广东省汕头市金平区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

广东省汕头市金平区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑． 1．（3分）下列各数中，能使有意义的是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 2．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）某小组8名学生的中考体育测试成绩（单位：分，满分60分）依次为：59，60，55，57，60，58，60，58，这组数据的众数是（　　） A．55 B．57 C．58 D．60 4．（3分）已知，△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．b2﹣c2＝a2 B．，， C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 5．（3分）一次函数y＝kx﹣4（k＜0）的图象上有两点（﹣1，y1），（2，y2），则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 6．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝5：4，则∠C的度数是（　　） A．80° B．100° C．140° D．40° 7．（3分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．四个角都为直角 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 8．（3分）已知x，y为正数，且|x2﹣4|+|y2﹣3|＝0，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　） A．5 B．25 C．7 D．15 9．（3分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣1，0），CA⊥x轴，BC＝5．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x上时，线段BC扫过的面积为（　　） A．12 B．24 C．15 D．30 10．（3分）菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，点G为CD的中点，以CG为边作菱形CEFG，其中点E在BC的延长线上，连接AF，点M为AF的中点，连接CM，则线段CM的长为（　　） A．3 B．6 C． D．2 二.填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）计算：　 　 ． 12．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（﹣2，3），则k＝　 　 ． 13．（3分）一个弹簧秤不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm．则弹簧总长y（单位：cm）与所挂重物质量x（单位：kg）的函数解析式是 　 　 ． 14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BCD的平分线CF与边AD相交于点F，G是CF中点，若BC＝5，CD＝3，则OG的长为 　 　 ． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝4，∠ACB＝30°，点E在线段AO上从点A至点O运动，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，点F和点A分别位于BE两侧，则点F运动的路径长是 　 　 ． 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）计算：（1﹣2）2﹣（2）（2）． 17．（7分）已知如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，AF＝CE，求证：四边形DEBF为平行四边形． 18．（7分）【追本溯源】：人教版八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p，那么三角形的面积为S． 【方法应用】：如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝13，AB＝5． （1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积； （2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）2025年春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评．演出结束后，节目组随机抽取了50名现场观众进行评分，同时统计出5000名线上观众评分（满分10分）．并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧BOT》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 现场 a 8 8 线上 7.6 b 7 （1）直接写出a，b，m的值； （2）请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数； （1）小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 20．（9分）如图，杠杆是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡瓷，其秤砣到秤纽的水平距离y（cm）与所挂物重（kg）之间满足一次函数关系，若挂1kg物体时秤砣到秤纽的水平距离为8cm，挂3kg物体时秤砣到秤纽的水平距离为19cm． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当秤砣到秤纽的水平距离为30cm时，求秤钩所挂物重． 21．（9分）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形． （2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝2，AE＝BD，求AD的长． 五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 23．（14分）【问题背景】如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D（0，1）为y轴上一点． 【构建联系】 （1）求点A，点B的坐标； （2）点C为线段OA上一点，连接BC，AD交于点E，若∠AEC＝45°． ①求直线BC的解析式； ②点P（0，﹣2）为y轴负半轴上一点，求点P到直线BC的距离； 【深入探究】 （3）点M为y轴上一点，在平面上是否存在点N，使以点A，D，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2024-2025学年广东省汕头市金平区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D D A B D C B C 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑． 1．（3分）下列各数中，能使有意义的是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：若有意义，则x﹣5≥0， 所以x≥5， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 2．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：A、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、5，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3．（3分）某小组8名学生的中考体育测试成绩（单位：分，满分60分）依次为：59，60，55，57，60，58，60，58，这组数据的众数是（　　） A．55 B．57 C．58 D．60 【分析】直接根据众数的定义求解． 【解答】解：数据中60出现了3次，出现次数最多，所以这组数据的众数是60． 故选：D． 【点评】本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数．也考查了中位数的定义． 4．（3分）已知，△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．b2﹣c2＝a2 B．，， C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【解答】解：A、∵b2﹣c2＝a2，∴b2＝a2+c2，故△ABC是直角三角形，不符合题意； B、∵（）2+（）2＝（）2，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝180°75°，故△ABC不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理． 5．（3分）一次函数y＝kx﹣4（k＜0）的图象上有两点（﹣1，y1），（2，y2），则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣4（k＜0）， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵﹣1＜2， ∴y1＞y2． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 6．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B＝5：4，则∠C的度数是（　　） A．80° B．100° C．140° D．40° 【分析】由平行四边形的性质推出AD∥BC，∠C＝∠A，得到∠A+∠B＝180°，求出∠A＝180°100°．即可得到∠C的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠C＝∠A， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A：∠B＝5：4， ∴∠A＝180°100°． ∴∠C＝100°． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质，关键是由平行四边形的性质推出AD∥BC，∠C＝∠A． 7．（3分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．四个角都为直角 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【分析】利用正方形、矩形的性质即可判断． 【解答】解：正方形、矩形都具有四个角都是直角， 正方形的对角线互相垂直平分且相等，矩形的对角线互相平分且相等， 故选：D． 【点评】本题考查正方形、矩形的性质，记住正方形和矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型． 8．（3分）已知x，y为正数，且|x2﹣4|+|y2﹣3|＝0，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　） A．5 B．25 C．7 D．15 【分析】本题可根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积． 【解答】解：依题意得：x2﹣4＝0，y2﹣3＝0， ∴x＝2，y， 斜边长， 所以正方形的面积＝（）2＝7． 故选：C． 【点评】本题综合考查了勾股定理与非负数，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系． 9．（3分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣1，0），CA⊥x轴，BC＝5．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x上时，线段BC扫过的面积为（　　） A．12 B．24 C．15 D．30 【分析】根据平移性质先求出平移的距离，再根据勾股定理求出AC长，继而求出线段BC扫过的面积即可． 【解答】解：如图， ∵A（﹣4，0），B（﹣1，0），CA⊥x轴，BC＝5． ∴AB＝3， 在Rt△ABC中，AC4， 在函数y＝2x中，当y＝4时，x＝2， ∴C′（2，4），C（﹣4，4）， 三角形平移距离为6个单位长度， ∴平移中BC扫过的面积为：6×4＝24． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平移的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 10．（3分）菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，点G为CD的中点，以CG为边作菱形CEFG，其中点E在BC的延长线上，连接AF，点M为AF的中点，连接CM，则线段CM的长为（　　） A．3 B．6 C． D．2 【分析】由菱形的性质可知AB＝BC＝CD＝4，∠B＝60°，∠BCD＝120°，可证△ABC是等边三角形，AC＝4，∠ACB＝60°，可求∠ACF＝90°，由勾股定理可求AF的长，即可求解． 【解答】解：如图，连接AC，CF， ∵四边形ABCD和CEFG都是菱形，AB＝4，∠BAD＝120°， ∴AB＝BC＝CD＝4，∠B＝60°，∠BCD＝120°，GF＝CG＝EF＝CE＝2， ∴△ABC是等边三角形，∠DCE＝60°， ∴AC＝4，∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝60°， ∵点G为CD的中点， ∴GF＝CG＝EF＝CE＝2， ∵∠DCF∠DCE＝30°， ∴∠ACF＝90°，CFCG＝2， ∴AF2， ∵点M为AF的中点， ∴CM， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线是解题的关键． 二.填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）计算：　5　 ． 【分析】根据算术平方根的计算方法得出结论即可． 