广东省茂名市博雅中学2024-2025学年下学期阶段性诊断九年级数学试卷

2025年春季学期初三级阶段性诊断（一） 数学试卷 一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C D B A B C A 二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．＞， 12．x≠3， 13．1：2， 14．4， 15．． 三．解答题（共8小题） 16．解：（1）＝4﹣1+3 ＝6； （2） ． 17．解：设出A，B两款纪念品的进货单价分别为x，y元． 则，解得， 答：A，B两款纪念品的进货单价分别为80元和60元． 18．①解：如图，AE即为所求． ②证明：∵AE为∠BAD的平分线， ∴∠BAE＝∠DAE． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DEA， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴DA＝DE， ∴△ADE是等腰三角形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，AB＝36cm，∠BAC＝58°， ∴BC＝AB•tan58°≈36×1.6＝57.6≈58（cm）， ∴BC长度约为58cm； （2）在Rt△ABC中，AB＝36cm，∠BAC＝58°， ∴AC67.92（cm）， ∵点O是AC的中点， ∴OCAC＝33.96（cm）， ∴当OP＝OC时，旋转过程中显示屏与支架平台EF刚好不发生磕碰， ∴支架直杆OP的最小值约为34cm， 20．解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生为：40200（名）， 故答案为：200； （2）C的人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（名）， 补全条形统计图如下： （3）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中陈杰和刘慧参加同一项活动的结果有4种， ∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为． 21．解：（1）△DAH与△HEF全等，证明如下： ∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形， ∴AD＝AB，∠A＝90°，BE＝EF，∠E＝90°， ∵AH＝BE， ∴HE＝HB+BE＝HB+AH＝AB， ∴AD＝HE， 又∵BE＝EF，AH＝BE， ∴AH＝EF， 在△DAH与△HEF中， ， ∴△DAH≌△HEF（SAS）； （2）如图2所示： 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．解：（1）∵BD＝1， ∴当x＝1时，y1215， ∴D（1，5）， 则B（0，5）， 故答案为：（0，5）； （2）由题意知，顶点E为（2，9）， 设抛物线（BEF）的表达式为y＝a（x﹣2）2+9， 把B（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+9得，5＝a×（0﹣2）2+9， 解得a＝﹣1， ∴抛物线（BEF）的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5； （3）设抛物线（BEF）上一点P，作PQ∥y轴，交抛物线（DC）于Q， 设P（m，﹣m2+4m+5），则Q（m，m2m）， ∴PQ＝﹣m2+4m+5m2mm2m（m）2， ∵0， ∴当m时，PQ最大，最大值为， ∵6， ∴该滑雪爱好者的“腾空高度分”能得到满分． 23．解：如图，连接BD，FD，延长GF、BA相交于H， ∵四边形ABCD和四边形DEFG都是矩形， ∴BH∥CG，GH∥BC，∠H＝90°，AH＝EF＝4，GH＝BC＝8，BH＝AB+AH＝10，FH＝HG﹣GF＝5， ∴在Rt△BHF中，， 同理：， ， AG4， ∴， ∵BH2+DF2＝BH， ∴△BDF是直角三角形， ∴BD⊥FD， 故答案为：垂直，； （2）成立， 理由：如图，连接BD和DF． ∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8， ∴AD＝BC＝8，∠DAB＝90°， ∴， ∵四边形DEFG是矩形，DE＝3，EF＝4， ∴GF＝DE＝3，DG＝EF＝4，∠DGF＝90°， ∴， 在△ABD和△GFD中，2，2， ∴． ∵∠BAD＝∠DGF＝90°， ∴△ABD∽△GFD， ∴∠BDA＝∠GDF， ∴∠BDA+∠BDG＝∠GDF+∠BDG， ∴∠ADG＝∠BDF， ∵，， ∴， ∴△ADG∽△BDF， ∴； （3）AG的长为或， 情况一：如图，当点F在BG的延长线上时， ∵∠BGD＝90°， ∴△DBG为直角三角形， ∴BG2＝BD2﹣DG2，即BG2＝100﹣16＝84， ∴， ∴． ∵由（2）得， ∴． 情况二：如图3，当点F在线段BG上时， ∵∠BGD＝90°， ∴△DBG为直角三角形， 在Rt△BDG中，BG2＝BD2﹣DG2＝84， ∴， ∴． 由（2）得， ∴． 综上所述，当B、G、F三点共线时，线段AG的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季学期初三级阶段性诊断（一） 数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，正数是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 2．2024年9月25日，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．该导弹射程约12000公里，创下了全球洲际导弹实际测试中的最远纪录．数字12000用科学记数法表示是（　　） A．1.2×103 B．1.2×104 C．1.2×105 D．1.2×106 3．秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式是小篆，下列四个小篆字中为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．某校5位同学在“国学经典诵读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88．这组数据的中位数是（　　） A．86 B．88 C．90 D．95 5．下列计算正确的是（　　） A．x3•x3＝2x3 B．（x2）3＝x5 C．x3+x5＝x8 D．（xy）4＝x4y4 6．