江苏省如皋市学校联考2024-2025学年高二下学期教学质量调研（一）（3月）数学卷

2024—2025学年度高二年级第二学期教学质量调研(一) 数 学 试 题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1. 方程的解集为( ) 2.4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，则不局的报名方式有( A.81 B.64 C 24 D.6 3. 已知随机变量X,Y 满足, 若 , 则 ( ) A.18 B.0.2 C.-1 D.14.4 4. 学校要安排一场文艺晚会的6个节目的演出顺序，要求朗诵、舞蹈要相邻演出，独唱、小品不相邻演出，则不同的安排方法数是( ) A.36 B.18 C.72 D.144 5. 多项式 的 的系数为( ) A.330 B.165 C.210 D.120 6. 已知 , 若， 则y=( ) A.1 B. C.12 D.8 7. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记录骰子向上的点数，用×表示第一次抛掷骰子的点数，用y 表示第二次抛掷骰子的点数.记为事件A,为事件B,“xy奇数”为事件C, 则 A.A 与C 相互独立 B.A与C 对立 C.A 与 B 相互独立 D.B 与C 相互独立 8. 已知随机事件A,B 满足若,则 A. B. C. D. 二 、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列结论正确的是( ) A. 若随机变量X 的分布列为, 则 B. 在线性回归方程中，样本点的残差为 C. 对于随机事件A与B, 若 则事件A与B相互独立 D. 甲、乙两组数据的相关系数分别为和,则甲组数据的线性相关性更强 10. 若下列结论正确的是 A. B. C. D. 11. 甲、乙两个口袋中分别装有形状、大小相同的1个红球、2个白球. 同时从甲、乙两个口 袋中各任取一个球放入对方口袋称为一次操作，第一次操作后甲口袋中恰有“0个红球”、“1个红球”、“2个红球”分别记为事件, “第二次操作后甲口袋中恰有2个红球”记为事件B, “第三次操作后甲口袋中恰有1个红球”记为事件C,则 ( ) A. B. C. D. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分 .) 12. 若随机变量, 若 则 13.的展开式中,的系数为 14. “算两次”是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式.某同学在研究组合问题时，解决了如下两个问题：①从50名学生中选取20人去参加活动，方法数为,另一方面，可以理解为从50名学生中选取30人不去参加活动，方法数为所以; ②从50名学生中选取10人去参加活动，并选出一人担任队长，共有多少种不同的方法? 一方面，可以先从50名学生中选出10人，再从10人中选出1人担任队长,方法数为, 另一方面，也可以先从50名学生中选出1人担任队长，再从余下的49人中选出9人,方法数为, 所以. 根据这两个问题，写出组合数的一个性质 (写出其中一个即可),并解决如下问题：使不等 成立的n 的最小值为 四 、解答题(本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15 . (本小题满分13分) 近年来，抖音社交软件越来越受大众欢迎，用户可以在抖音平台创作自己的作品.某用 户对自己发布的视频个数x 与收到的点赞总数y 之间的关系进行了分析研究，发现y 与 x 的关系可以用线性回归模型拟合.得到的数据如下： x 1 2 3 4 5 y 30 40 55 60 70 ( 1 ) 求y 关 于x 的线性回归方程； (2)估计当发布20个视频时，点赞总数是多少? 参考公式和数据： 回归直线方程的斜率截距. 16. (本小题满分15分) 已知，的展开式中，前三项的二项式系数之和为22. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 17. (本小题满分15分) 某校为了解学生假期自主学习是否影响开学检测成绩，对学生的成绩进行抽样调查，随 机抽取了100名学生的成绩，得到如下2×2列联表： 合格 不合格 总计 自主学习 45 15 60 未自主学习 15 25 40 总计 60 40 100 (1)能否有99.5%的把握认为检测成绩与假期自主学习有关? (2)用频率估计概率，学校决定组织不合格的学生进行补考，已知假期中自主学习的学 生补考通过的概率为 ,未自主学习的学生补考通过的概率为,从该校不合格的 学生中任意抽取一人，求该学生补考通过的概率； (3)用分层抽样的方法从样本中合格的学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人， X 表示3人中自主学习的人数，求X 的分布列和数学期望. 参考公式和数据： ,其中. 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 学科网（北京）股份有限公司 18. (本小题满分17分) 某公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节，考试分为笔试和而试， 笔试成绩高于80分的考生才能进入面试环节，已知有500人参加了该公司的笔试，笔试 成绩 (1)从参加笔试的500人中随机抽取3人，求这3人中至少有1人能进入面试的概率； (2)面试环节进行抢答比赛，用抽签的方法将面试人员随机分成若干组，每组两人，规则如下：共有两道抢答试题，每个人抢到每道试题的机会相同.若抢到试题且回答 正确得10分，对方得0分；若抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方得5 分，两道题目抢答完毕后得分多者将通过面试.