图所示，每位选手跳远5次，5次成绩的和为该选手的最终成绩，两位参赛选手的跳远情况如下图. （1）求嘉嘉5次跳远的最终成绩. （2）若淇淇的最终成绩为3分，求x的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数乘法的应用及一元一次方程的应用，正确理解题意，准确计算是解题的关键. （1）根据题意把5次跳远的成绩相加即可求解； （2）根据题意列出关于的方程，解方程即可求解. 【小问1详解】 解：， 故嘉嘉五次跳远的最终成绩为分. 【小问2详解】 解：由题意，得， 解得， 即的值为3. 18. 如图，这是一种正四面体（每个面都是正三角形）骰子，四个面上分别是整数1~4，投掷骰子，记录底面上的数字. （1）投掷一次，求底面数字为奇数的概率. （2）投掷两次，先后得到两个数字，如先后掷到“1”和“2”，记为12，可表示某月的12日；先后掷到“4”和“2”，记为42，则不能表示某月的日期.若第二次掷到的数字与第一次相同，则再掷一次，直到掷到的数字不同为止.请补全下列树状图，并根据树状图，求得到的两个数字能构成七月中的某个日期的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图，概率公式等知识． （1）根据概率公式计算即可； （2）画由树状图，由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中符合条件的情况有7种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：P（底面数字为奇数）， 答：投掷一次，底面数字为奇数的概率为； 【小问2详解】 解：补全树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中符合条件的情况有7种， ∴得到的两个数字能构成七月中的某个日期的概率． 19. 发现：差为4的两个正整数的积与4的和等于这两个正整数的平均数的平方.例如：. 验证： （1）4×8+4=_______=_______，7×11+4=_______=_______.（参照例题的格式填写） 证明： （2）设“发现”中的两个已知正整数中较小的正整数为k，请论证“发现”中的结论的正确性. 【答案】（1）36，6，81，9； （2）证明：由题意，可知较大的正整数为， 则， ∴“发现”中的结论正确. 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，把所求的代数式进行合并并化成完全平方式的形式是解题的关键. （1）由题意直接进行计算即可，结果要化为平方的形式； （2）设“发现”中的两个已知正整数中较小的正整数为k，可知较大的正整数为，然后利用完全平方公式进行化简即可证明. 【详解】解：（1）；； 故答案为：36；6；81；9. （2）略 20. 如图，直线经过线段的中点，，为射线上的一动点，为射线上的一动点，，连接. （1）求证：. （2）若，当时，求的长. 【答案】（1）证明：∵为的中点， ∴， 在和中， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）利用证明即可； （）先证为等边三角形，可得，进而即可求解； 本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴为等边三角形 ∴， ∴. 21. 列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同的角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系． 1 2 1 0 2 画出的图象如下． （1）求a和b的值． （2）______，并在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象． （3）设直线与直线和分别交于A，B两点，当点A，B关于轴对称时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）， 画图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的综合，利用待定系数法求出函数解析式是关键； （1）根据表格信息建立方程组求解的值； （2）把代入求出，再由表格画图即可； （3）求出A，B两点纵坐标，再根据点A，B关于轴对称，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，即， 当时，，即， ，解得： 【小问2详解】 解：当时，， ∴； 【小问3详解】 解：令，则，， 当点A，B关于轴对称时，， 解得：． 22. 如图1，是的直径，过圆上异于A，B两点且在上方的点P处作的切线，过点A作，交切线于点Q，连接，． （1）求证：平分． （2）移动点P，在移动过程中，始终垂直于． ①如图2，当点Q在的垂直平分线上时，与满足一定的数量关系，请写出此数量关系，并证明． ②如图3，当时，请直接写出与之间的数量关系，无需说明理由． 【答案】（1）证明：∵是切线， ， ， 则， 又 ∵、都是的半径， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）①． 理由如下： 连接交于点， ∵当点在的垂直平分线上， ， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ∴四边形是正方形， ， ∵是的半径，是的直径， ， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）根据是切线，得出，则，根据，得出，结合，即，等量代换得出，即可证明平分； （2）①连接交于点，当点在的垂直平分线上，则，证明，得出，证明，得出，证明四边形是正方形，得出，根据是的半径，是的直径，得出，即可得． ②连接，并过点作交于点，根据圆周角定理得出，等腰三角形的性质得出，从而得，，即可得，，根据圆周角定理得出，结合，得出，即可得，得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②． 理由如下： 连接，如图所示： ∵是所对应的圆心角，是所对应的圆周角， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理， ， ∵点在上，且是的直径， ， ， ， 根据勾股定理， ， ． 【点睛】该题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，并正确做出辅助线． 23. 最值是数学中的常见问题，嘉嘉和淇淇利用所学知识研究如下最值问题. （1）如图，在矩形中，，分别为和的中点，连接，为上的一动点.若，，则得最小值为_______. （2）如图1，抛物线与x轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点. ①求抛物线的函数解析式. ②抛物线的对称轴为直线，P为直线上的一动点，求的最小值. ③如图2，为直线上的一点，连接，请直接写出的最小值. 【答案】（1）5 （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，由得到当点在和的交点上时，有最小值，利用勾股定理求解； （2）①点，代入求解； ②连接，与交于点，根据点在抛物线的对称轴上，得到的值最小，最小值为的长，求出点的坐标，代入解析式求解； ③过点作直线，使得，过点作，交于点，过点作于点，利用解直角三角形的知识求出和，再利用解直角三角形的知识求解． 【小问1详解】 解：连接，交于点，如下图 ，，分别为和的中点， 当点在和的交点上时，有最小值，最小值为的长度． ，， ， 的最小值为：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①将点，代入， 得 解得， ∴抛物线的函数解析式为． ②如图1，连接，与交于点． ∵点在抛物线的对称轴上， ∴，即此时的值最小，最小值为的长， 令，则， 解得或， ∴点， 则， 即的最小值为． ③． 如图2，过点作直线，使得，过点作，交于点，则点即为所求． ∵， ∴， 则． 过点作于点， 则． ∵， 则，． 在中，， 同理，可得． 在中，，， 则， ∴， 则的最小值． 【点晴】本题考查了根据矩形的性质求线段的最小值，抛物线解析式求法，勾股定理，解直角三角形，理解相关知识是解答关键． 24. 【情境】在一次综合实践活动课上，老师给每名同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何确定正方形一边上的一个三等分点. 嘉嘉通过折叠的方法确定正方形一边上的一个三等分点. 【操作1】如图1，他先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折，得折痕，交于点G；过点G折叠正方形纸片，使折痕. 嘉嘉认为M是边的三等分点，嘉嘉的证明过程如下. ∵E，F分别是的中点，四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴★________， ∴. ∵， ∴■_______，即， ∴M是边的三等分点 （1）在证明过程中，“★”代表________，“■”代表________. 淇淇利用折叠和尺规作图相结合的方法确定正方形一边上的一个三等分点. 【操作2】如图2，她先将正方形纸片对折，使点A和点D重合，然后展开铺平，确定的中点E；再利用尺规作图在正方形内作，最后延长，交边于点G，淇淇认为G即为边AB的三等分点. （2）①利用尺规作图补全图形. ②求证. 【拓展研究】三等分点的应用 （3）如图3，在菱形中，，，E是上靠近点D的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直接写出的长. 【答案】（1），； （2）①（作法不唯一）补全图形如下： ②证明：如图3，连接；由尺规作图，可知， ∴，，， ∴，. ∵， ∴， ∴. 设，，则. ∵E为的中点， ∴， ∴. 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴， ∴， ∴. （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到.由得到，即，即可得到答案； （2）①利用尺规按照要求作图补全图形； ②连接，证明，则.设，，则，得到，则.在中，由勾股定理，得，解得即可得到答案； （3）连接，交于点O，连接，，与交于点N，得到，.证明，得到，设，则，则.在中，，即，解方程求出.由的，求出，即可得到答案 【详解】解：（1）∵E，F分别是的中点，四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴. ∵， ∴，即， ∴M是边的三等分点 在证明过程中，“★”代表，“■”代表. 故答案为：； （2）①略 ②略 （3）如图4，连接，交于点O， 连接，，与交于点N， ∴，． ∵四边形为菱形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则， ∴． 在中，，即， 解得（舍去），， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 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