【解答】解；5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查算术平方根的计算，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题的关键． 12．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（﹣2，3），则k＝　　 ． 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解；∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（﹣2，3）， ∴3＝﹣2k， ∴k． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 13．（3分）一个弹簧秤不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm．则弹簧总长y（单位：cm）与所挂重物质量x（单位：kg）的函数解析式是 　y＝10+2x　 ． 【分析】弹簧总长＝弹簧原来的长度+挂上xkg重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【解答】解：∵挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm， ∴挂上xkg的物体后，弹簧伸长2x cm， ∴弹簧总长y＝10+2x． 故答案为：y＝10+2x． 【点评】本题考查了列代数式；得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键． 14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BCD的平分线CF与边AD相交于点F，G是CF中点，若BC＝5，CD＝3，则OG的长为 　1　 ． 【分析】根据平行四边形的性质得出OA＝OC，AD∥BC，AD＝BC＝5，证明CD＝DF＝3，进而利用三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC，AD＝BC＝5， ∴∠DFC＝∠BCF， ∵∠BCD的平分线与边AD相交于点F， ∴∠BCF＝∠DCF， ∴∠DCF＝∠DFC， ∴DF＝CD＝3， ∴AF＝AD﹣DF＝5﹣3＝2， ∵G是CF中点，OA＝OC， ∴OG是△ACF的中位线， ∴OGAF＝1， 故答案为：1． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出OA＝OC，AD∥BC解答． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝4，∠ACB＝30°，点E在线段AO上从点A至点O运动，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，点F和点A分别位于BE两侧，则点F运动的路径长是 　　 ． 【分析】连接OF，由矩形的性质推出∠ABC＝90°，OA＝OB，判定△AOB是等边三角形，得到OB＝AB，∠ABO＝60°，由等边三角形的性质推出∠EBF＝60°，BE＝BF，得到∠EBF＝∠ABO，推出∠OBF＝∠ABE，判定△BOF≌△BAE（SAS），推出OF＝AE，因此点F运动的路径是AO，由tan∠ACB，求出AB，得到AO的长，即可得到答案． 【解答】解：连接OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OAAC，OBBD，AC＝BD，∠ABC＝90°， ∴OA＝OB， ∵∠ACB＝30°， ∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB＝AB，∠ABO＝60°， ∵△EBF是等边三角形， ∴∠EBF＝60°，BE＝BF， ∴∠EBF＝∠ABO， ∴∠OBF＝∠ABE， ∵OB＝AB，FB＝EB， ∴△BOF≌△BAE（SAS）， ∴OF＝AE， ∴点F运动的路径是AO， ∵tan∠ACB＝tan30°， ∴AB， ∴AO＝AB， ∴点F运动的路径长是． 故答案为：． 【点评】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轨迹，关键是判定△BOF≌△BAE（SAS），推出OF＝AE． 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）计算：（1﹣2）2﹣（2）（2）． 【分析】根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可． 【解答】解：（1﹣2）2﹣（2）（2） ＝1﹣412﹣4+3 ＝12﹣4． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 17．（7分）已知如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，AF＝CE，求证：四边形DEBF为平行四边形． 【分析】连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质可求得AO＝CO，再由条件则可求得OE＝OF，则可判定四边形DEBF为平行四边形． 【解答】证明：连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∵AF＝CE， ∴AF﹣AO＝CE﹣CO，即FO＝EO， ∵BO＝DO， ∴四边形DEBF为平行四边形． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 18．（7分）【追本溯源】：人教版八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p，那么三角形的面积为S． 【方法应用】：如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝13，AB＝5． （1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积； （2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【分析】（1）依据题意，直接代入海伦一秦九韶公式求解； （2）依据题意，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，再用两直角边的积除以2求出面积即可 【解答】解：（1）由题意，∵AC＝12，BC＝13，AB＝5， ∴， ∴S△ABC ＝30． ∴△ABC 的面积为30． （2）由题意，∵AC＝12，BC＝13，AB＝5， ∴AC2＝144，BC2＝169，AB2＝25． ∴AB2+AC2＝169＝AC2， ∴∠A＝90°． ∴S△ABCAB×AC5×12＝30． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，代数式求值，勾股定理的逆定理，准确计算是解题关键． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）2025年春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评．演出结束后，节目组随机抽取了50名现场观众进行评分，同时统计出5000名线上观众评分（满分10分）．