已知甲、乙两人被分在同一组，每 道试题甲回答正确的概率为 乙回答正确的概率为 .两人每道试题回答是否正 确相互独立. ①设X 为乙在两道题目抢答完毕后的总得分，求X 的分布列和数学期望； ②已知乙在两道题目抢答完毕后得10分，求乙两次都获得答题机会的概率. 参考公式和数据： ①若随机变量服从正态分布则 ,, ② 学科网（北京）股份有限公司 19. (本小题满分17分) 为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和 .每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. (1)若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为, 求 的最大值以及此时的值； ( 2 ) 若 , 用表示前3次甲投篮的次数，求的分布列和数学期望； (3)在(2)的条件下，设第n 次是甲投篮的概率为, 证明： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度高二年级第二学期教学质量调研(一) 数 学 试 题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1. 方程的解集为( ) 【答案】 【解析】根据组合数的性质可得到： 或 可解得： 或或或 经检验，不合题意，故舍去 故选， 2.4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，则不局的报名方式有 A.81 B.64 C 24 D.6 【答案】 【解析】因为本题当中没有任何限制条件，因此根据乘法原理，4名学生的总报名方式数为： 故选， 3. 已知随机变量X,Y 满足, 若 , 则 ( ) A.18 B.0.2 C.-1 D.14.4 【答案】 【解析】由题意，，根据二项分布的方差公式可以得到 因此可以得到： 故选 4. 学校要安排一场文艺晚会的6个节目的演出顺序，要求朗诵、舞蹈要相邻演出，独唱、小品不相邻演出，则不同的安排方法数是( ) A.36 B.18 C.72 D.144 【答案】 【解析】总排列数： 独唱与相声相邻的情况： 因此独唱与相声不相邻的情况； 因此最终结果：， 故选 5. 多项式 的 的系数为( ) A.330 B.165 C.210 D.120 【答案】 【解析】由题意可得：, 故选 6. 已知 , 若，则y= A.1 B. 13 C.12 C.8 【答案】 【解析】根据二项式定理： 故选 7. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记录骰子向上的点数，用×表示第一次抛掷骰子的点数，用y 表示第二次抛掷骰子的点数.记为事件A,为事件B,“xy奇数”为事件C, 则 A.A 与C 相互独立 B.A与C 对立 C.A 与 B 相互独立 D.B 与C 相互独立 【答案】 【解析】由题意得到 对于，错误 对于与是互斥但不对立，错误 对于与相互独立，故正确 对于，与不相互独立，故错误 故选 8. 已知随机事件A,B 满足若,则 A. B. C. D. 【答案】 【解析】 ,故选 二 、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列结论正确的是( ) A. 若随机变量X 的分布列为, 则 B. 在线性回归方程中，样本点的残差为 C. 对于随机事件A与B, 若 则事件A与B相互独立 D. 甲、乙两组数据的相关系数分别为和,则甲组数据的线性相关性更强 【答案】 【解析】对于，由分布列的性质可知，解得正确 对于，残差错误 对于，由可得到即故事件与相互独立，正确 对于，越接近1，相关性越强，故乙组数据的线性相关性更强，错误 故选 10. 若下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】 【解析】令可得故正确； 令可得令可得 故可以得到故正确， 对于，则故错误 令可得，令可得 所以可得到所以 又因为所以正确， 故选 11. 甲、乙两个口袋中分别装有形状、大小相同的1个红球、2个白球. 同时从甲、乙两个口 袋中各任取一个球放入对方口袋称为一次操作，第一次操作后甲口袋中恰有“0个红球”、“1个红球”、“2个红球”分别记为事件, “第二次操作后甲口袋中恰有2个红球”记为事件B, “第三次操作后甲口袋中恰有1个红球”记为事件C,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】由题意可得故正确； 由全概率公式可得： 所以故正确； 故正确，所以选 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分 .) 12. 若随机变量, 若 则 【答案】 【解析】由题意，正态分布曲线关于直线对称，所以所以可得到： 解得 13.的展开式中,的系数为 【答案】60 【解析】由二项式定理可得，展开式当中含有的项为系数为60 14. “算两次”是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式.某同学在研究组合问题时，解决了如下两个问题：①从50名学生中选取20人去参加活动，方法数为,另一方面，可以理解为从50名学生中选取30人不去参加活动，方法数为所以; ②从50名学生中选取10人去参加活动，并选出一人担任队长，共有多少种不同的方法? 一方面，可以先从50名学生中选出10人，再从10人中选出1人担任队长,方法数为, 另一方面，也可以先从50名学生中选出1人担任队长，再从余下的49人中选出9人,方法数为, 所以. 