河南省驻马店市平舆县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

河南省驻马店市平舆县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x B．x C．x D．x 2．（3分）一组数据6，5，4，5，1，3，对该组数据描述错误的是（　　） A．平均数是4 B．中位数是4.5 C．众数是5 D．方差是3 3．（3分）如图，在菱形ABCD中对角线AC，BD交于点O，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．OA＝OC D．∠AOB＝60° 4．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣kx与y＝kx+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个面积为14的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b．若ab＝11，则大正方形的边长为（　　） A． B．6 C．5 D．4 6．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC⊥CD，若E是BC边的中点，BD＝20，AC＝12，则OE的长为（　　） A．3 B．4 C．8 D．16 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，BD平分∠ABC交AC于点D，则线段BD为（　　） A．5 B． C． D． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D在AB上．连接OD，将四边形ODBC沿OD折叠得到四边形ODEF，点E恰好落在x轴上，已知OA＝4，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D．（4，2） 9．（3分）已知点（﹣4，y1），（2，y2），（﹣1，y3）都在直线上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（　　） A．y1＞y3＞y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2 10．（3分）如图，关于一次函数y＝kx+3k+5（k≠0）与y＝ax（a≠0）的图象，下列说法正确的有（　　）个． ①k＞0，a＜0； ②y＝ax（a≠0）图象，y随自变量x的增大而减小； ③不论k为何值，一次函数y＝kx+3k+5（k≠0）的图象都经过定点A，则点A的坐标为（﹣3，5）； ④方程组的解是． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）　 　 ． 12．（3分）已知一次函数图象经过一、三、四象限，请写出满足该条件的一个函数表达式：　 　 ． 13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为AB的中点，连接CD，则∠BCD＝ 　 　 度． 14．（3分）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为 　 　 ． 15．（3分）如图①，已知动点P在长方形ABCD的边上沿B→C→D→A的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度．连接AP，记点P的运动时间为t（秒），△ABP的面积为S．图②是S关于t的函数图象，则线段AB的长为 　 　 ，a的值为 　 　 ． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）计算： （1）； （2）． 17．（9分）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图1，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图2的四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，CD＝1千米，AD＝7千米． （1）小溪流AC的长为 　 　 千米． （2）求四边形ABCD的面积． 18．（9分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BA，DC的延长线上，且BE＝DF．连结AF，交BC于点H，连结EC． （1）求证：四边形EAFC是平行四边形． （2）若∠E＝∠D＝70°，求∠AHB的度数． 19．（9分）2025年央视春晚中出现了许多“河南面孔”，如“确山铁花”“豫剧《花木兰》”“少林功夫”等非物质文化遗产．某校为了解七、八年级学生对非物质文化遗产的了解程度，组织了一次非物质文化遗产知识测试（百分制），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）， 部分信息如下： 信息一：七年级10名学生的成绩是： 80，82，86，89，92，96，96，98，99，100． 信息二：八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，93，93． 信息三：八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图所示． 信息四：七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表． 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91.8 m n 46.96 八年级 91.8 93 98 41.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：α＝ 　 　 ，m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； （2）学校准备从成绩较稳定的年级中选择若干名学生参加下一阶段的活动，请判断学校会从哪个年级中选择，并说明理由． （3）已知七、八年级共有600名学生参加了此次非物质文化遗产知识测试，估计该校参加此次测试成绩为优秀（x≥90）的学生总人数． 20．（10分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． 实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm，AB+BC＝16dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 21．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象交x轴于A点，交y轴于C点，且OA＝5，并于一次函数的图象交于点B，已知点B的横坐标为﹣4． （1）求一次函数y1＝kx+b的解析式； （2）求△AOC的面积； （3）请直接写出当时，自变量x的取值范围． 22．（10分）如图，在四边形ABCD中，连接AC，AB＝AD，CB＝CD，有下列条件： ①∠BCA＝∠DAC；②AB∥CD． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是菱形； （2）在（1）的条件下，若AC＝8，AB＝5，求四边形ABCD的面积． 23．（10分）数学活动 【问题背景】我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒（如图1）放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量y（毫升）是否为时间t（分钟）的函数． 【素材呈现】每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如表的一组数据： 时间t/分钟 1 2 3 4 5 … 总水量y/毫升 10 15 20 25 30 … 【问题探究和问题解决】 （1）请在图2的平面直角坐标系内描出如表每对数据所对应的点． （2）请根据表中的数据和所描的点，判断总水量y与时间t是哪种函数关系？请求出这个关系式． （3）①同学们继续观察，当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议． 河南省驻马店市平舆县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B B B C A A D 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x B．x C．x D．x 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：2x﹣1≥0， ∴x 故选：B． 【点评】本题考查二次根式的有意义条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 2．（3分）一组数据6，5，4，5，1，3，对该组数据描述错误的是（　　） A．平均数是4 B．中位数是4.5 C．众数是5 D．方差是3 【分析】根据算术平均数、中位数、众数、方差的定义计算，即可得答案． 【解答】解：A、平均数为，故选项正确，不符合题意； B、按照从小到大排列后为1，3，4，5，5，6，中位数为，故选项正确，不符合题意； C、这组数据的众数为5，故选项正确，不符合题意； D、方差为，故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查方差，众数，中位数，算术平均数，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义． 3．（3分）如图，在菱形ABCD中对角线AC，BD交于点O，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．OA＝OC D．∠AOB＝60° 【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件． 【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等． 即∠ABC＝90°或AC＝BD． 故选：A． 【点评】本本题主要考查了正方形的判定等知识点，根据菱形的性质及正方形的判定是解题的关键． 4．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣kx与y＝kx+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】分k＞0和k＜0两种情况，讨论出直线经过的象限，再作出选择即可． 【解答】解：根据一次函数性质分类讨论如下： 当k＞0时，一次函数的图象过一、二、三象限；y＝﹣kx的图象过二、四象限； 当k＜0时，一次函数的图象过二、三、四象限；y＝﹣kx的图象过一、三象限； 可见，符合条件的只有B． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握该知识点是关键． 5．（3分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个面积为14的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b．若ab＝11，则大正方形的边长为（　　） A． B．6 C．5 D．4 【分析】本题根据大正方形的面积等于小正方形的面积和4个直角三角形的面积和，求得大正方形的面积，即可求出大正方形的边长． 【解答】解：直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b． ∵ab＝11，小正方形的面积为14， ∴大正方形的面积， ∴大正方形的边长为， 故选：B． 【点评】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是熟练运用各个图形之间的面积关系列出等式． 6．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC⊥CD，若E是BC边的中点，BD＝20，AC＝12，则OE的长为（　　） A．3 B．4 C．8 D．16 【分析】根据平行四边形的性质得出OA＝6，OB＝10，进而利用勾股定理得出AB的长，利用三角形中位线得出OE即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝20，AC＝12， ∴OC＝OA＝6，OB＝10，AB∥DC， ∵∠OCD＝90°， ∴∠BAO＝90°， ∴AB8， ∵E是BC边的中点，AO＝CO， ∴OEAB＝4， 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出OA＝6，OB＝10解答． 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，BD平分∠ABC交AC于点D，则线段BD为（　　） A．5 B． C． D． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由勾股定理求出AB＝10，进而由角平分线的性质得DE＝DC，设DE＝DC＝x，再由三角形面积求出CD＝3，然后由勾股定理求出BD的长即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴DC⊥BC，AB10， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DC， 设DE＝DC＝x， ∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC， ∴10x6x8×6， 解得：x＝3， ∴CD＝3， ∴BD3， 故选：C． 【点评】本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D在AB上．连接OD，将四边形ODBC沿OD折叠得到四边形ODEF，点E恰好落在x轴上，已知OA＝4，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D．（4，2） 【分析】连接OB，由正方形的性质可得AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，∠OBD＝45°，则，由折叠的性质可得，∠OED＝∠OBD＝45°，可证明△DAE是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【解答】解：如图，连接OB， ∵四边形ABCO是正方形，OA＝4， ∴AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，∠OBD＝45°， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：， ∵将四边形ODBC沿OD折叠得到四边形ODEF，点E恰好落在x轴上， ∴，∠OED＝∠OBD＝45°， ∴△DAE是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，坐标与图形变化﹣对称，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． 9．（3分）已知点（﹣4，y1），（2，y2），（﹣1，y3）都在直线上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（　　） A．y1＞y3＞y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2 【分析】先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可． 【解答】解：根据一次函数性质，当k＜0时，y随x的增大而减小． ∵三点的横坐标分别为﹣4，2，﹣1， ∴﹣4＜﹣1＜2． ∵y随x增大而减小， ∴对应的纵坐标大小关系为y1＞y3＞y2． 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的性质，掌握k的符号如何决定函数的增减性是解题的关键． 10．（3分）如图，关于一次函数y＝kx+3k+5（k≠0）与y＝ax（a≠0）的图象，下列说法正确的有（　　）个． ①k＞0，a＜0； ②y＝ax（a≠0）图象，y随自变量x的增大而减小； ③不论k为何值，一次函数y＝kx+3k+5（k≠0）的图象都经过定点A，则点A的坐标为（﹣3，5）； ④方程组的解是． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】根据一次函数的性质对照着图象即可得到结论． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+3k+5（k≠0）中y随x的增大而增大， ∴k＞0， ∵y＝ax（a≠0）的图象，y随x的增大而减小， ∴a＜0，故①正确；②正确； ∵y＝kx+3k+5可变形为y＝k（x+3）+5， ∴当x＝﹣3时，不论k（k≠0）为何值时，y均等于5， ∴点A的坐标为（﹣3，5），故③正确； ∵一次函数y＝kx+3k+5（k≠0）与y＝ax（a≠0）的图象交于点A（﹣3，5）， ∴方程组的解是，故④正确； 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，将一次函数解析式变形为y＝k（x+3）+5是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）　　 ． 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 【解答】解：原式＝32． 故答案为：2． 【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，难度一般． 12．（3分）已知一次函数图象经过一、三、四象限，请写出满足该条件的一个函数表达式：　y＝x﹣1（答案不唯一）　 ． 【分析】根据一次函数图象经过一、三、四象限，可得k＞0，b＜0，即可求解． 【解答】解：设一次函数关系式为y＝kx+b，由条件可知k＞0，b＜0， 故满足条件的一个函数表达式可以为：y＝x﹣1（答案不唯一）； 故答案为：y＝x﹣1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一次函数的图象，熟知一次函数图象经过一、三、四象限则k＞0，b＜0是解题关键． 13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为AB的中点，连接CD，则∠BCD＝ 　50　 度． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B＝50°，根据直角三角形斜边上中线的性质求出CDAB＝BD，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝50°， ∵D为AB的中点， ∴CDAB＝BD， ∴∠BCD＝∠B＝50°， 故答案为：50． 【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，熟记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 14．（3分）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为 　1　 ． 【分析】直接利用勾股定理得出AD的长，再利用数轴得出答案． 【解答】解：∵OD⊥x轴， ∴∠AOD＝90°， ∴△AOD是直角三角形， ∵OA＝1，OD＝3， ∴， ∴AN， ∴N点所表示的数为：1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 15．（3分）如图①，已知动点P在长方形ABCD的边上沿B→C→D→A的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度．连接AP，记点P的运动时间为t（秒），△ABP的面积为S．图②是S关于t的函数图象，则线段AB的长为 　3　 ，a的值为 　　 ． 【分析】根据图象上点的坐标和图象的特点，利用长方形的性质可求出答案． 【解答】解：根据点（5，a）可以得到BC＝5，S△ABC＝a， ∴，即， ∴， 当P在CD上时，S不变， ∴CD＝8﹣5＝3， ∵ABCD为长方形， ∴AB＝CD＝3， ∴， ∴， 故答案为：3，． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握该知识点是关键． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用算术平方根及立方根的定义计算后再算加减即可； （2）利用二次根式的乘除法则计算后再算加减即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17．（9分）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图1，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图2的四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，CD＝1千米，AD＝7千米． （1）小溪流AC的长为 　　 千米． （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据勾股定理勾股定理求解即可； （2）将四边形分成两个三角形，求证∠D为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可． 【解答】解：（1）∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，CD＝1千米，AD＝7千米．如图，连接AC， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得： （千米）， 故答案为：； （2）∵（千米），CD＝1千米，AD＝7千米． ∴，AD2＝72＝49，CD2＝12＝1， ∴AC2＝CD2+AD2， ∴△ADC是直角三角形，则∠D＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD（平方千米）． 【点评】本题考查勾股定理的应用，勾股定理，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． 18．（9分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BA，DC的延长线上，且BE＝DF．连结AF，交BC于点H，连结EC． （1）求证：四边形EAFC是平行四边形． （2）若∠E＝∠D＝70°，求∠AHB的度数． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AE∥CF，求得AE＝CF得到四边形EAFC是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得到∠B＝∠D，AF∥EC，求得∠BAH＝∠E＝70°，于是得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AE∥CF， ∵BE＝DF， ∴BE﹣AB＝DF﹣CD， 即AE＝CF ∴四边形EAFC是平行四边形； （2）解：∵四边形EAFC是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AF∥EC， ∴∠BAH＝∠E＝70°， ∵∠D＝∠E＝70°， ∴∠BAH＝∠B＝70°， ∴∠AHB＝40°． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 19．（9分）2025年央视春晚中出现了许多“河南面孔”，如“确山铁花”“豫剧《花木兰》”“少林功夫”等非物质文化遗产．某校为了解七、八年级学生对非物质文化遗产的了解程度，组织了一次非物质文化遗产知识测试（百分制），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）， 部分信息如下： 信息一：七年级10名学生的成绩是： 80，82，86，89，92，96，96，98，99，100． 信息二：八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，93，93． 信息三：八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图所示． 信息四：七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表． 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91.8 m n 46.96 八年级 91.8 93 98 41.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：α＝ 　108°　 ，m＝ 　94　 ，n＝ 　96　 ； （2）学校准备从成绩较稳定的年级中选择若干名学生参加下一阶段的活动，请判断学校会从哪个年级中选择，并说明理由． （3）已知七、八年级共有600名学生参加了此次非物质文化遗产知识测试，估计该校参加此次测试成绩为优秀（x≥90）的学生总人数． 【分析】（1）求出C组占比，利用360度乘以占比，求出α，根据中位数和众数的确定方法求出m，n的值； （2）利用方差作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【解答】解：（1）占比为， α＝360°×30%＝108°． 成绩排列为：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100， ∴，众数n＝96． 故答案为：108°，94，96； （2）八年级，理由： 八年级的方差41.4小于七年级的方差46.96，方差越小，数据越稳定， 所以学校会从八年级中选择． （3）七年级成绩优秀（x≥90）的有6人，八年级成绩优秀（x≥90）的有10×（1﹣20%﹣10%）＝7人，七、八年级抽取的20名学生中成绩优秀的有6+7＝13（人）， 所以估计该校参加此次测试成绩为优秀的学生总人数为（人）． 答：估计该校参加此次测试成绩为优秀的学生总人数为390人． 【点评】本题考查扇形图，求中位数，众数，利用方差作决策，利用样本估计总体：熟练掌握以上知识点是关键． 20．（10分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． 实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm，AB+BC＝16dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 【分析】（1）利用勾股定理运算求解即可； （2）利用勾股定理运算求解即可． 【解答】解：（1）∵物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm，AB+BC＝16dm， 设AB＝x dm，则BC＝（16﹣x）dm， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴82+（16﹣x）2＝x2， 解得：x＝10， ∴AB＝10dm， ∴绳子长度＝AB+AC＝10+8＝18（dm）； （2）如图2， 若物体C升高7dm，则此时AB＝10+7＝17（cm）， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：， ∴BE＝BD﹣ED＝15﹣6＝9（cm）， 答：滑块B向左滑动的距离为9dm． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 21．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象交x轴于A点，交y轴于C点，且OA＝5，并于一次函数的图象交于点B，已知点B的横坐标为﹣4． （1）求一次函数y1＝kx+b的解析式； （2）求△AOC的面积； （3）请直接写出当时，自变量x的取值范围． 【分析】（1）根据题意得出A（﹣5，0）、B（﹣4，2），然后利用待定系数法代入即可确定函数解析式； （2）根据题意得出OA＝5，OC＝10，结合图形求面积即可； （3）结合图象及交点求不等式解集即可． 【解答】解：（1）∵OA＝5， ∴A（﹣5，0）， ∵点B的横坐标为﹣4，且在一次函数的图象上， ∴， ∴B（﹣4，2）， 将A（﹣5，0），B（﹣4，2）代入y1＝kx+b得， 解得， ∴一次函数解析式y1＝2x+10； （2）由（1）可知OA＝5，y1＝2x+10， 当x＝0时，y1＝10， ∴OC＝10， ∴； （3）由图象可知，当x＜﹣4时，直线y1＝kx+b的图象在的图象的下方，所以时，自变量x的取值范围为x＜﹣4． 【点评】本题主要考查的是一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象求解不等式解集等知识，熟练掌握数形结合思想是解题关键． 22．（10分）如图，在四边形ABCD中，连接AC，AB＝AD，CB＝CD，有下列条件： ①∠BCA＝∠DAC；②AB∥CD． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是菱形； （2）在（1）的条件下，若AC＝8，AB＝5，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）选择①，证明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠BCA＝∠DCA，根据∠BCA＝∠DAC，推出∠DCA＝∠DAC，进而得到AB＝AD＝CB＝CD，即可证明结论；选择②，证明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠BAC＝∠DAC．根据AB∥CD，推出∠BAC＝∠ACD，进而得到∠ACD＝∠DAC，AB＝AD＝CB＝CD，即可证明结论； （2）根据菱形对角线互相垂直且平分结合勾股定理求出OB的长，进而求出BD的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半即可得到答案． 【解答】解：（1）选择①： 证明：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BCA＝∠DCA， ∵∠BCA＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∴AB＝AD＝CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形； 选择②： 证明：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC． ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∴AB＝AD＝CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）连接BD与AC交于点O， 由题意可得：BD⊥AC． ∵AC＝8， ∴， ∴， ∴BD＝2BO＝2×3＝6， ∴． 【点评】本题主要考查了菱形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． 23．（10分）数学活动 【问题背景】我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒（如图1）放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量y（毫升）是否为时间t（分钟）的函数． 【素材呈现】每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如表的一组数据： 时间t/分钟 1 2 3 4 5 … 总水量y/毫升 10 15 20 25 30 … 【问题探究和问题解决】 （1）请在图2的平面直角坐标系内描出如表每对数据所对应的点． （2）请根据表中的数据和所描的点，判断总水量y与时间t是哪种函数关系？请求出这个关系式． （3）①同学们继续观察，当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议． 【分析】（1）描点，即可； （2）由数据和画图可知总水量y与时间t之间是一次函数关系，利用表格中的数据，利用待定系数法，即可求出y与t的函数关系式； （3）①代入y＝65，求出t的值即可； ②代入t＝60及t＝0，求出y值，二者作差后，即可得出结论； ③找出符合题意的建议，合理即可． 【解答】解：（1）如图，描点如下： （2）由数据和画图可知总水量y与时间t之间是一次函数关系， 设函数关系式为y＝kt+b（k，b为常数，k≠0）， 将点（1，10），（2，15）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴总水量y与时间t的函数关系式为y＝5t+5； （3）①当y＝65时，5t+5＝65， 解得：t＝12， ∴当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟； ②当t＝60时，y＝5×60+5＝305， 当t＝0时，y＝5×0+5＝5， ∵305﹣5＝300（毫升）， ∴照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费300毫升水； ③建议要定期检查水龙头，要及时更换漏水的水龙头． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据表格中的数据，利用待定系数法求出总水量y与时间t的函数关系式是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$