精品解析：山东省菏泽市2024-2025学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试题

2024—2025学年高二下学期教学质量检测 数学试题 2025.07 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. （ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数公式和排列数公式直接计算可得. 【详解】由组合数公式和排列数公式可得. 故选：D 2. 两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可. 【详解】由正态分布和的密度函数图象， 的对称轴在的对称轴的左侧， 故， 由图象可得的数据的集中程度相比更加分散， 根据方差的意义可得， 故选：C . 3. 某质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则物体在时的瞬时加速度（单位：）是（ ） A. 5 B. 10 C. 11 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由题意依次求导代入即可得解. 【详解】由题意，则， 加速度 所以物体在时的瞬时加速度为. 故选：B. 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导可得，在上单调递增可以转化为在上恒成立，构造函数利用导数求得最大值即可得出结果. 【详解】函数，其定义域为， 求导得. 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 移项可得，即在上恒成立. 令，， 对求导得. 令，解得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值. 所以. 故选：B 5. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有两个小孩的家庭，已知该家庭有女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列出样本空间，然后根据条件概率的公式求解概率即可. 【详解】用表示男孩，表示女孩，则样本空间， 用表示事件 “选择的家庭中有女孩”，表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则，. 则，， 所以“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率为. 故选：C. 6. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数判定单调性结合特殊区间即可得出选项. 【详解】， 令，所以在和上单调递增， 又当时，，. 故选：C 7. 离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则（ ） A. B. 0.6 C. 0.8 D. 1.6 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到，从而得到，计算方差得到，再计算即可. 【详解】由题知： . 所以， 所以. 故选：D 8. 用1，2，3组成三位数，数字最多用次，其中，则满足条件的三位数个数是（ ） A. 15个 B. 18个 C. 19个 D. 27个 【答案】C 【解析】 【分析】分三个不同数字各出现一次，一个数字出现两次，一个数字出现三次，三种情况讨论即可. 【详解】当三个不同数字各出现一次时，有个； 当一个数字出现两次，其他两个数字各出现一次时，则重复出现的数字只能是， 则有个； 当一个数字出现三次，则仅有数字符合条件，则有个； 综上所述，满足条件的三位数共有个. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. 的值为 B. 的值为30 C. 的值为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】令 ，即可判断 ；利用二项式展开得通项，结合乘法得分配律即可判断 ；分别令 和 即可判断 ；令 即可判断 . 【详解】对于 ，令 ，则 ，故 正确； 对于B， 先将展开，其通项公式为， 展开式中的系数为展开式中的系数与的系数之和， ，故B正确； 对于 ，令 ，则 ， 令 ，则 ， 则 ， 故 错误； 对于 ，令 ，则 ， 所以，D错误. 故选： AB 10. 下列命题正确的有（ ） A. 在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数越大，则样本的线性相关性越强 B. 若用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好 C. 若以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别为3，4 D. 一组成对数据，增加一对数据，其中，，线性回归方程不变（其中） 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据回归方程、残差、相关系数、非线性回归等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，相关系数的绝对值越大，样本的线性相关性越强，故A错误； 对于B，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B选项正确； 对于C， 由，得，故C确. 对于D，新增加的数据是原数据的样本中心点， 根据线性回归方程的性质，回归直线过，增加这样一个点，样本中心点不变， 计算回归系数和的公式中，分子分母的计算结果也不会改变，所以线性回归方程不变，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔向左或向右移动一个单位．向左移动的概率为，向右移动的概率为，设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的有（ ） A. 当，则 B. 当，则 C. 当，该质点共经过两次3的概率为 D. 当，的期望 【答案】ACD 【解析】 【分析】设移动次中，向右移动次，则，，根据二项分布的相关知识逐一判断即可求解. 【详解】设移动次中，向右移动次，向左移动次，则， 则. 对于A：当时，要使得，则向左和向右移动的次数均为次， 根据二项分布概率公式， A正确； 对于B：当时，要使得，则向右移动次，向左移动次， ，B错误； 对于C：当时，R向右移动，L向左移动， 则该质点共经过两次3，前5次的移动情况共有2种情况：，， 所以概率为，C正确； 对于D：因为. 期望. 因为，所以，则. 当时，，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率是________． 【答案】0.55 【解析】 【分析】由条件概率和全概率公式计算. 