根据这两个问题，写出组合数的一个性质 (写出其中一个即可),并解决如下问题： 使不等式成立的n 的最小值为 【答案】组合数性质：或 最小值：9 【解析】由题意 四 、解答题(本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15 . (本小题满分13分) 近年来，抖音社交软件越来越受大众欢迎，用户可以在抖音平台创作自己的作品.某用 户对自己发布的视频个数x 与收到的点赞总数y 之间的关系进行了分析研究，发现y 与 x 的关系可以用线性回归模型拟合.得到的数据如下： x 1 2 3 4 5 y 30 40 55 60 70 ( 1 ) 求y 关 于x 的线性回归方程； (2)估计当发布20个视频时，点赞总数是多少? 参考公式和数据： 回归直线方程的斜率截距. 【答案】（1） （2）195.5 【解析】（1）由题意 所以关于的线性回归方程为 （2）当时， 所以当发布20个视频时，点赞总数约为 195.5 16. (本小题满分15分) 已知，的展开式中，前三项的二项式系数之和为22. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）135 （2） 【解析】 （1） 因为前三项的二项式系数和为22，所以， 可解得或（舍去），所以展开式的通项 令可得 （2）所以展开式当中的常数项为 设第项系数最大，则，解得又因为所以 所以展开式当中系数最大的项为 17. (本小题满分15分) 某校为了解学生假期自主学习是否影响开学检测成绩，对学生的成绩进行抽样调查，随 机抽取了100名学生的成绩，得到如下2×2列联表： 合格 不合格 总计 自主学习 45 15 60 未自主学习 15 25 40 总计 60 40 100 (1)能否有99.5%的把握认为检测成绩与假期自主学习有关? (2)用频率估计概率，学校决定组织不合格的学生进行补考，已知假期中自主学习的学 生补考通过的概率为 ,未自主学习的学生补考通过的概率为,从该校不合格的 学生中任意抽取一人，求该学生补考通过的概率； (3)用分层抽样的方法从样本中合格的学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人， X 表示3人中自主学习的人数，求X 的分布列和数学期望. 参考公式和数据： ,其中. 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 【答案】见解析 【解析】 （1）由题中列联表可得 又因为 所以有99.5%的把握认为检测成绩与假期自主学习有关 （2）由列联表可知，不合格的学生中自主学习的有15人，未自主学习的有25人，用频率估计概率，则不合格的学生中任取一人，该学生是自主学习的概率为，该学生是未自主学习的概率为 设事件为“从不合格的学生中任意抽取一人，该学生补考通过”，则 （3）由题意，自主学习的学生中合格的有45人，未自主学习的学生中合格的有15人，用分层抽样的方法抽取8人，则自主学习的学生抽取6人，未自主学习的学生抽取2人。 因此的可能取值为1，2，3 ,,所以期望为 18. (本小题满分17分) 某公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节，考试分为笔试和而试， 笔试成绩高于80分的考生才能进入面试环节，已知有500人参加了该公司的笔试，笔试 成绩 (1)从参加笔试的500人中随机抽取3人，求这3人中至少有1人能进入面试的概率； (2)面试环节进行抢答比赛，用抽签的方法将面试人员随机分成若干组，每组两人，规则如下：共有两道抢答试题，每个人抢到每道试题的机会相同.若抢到试题且回答 正确得10分，对方得0分；若抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方得5 分，两道题目抢答完毕后得分多者将通过面试.已知甲、乙两人被分在同一组，每 道试题甲回答正确的概率为 乙回答正确的概率为 .两人每道试题回答是否正 确相互独立. ①设X 为乙在两道题目抢答完毕后的总得分，求X 的分布列和数学期望； ②已知乙在两道题目抢答完毕后得10分，求乙两次都获得答题机会的概率. 参考公式和数据： ①若随机变量服从正态分布则 ,, ② 【答案】见解析 【解析】 （1） 根据正态分布的对称性可得，， 所以至少一人的概率为 （2）每道题乙得分取决于抢答和回答正确与否，所以会得分可能为10分，5分，0分， 单题得分概率： ，， 已知乙总得分为10分，所以要求的是在的条件下，两次抢到题的概率，故条件概率为 19. (本小题满分17分) 为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和 .每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. (1)若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为, 求 的最大值以及此时的值； ( 2 ) 若 , 用表示前3次甲投篮的次数，求的分布列和数学期望； (3)在(2)的条件下，设第n 次是甲投篮的概率为, 证明： 【答案】（1）当时取得最大值，且 （2）见解析 （3）证明见解析 【解析】（1）已知第一次甲投，第三次乙投有两种情况： 情况：甲第一次未投中，第二次投中，换乙投，其概率为 情况：甲第一次投中，第二次乙投且未中，第三次乙接着投，其概率为 所以可得到 所以当时取得最大值， （2）已知，表示前三次甲投篮的次数，则的可能取值为0，1，2，3 所以可得到,, , 所以 （3）已知第次是甲投篮的概率为，则第次是乙投篮的概率为 故第次是甲投篮有两种情况： 第次是甲投篮且没投进，概率为 第次是乙投篮且投进，概率为 所以可得到 则有又因为， 所以是以为首项，公比为的等比数列 所以 当为奇数时，，单调递增，且 当为偶数时，，单调递减，且 综上故得证 学科网（北京）股份有限公司 $$