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为（　　） A．135° B．120° C．105° D．60° （第6题图） （第8题图） 7．分式方程的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣2 C． D．x＝2 8．光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，会发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，∠1＝40°，∠2＝110°，则∠3+∠4的值为（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 9．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kxb的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2 （第9题图） （第10题图） 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，O是斜边AB的中点，以点O为圆心的半圆O与AC相切于点D，交AB于点E，F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．比较两数的大小： 　 　1．（“＞”“＜”或“＝”） 12．若分式有意义，则实数x的取值范围是 　 　． 13．两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 　 　． 14．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝　 　m/s． （第14题图） （第15题图） 15．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点F是AB的中点，过点F作FE⊥AD，垂足为E，将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A'E'F'，设点P、P'分别是EF、E'F'的中点，当点A'与点B重合时，点D到线段PP'的距离为 　 　． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16．（1）计算：； （2）化简：． 17．2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元，求出A，B两款纪念品的进货单价. 18．如图，已知平行四边形ABCD． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作∠A的平分线交CD于点E； （保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在①的条件下，求证：△ADE是等腰三角形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．如图，某电脑显示器由显示屏（矩形ABCD）和支架组成，显示屏对角线AC中点O固定在支架直杆OP一端处，显示屏可绕点O顺时针或逆时针旋转，已知AB＝36cm，∠BAC＝58°． （1）求BC长度； （2）为避免在旋转过程中显示屏与支架平台EF发生磕碰，求支架直杆OP的最小值． （结果精确到1cm，参考数据：tan58°≈1.60，cos58°≈0.53，sin58°≈0.85） 20．中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．在中国共青团成立一百周年之际，我县各中小持续开展了A：青年大学习；B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加．为了解学生参与活动的情况，在全县范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，一共抽取了 　 　名学生； （2）补全条形统计图； （3）陈杰和刘慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率． 21．综合与实践 【主题】正方形卡纸的裁切与拼接． 【素材】大小不等的两张正方形卡纸 【实践操作】 步骤1：将大正方形卡纸ABCD和小正方形卡纸BEFG按图（1）所示的方式摆放（点G在BC上，点A、B、E在同一直线上），在AB上截取AH＝BE，连接DH，HF； 步骤2：首先沿虚线DH，FH裁切卡纸，然后拼接成一个大正方形． 【实践探索】 （1）△DAH与△HEF是否全等？并证明你的猜想． （2）若大正方形卡纸的边长是小正方形边长的两倍，将大正方形卡纸对折两次并展开后，按图（2）所示的方式摆放（虚线为折痕）．请在图（2）中画出两条裁切线，使裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．2022年北京冬奥会的成功举办让更多的人参与到了冰雪运动中来! 如图①是某处滑雪大跳台的实景图，建立如图②所示的平面直角坐标系，其中DC段可以近似的看作抛物线：（1≤x≤6）的一部分，BD∥x轴，点B在y轴上，点C在x轴上，且BD＝1．某滑雪爱好者在一次滑雪比赛中沿斜坡AB加速至B处腾空而起，近似地沿抛物线BEF运动，在空中完成翻滚动作，着陆在DC段上，已知当他运行的水平距离为2米时，达到离地面的最大高度为9米． （1）点B的坐标为 　 　； （2）求该滑雪爱好者腾空后的抛物线（BEF）的表达式； （3）若此次滑雪评分细则规定：当运动员的腾空高度与DC段之间的竖直最大距离不少于6米时，则该运动员在“腾空高度分”就可以给满分．请通过计算说明该滑雪爱好者的“腾空高度分”是否能得到满分． 23．【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动． 智慧小组准备了两张矩形纸片ABCD和DEFG，其中AB＝6，BC＝8，DE＝3，EF＝4，将它们按如图1所示的方式放置，点E落在AD上，点G落在CD的延长线上，连接AG和BF． 【观察发现】 （1）如图2连接BD，FD，则BD和FD的位置关系是 　 　，　 　． 【操作探究】 （2）如图3，将矩形DEFG绕点D按顺时针方向旋转α（0°＜α＜360°），试探究（1）中AG和BF的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）在矩形DEFG旋转的过程中，当B、G、F三点共线时，直接写出线段AG的长． 初三数学 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$