并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧BOT》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 现场 a 8 8 线上 7.6 b 7 （1）直接写出a，b，m的值； （2）请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数； （1）小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 【分析】（1）根据加权平均数、中位数的定义求解即可； （2）总人数乘以对应百分比即可得出答案； （3）根据样本估计总体思想求解即可． 【解答】解：（1）现场打分的平均数a（6×9+7×12+8×21+9×6+10×2）＝7.6，线上打分的中位数b＝7分， m%＝1﹣（12%+40%+30%+6%）＝12%，即m＝12； （2）线上观众评分不低于8分的总人数为5000×（12%+40%+30%）＝4100（人）； （3）同意，因为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据样本容量大，更能体现实际情况． 【点评】本题考查了中位数以及加权平均数，掌握题意读懂统计图是解题的关键． 20．（9分）如图，杠杆是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡瓷，其秤砣到秤纽的水平距离y（cm）与所挂物重（kg）之间满足一次函数关系，若挂1kg物体时秤砣到秤纽的水平距离为8cm，挂3kg物体时秤砣到秤纽的水平距离为19cm． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当秤砣到秤纽的水平距离为30cm时，求秤钩所挂物重． 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据y＝30时的函数值即可． 【解答】解：（1）秤砣到秤纽的水平距离y（cm）与所挂物重（kg）之间满足一次函数关系，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将点（1，8）、（3，19）代入得： ， 解得； ∴y与x之间的函数关系式为y＝5.5x+2.5； （2）当y＝30时，5.5x+2.5＝30， 解得x＝5， ∴当秤砣到秤纽的水平距离为30cm时，秤钩所挂物重为5kg． 【点评】本题考查一次函数的应用，正确的列出函数关系式是解题的关键． 21．（9分）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形． （2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝2，AE＝BD，求AD的长． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．根据全等三角形的性质得到AD＝CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形； （2）过点C作CG⊥AB于点G．根据勾股定理得到，由∠B＝30°得到．在Rt△BCG中，利用勾股定理得到BG，即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥CE， ∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED． ∵F是AC中点， ∴AF＝CF， 在△AFD与△CFE中， ， ∴△AFD≌△CFE（AAS）， ∴DF＝EF， ∴四边形ADCE是平行四边形； （2）解：过点C作CG⊥AB于点G， ∵∠CAB＝45°， ∴∠CAG＝∠GCA＝45°， ∴AG＝CG， 在△ACG中，∠AGC＝90°， 由勾股定理得：AG2+CG2＝AC2， ∴AG＝CGAC＝2， ∵∠B＝30°， ∴BC＝2CG＝4， ∴BG2， ∵BD＝CD， ∴CD2﹣DG2＝CG2， ∴， ∴BD， ∴AD＝AB﹣BD＝2． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 23．（14分）【问题背景】如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D（0，1）为y轴上一点． 【构建联系】 （1）求点A，点B的坐标； （2）点C为线段OA上一点，连接BC，AD交于点E，若∠AEC＝45°． ①求直线BC的解析式； ②点P（0，﹣2）为y轴负半轴上一点，求点P到直线BC的距离； 【深入探究】 （3）点M为y轴上一点，在平面上是否存在点N，使以点A，D，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）在yx+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣4，即得A（﹣4，0），B（0，3）； （2）①过B作BH⊥AD于H，过H作GK∥y轴，过B作BG⊥GK于G，过E作EK⊥GK于K，求出直线AD解析式为yx+1，设E（e，e+1），H（t，t+1），证明△BHG≌△HEK（AAS），可得BG＝HK，GH＝EK，即可列出e，t的方程组，解得E的坐标，再用待定系数法可得直线BC解析式为yx+3； ②过P作PT⊥BC于T，连接PE，由面积法可得点P到直线BC的距离为； （3）设M（0，m），N（p，q），又A（﹣4，0），D（0，1），分三种情况列方程组可解得答案． 【解答】解：（1）在yx+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0，3）； （2）①过B作BH⊥AD于H，过H作GK∥y轴，过B作BG⊥GK于G，过E作EK⊥GK于K，如图： 由A（﹣4，0），D（0，1）可得直线AD解析式为yx+1， 设E（e，e+1），H（t，t+1）， ∵∠AEC＝∠BEH＝45°，BH⊥AD， ∴△BEH是等腰直角三角形， ∴BH＝EH，∠BHE＝90°， ∴∠BHG＝90°﹣∠EHK＝∠HEK， ∵∠G＝∠K＝90°， ∴△BHG≌△HEK（AAS）， ∴BG＝HK，GH＝EK， ∴， 解得， ∴E（，）， 由E（，），B（0，3）得直线BC解析式为yx+3； ②过P作PT⊥BC于T，连接PE，如图： ∵B（0，3），P（0，﹣2）， ∴BP＝5， ∵E（，）， ∴S△BPE5， ∵BE， ∴•PT， ∴PT， ∴点P到直线BC的距离为； （3）在平面上存在点N，使以点A，D，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设M（0，m），N（p，q）， 又A（﹣4，0），D（0，1）， ①当AM，DN为对角线时，AM，DN的中点重合，且AD＝DM， ∴， 解得或， ∴N（﹣4，）或（﹣4，）； ②当AN，DM为对角线时，同理可得， 解得（此时M与D重合，舍去）或， ∴N（4，0）； ③当AD，MN为对角线时，同理得， 解得， ∴N（﹣4，）； 综上所述，N的坐标为（﹣4，）或（﹣4，）或（4，0）或（﹣4，）． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，全等三角形判定与性质，菱形的判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． 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