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．由题意得 ，，， ，， ． 故选：0.55. 13. 把6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有______种．（用数字作答） 【答案】144 【解析】 【分析】根据题意分2步进行：①先将票分为符合条件的4份，有2个人各一张，2个人各2张；②再将分好的4份全排列，对应到4个人，即可得答案. 【详解】解：根据题意，可分为两步进行： ①先将票分为符合条件的4份，4人分6张票，且每人至少一张，至多两张， 则有2个人各一张，2个人各2张，且分得的票必须连号，相当于将1，2，3，4，5，6这6个数字用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号， 即在其中的5个空隙中插入3个板子，其有种情况； 其中出现3张三连号的有：123，4，5，6；1，234，5，6；1，2，345，6；1，2，3，456；共4种情况，不满足题意， 所以有10-4=6种情况； ②再将分好的4份全排列，对应到4个人，有种情况， 由分步计数原理可得，共有种不同的分法. 故答案为：144 14. 已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先通过构造函数，结合已知条件求出所构造函数的导数，进而判断其单调性，再利用函数单调性求解不等式. 【详解】，则， 设，则，是常值函数， 又，，， ，， 设，则， 在上单调递增，， ，在上单调递增， 由， 故不等式可转化为， 故，可得， 不等式的解集是 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中第三项的系数是第二项系数的2倍． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的展开式中含项的系数（结果用数值表示）． 【答案】（1） （2）和 （3）219 【解析】 【分析】（1）利用二项式展开式的通项计算即可求出； （2）由展开式的通项可知共有10项，则二项式系数最大的项为第5项和第6项计算即可； （3）分析可知展开式中含项的系数，根据组合数性质计算即可. 【小问1详解】 的展开式的通项为， 因为第三项的系数是第二项系数的2倍， ，解得，因为，所以； 【小问2详解】 由知展开式共有10项，二项式系数最大的项为第5项和第6项， 由（1）知第5项为，第6项为， 所以二项式系数最大的项为和； 【小问3详解】 由（1）知展开式中的系数为 ， 所以展开式中含项的系数为219. 16. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测试得到了表中数据： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 10 30 40 乙校 20 20 40 合计 30 50 80 （1）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？如果表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因； （2）现从所抽取的数学成绩优秀学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中来自乙校的人数为，求的分布列和期望． 附：①，其中． ②临界值表 0.1 0.01 0.005 2.706 6.635 7.879 【答案】（1）认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异，不一样，因为样本容量的不同，导致推断结论发生了变化 （2）分布列： 0 1 2 数学期望为 【解析】 【分析】（1）求出观测值，再与临界值比对即可得解. （2）由分层抽样确定5人中来自乙校的人数，然后确定的所有取值为0，1，2，计算出各概率的分布列，再由期望公式计算期望. 【小问1详解】 零假设：两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异. 因为， 依据小概率值的独立性检验，没有充分的理由推断不成立， 所以认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异． 所有数据都扩大10倍后： ． 依据小概率值的独立性检验，可以认为不成立，即学校与数学成绩有关联 结论不一样，主要是因为样本容量的不同，导致推断结论发生了变化. 【小问2详解】 由分层随机抽样可知，抽取的5名学生中有2名来自乙校． 所有可能的取值为0，1，2， 知，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故． 17. 已知函数． （1）若在点处的切线方程为，求的值； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）把点代入构建关于的方程，求解得到的值，对求导，将代入导函数得切线斜率，再把点和代入切线方程求，即可得的值； （2）对求导并因式分解，令导函数为0，得到两根和，分、、三种情况，根据导函数正负判断的单调区间． 【小问1详解】 因为，所以， 因为过点，所以解得， 又因为，在点处的切线方程为， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为，令， 解得，， ①当即时， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数； ②当即时，， 在上为增函数； ③当即时， 当时，，为增函数； 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 综上：当时，的单调递增区间为和，递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，递减区间为. 18. 在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局．现有8支球队随机编号到对阵位置，所有球队在任何一场比赛中获胜的概率均为．已知甲、乙两队参赛． （1）求甲队获得冠军的概率； （2）求甲、乙在第轮（其中）相遇的概率； （3）为使得甲、乙两队在比赛过程中相遇的概率小于0.001，组委会计划增加球队支数到支，对阵图和上图类似，求的最小值． 【答案】（1） （2）第1轮相遇的概率为，第2轮相遇的概率为，第3轮相遇概率为. （3）11 【解析】 【分析】（1）由每轮比赛甲都必须获胜即可求解； （2）假设甲的位置固定，分析甲乙要想在第轮相遇乙的位置，然后结合相互独立事件的概率乘法公式可得； （3）法一：分析甲乙要想在第轮相遇乙的位置，求出相应概率，然后求和，解不等式即可得解；法二：求出参赛球队为、时，甲乙相遇的概率关系，利用累加法求解，然后解不等式可得. 【小问1详解】 设甲队获得冠军为事件A，甲如果想获得冠军，每轮比赛都要获胜， 则. 【小问2详解】 设甲乙第一轮相遇概率为，甲乙第二轮相遇概率为，甲乙第三轮相遇概率为， 设甲的位置固定，若乙要与甲在第一轮相遇只能在同一组， 所以甲乙在第一轮相遇的概率， 甲乙要在第二轮相遇，则甲乙在同一个半区，但不在同一组的概率为， 同时甲乙在第一轮都要获胜，则. 甲乙要在第三轮相遇，则甲乙不在同一个半区的概率为， 同时甲乙在第一､二轮都要获胜，则. 综上，第1轮相遇的概率为，第2轮相遇的概率为，第3轮相遇概率为. 【小问3详解】 解法一：记比赛的轮次为事件，甲乙在比赛过程中相遇的事件为， 要使甲乙能在第轮相遇，则甲乙必须得在同一个区内的不同半区，概率为， 同时甲乙在前轮都要获胜， 所以. 所以甲乙相遇的概率为. 要使得甲乙相遇的概率小于0.001，即，即， 又因为为整数，所以最小的值为11. 解法二：设支球队参赛，甲乙相遇的概率为，则当时，甲乙一定相遇，此时. 当支球队参赛，甲乙相遇的概率为. 考虑将个选手分成上下两个区，每区名选手，这时有2种情况， 情形一：乙和甲在同一区，此时甲乙相遇的概率为， 情形二：乙和甲不在同一区，两人相遇必须都进入决赛，即前轮比赛均获胜. 所以， 于是，， 累加得，所以. 要使得甲乙相遇的概率小于0.001，即，即 又因为为整数，所以，所以最小的值为11. 19. 已知函数，． （1）若函数的极大值与的极大值之和为，求的值； （2）若，当时，求的最小值； （3）判断图象上存在多少组关于点对称的点对，说明你的结论和理由． 【答案】（1） （2） （3）存在唯一的点对关于对称， 理由：假设存在，设， 于是， 得，即， 令，则， 所以在上单调递减，， 由零点存在定理，使得 即存在唯一的点对关于对称. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据极值与函数导数的关系结合题意可列方程，即可求解； （2）由题意可得，化简为，判断出且，结合，设，由其单调性得，即可得，构造函数，即可求解； （3）判断出结论，假设存在，结合函数的对称性的性质即可说明. 【小问1详解】 因为，所以 令得，的变化情况列表如下： 增函数 极大值 减函数 所以的极大值为， 因为，所以， 令得，的变化情况列表如下： 增函数 极大值 减函数 所以的极大值为， 所以由已知得，即. 【小问2详解】 由题意可知：，，即， 所以即且， 又因为， 设，由（1）知在上单调递增，所以， ，令， 则， 在上，，在单调递减， 在上，，在单调递增， 所以，即的最小值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高二下学期教学质量检测 数学试题 2025.07 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. （ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 2. 两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 某质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则物体在时的瞬时加速度（单位：）是（ ） A. 5 B. 10 C. 11 D. 20 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有两个小孩的家庭，已知该家庭有女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则（ ） A. B. 0.6 C. 0.8 D. 1.6 8. 用1，2，3组成三位数，数字最多用次，其中，则满足条件的三位数个数是（ ） A. 15个 B. 18个 C. 19个 D. 27个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. 的值为 B. 的值为30 C. 的值为 D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数越大，则样本的线性相关性越强 B. 若用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好 C. 若以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别为3，4 D. 一组成对数据，增加一对数据，其中，，线性回归方程不变（其中） 11. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔向左或向右移动一个单位．向左移动的概率为，向右移动的概率为，设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的有（ ） A. 当，则 B. 当，则 C. 当，该质点共经过两次3的概率为 D. 当，的期望 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率是________． 13. 把6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有______种．（用数字作答） 14. 已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中第三项的系数是第二项系数的2倍． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的展开式中含项的系数（结果用数值表示）． 16. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测试得到了表中数据： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 10 30 40 乙校 20 20 40 合计 30 50 80 （1）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？如果表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因； （2）现从所抽取的数学成绩优秀学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中来自乙校的人数为，求的分布列和期望． 附：①，其中． ②临界值表 0.1 0.01 0.005 2.706 6.635 7.879 17. 已知函数． （1）若在点处的切线方程为，求的值； （2）求的单调区间． 18. 在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局．现有8支球队随机编号到对阵位置，所有球队在任何一场比赛中获胜的概率均为．已知甲、乙两队参赛． （1）求甲队获得冠军的概率； （2）求甲、乙在第轮（其中）相遇的概率； （3）为使得甲、乙两队在比赛过程中相遇的概率小于0.001，组委会计划增加球队支数到支，对阵图和上图类似，求的最小值． 19. 已知函数，． （1）若函数的极大值与的极大值之和为，求的值； （2）若，当时，求的最小值； （3）判断图象上存在多少组关于点对称的点对，说明你的结论和理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $