精品解析：福建省南安市成功中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

成功中学2024-2025学年度高二年下学期期末数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出一元二次不等式和指数不等式，再根据交集含义即可. 【详解】，， 则， 故选：B. 2. 为虚数单位，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法化简运算，在根据模长公式求解即可得答案. 【详解】因为，所以，则. 故选：B. 3. 已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线以及垂直的坐标表示，列出关于的方程组，求解即可. 【详解】因为与共线，所以，解得. 又，所以，解得，所以，所以. 故选：C. 4. 已知，那么是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得. 【详解】因为，且在上单调递增， 所以， 又在R上单调递减，所以, 所以是的充分条件， 而若，可能，此时不存在， 所以不是的必要条件， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式结合切化弦计算求解. 【详解】因为，则. 故选：B. 6. “二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（　　） A. 90 B. 180 C. 270 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏，由组合数计算即可. 【详解】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏， 其中1春2夏的不同情况有：种； 2春1夏的不同情况有：种， 所以小明选取节气的不同情况有：种． 故选：B． 7. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 14 D. 49 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式的展开式的通项进行合理赋值即可. 【详解】的展开式的通项为， 则，， 则展开式中的系数为， 故选：D. 8. 已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线与，分别切于点，根据导数的几何意义，可得斜率，化简计算，可得，设，利用导数可得的单调区间和极值，分析即可得答案. 【详解】设直线与，分别切于点， 由，得，由，得， 由导数的几何意义可得， 所以，则， 所以，则， 所以， 设，则 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 所以，即a的最大值为， 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是（ ） A. 极差 B. 众数 C. 平均数 D. 第25百分位数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案． 【详解】从6个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到4个新数据为：18，20，20，22， 极差为：， 众数为：， 平均数为：， 因为，所以第25百分位数为， 而原数据：16，18，20，20，22，24， 极差为：， 众数为：， 平均数为：， 因为，所以第25百分位数为， 所以所得新数据与原数据相比不变的是：众数和平均数. 故选：BC. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将，，代入判断ACD，利用二项式展开式的通项公式判断B即可. 【详解】将代入得，解得，A正确； 由二项式定理可知展开式的通项为， 令得，所以，B错误； 将代入得， 即，C正确； 将代入得， 即①， 将代入得， 即②， ①+②得，所以， ①-②得，所以， 所以，D正确； 故选：ACD 11. 投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（ ） A. 和互为对立事件 B. 事件和不互斥 C. 事件和相互独立 D. 事件和相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由对立事件的定义分析A，由互斥事件的定义分析B，由相互独立事件的定义分析CD，综合可得答案． 【详解】根据题意，表示事件“”，即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则， 表示事件“”，即第二次抛掷中，正面向上，则， 表示事件“”，即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，， 依次分析选项： 对于A，事件、可能同时发生，则事件、不是对立事件，A错误； 对于B，事件、可能同时发生，则事件和不互斥，B正确； 对于C，事件，即前两次抛掷中，第一次反面，第二次正面，， 由于，则事件和相互独立，C正确； 对于D，事件，即三次抛掷中，第一次和第三次反面，第二次正面，， ，事件、不是相互独立事件，D错误． 故选：BC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用在方向上的投影向量公式即可得到答案. 【详解】向量在向量方向上的投影， 即. 故答案为：. 13. 有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占，乙工厂生产的占.已知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为，，则从这批产品中任取一件是次品的概率是______. 【答案】0.024 【解析】 【分析】利用全概率公式直接求解． 【详解】设，分别表示甲、乙厂生产的产品，表示取到次品， 则，， ，， 从中任取一件产品取到次品的概率为： ， 故答案为：0.024． 14. 若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】变换得到，设得到，设，求导得到单调区间，计算最值得到答案. 【详解】，即， ，设，恒成立，函数单调递增，故， 故，设，，故， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 故，故， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用同构的思想，变换得到是解题的关键. 四、解答题（本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求； （2）若面积为，求边上中线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角即可得到角； （2）根据，得，结合三角形面积公式即可得到，再由正弦定理得边c，以及，即可得到答案． 【小问1详解】 ，由正弦定理边化角得， ，， 或（舍）， 又，； 【小问2详解】 ，，，， ，即，解得， 由正弦定理， 得， 设边的中点为，连接，如下图： ，即， 即， 解得． 16. 某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2. 表1： 工艺 合格情况 合计 合格品 不合格品 甲 18 20 乙 8 合计 40 表2： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 收益y（亿元） 6.5 7 8 8.5 （1）完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？ （2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？ 附：①，. ②临界值表： α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ③参考公式：，. 【答案】（1）列联表： 工艺 合格情况 合计 合格品 不合格品 甲 18 2 20 乙 12 8 20 合计 30 10 40 产品合格率与生产工艺有关； （2）12.75亿元. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算的观测值，与临界值比对即得. （2）利用最小二乘法公式求出回归直线方程，再代入计算即可. 【小问1详解】 列联表为： 工艺 合格情况 合计 合格品 不合格品 甲 18 2 20 乙 12 8 20 合计 30 10 40 零假设：两种工艺生产的配件与合格率无关， 由列联表中数据得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为产品合格率与生产工艺有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 显然， ，， 则，， 因此关于的线性回归方程为， 令，得， 所以预估研发投入10亿元，收益将达到12.75亿元. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，为等边三角形. （1）若为的中点，求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接， 因为为的中点，所以且，又且， 所以且，所以是平行四边形， 得到，又面，面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据条件得到是平行四边形，从而有，再利用线面平行的判定定理，即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，因为，，，， 所以，又为等边三角形，所以， 又，所以，得到， 又，，面， 所以面， 又面，所以面面， 取中点，连接，则，又面面，面面，面，所以面， 过作，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，， 知， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 设二面角的平面角为，， 因为， 所以. 18. 为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图. （1）求的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； （2）若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列. 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】（1）； （2）① ； ②的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求，根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可； （2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正态分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图性质可得：， 所以，由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有人， 获二等奖的有人，获三等奖的有人， 共有30人获奖，70人没有获奖， 从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为， 设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件， 则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等， 所以， 即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为. 【小问2详解】 由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值， ， 则所有参赛学生的成绩近似服从正态分布， ①因为，， 所以， 故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为． ②由，得， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为， 所以随机变量服从二项分布， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 19. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有极值点， （i）求实数a的取值范围； （ii）判断的零点个数. 【答案】（1） 当时在定义域上单调递减； 当时的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）（i）； （ii）当时，无零点；， 当时，有1个零点；当时，有2个零点 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； （2）（i）结合（1）中的结论，即可求解；（ii）结合（1）中的结论可得的极大值为，然后分，与讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 函数的定义域为 ， ①当时，恒成立，在上单调递减 ②当时，令，得（舍去） x + 0 - 递增 极大值 递减 的单调递增区间为，单调递减区间为 综上所述：当时在定义域上单调递减； 当时的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 （i）由（1）知 （ii）由（1）知的极大值为， ， 当即时，，则无零点； 当即时，，则有1个零点： 当即时，， ，， 令，，，在上单调递减， ，， 有2个零点； 综上所述：当时，无零点；， 当时，有1个零点；当时，有2个零点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成功中学2024-2025学年度高二年下学期期末数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 为虚数单位，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，那么是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. “二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（　　） A. 90 B. 180 C. 270 D. 360 7. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 14 D. 49 8. 已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是（ ） A. 极差 B. 众数 C. 平均数 D. 第25百分位数 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（ ） A. 和互为对立事件 B. 事件和不互斥 C. 事件和相互独立 D. 事件和相互独立 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为_________. 13. 有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占，乙工厂生产的占.已知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为，，则从这批产品中任取一件是次品的概率是______. 14. 若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为_______． 四、解答题（本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求； （2）若面积为，求边上中线的长． 16. 某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2. 表1： 工艺 合格情况 合计 合格品 不合格品 甲 18 20 乙 8 合计 40 表2： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 收益y（亿元） 6.5 7 8 8.5 （1）完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？ （2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？ 附：①，. ②临界值表： α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ③参考公式：，. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，为等边三角形. （1）若为的中点，求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图. （1）求的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； （2）若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列. 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 19. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有极值点， （i）求实数a的取值范围； （ii）判断的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $