专题 13.2 三角形的内角与外角（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024）

专题 13.2 三角形的内角与外角 一知识梳理 1 【知识点1】三角形的内角 1 【知识点2】三角形的外角 3 二思维导图 3 三题型分类精析 4 考点（一）三角形内角和定理及其基础应用 4 【题型 1】三角形内角和定理的证明 4 【题型 2】三角形内角和定理的直接应用 8 【题型 3】直角三角形中锐角互余的应用 11 【题型 4】锐角互余判定直角三角形 13 考点（二）三角形内角和定理的综合应用 15 【题型 5】三角形内角和+平行线综合 15 【题型 6】三角形内角和+角平分线综合 18 【题型 7】三角形内角和+折叠问题 20 考点（三）三角形外角的性质及综合应用 22 【题型 8】三角形外角的定义及基础性质应用 22 【题型 9】三角形内外角性质的综合求值 25 【题型 10】三角形内外角性质的综合证明 27 四同步练习​ 30 【基础巩固（12题）】 31 【能力提升（12题）】 43 【直通中考（6题）】 58 一.知识梳理 【知识点1】三角形的内角 1.三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的三个内角之和恒等于180°. 2.数学语言表述：如图1，在ABC中，. 图1 3.三角形内角和定理的证明 已知：△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C； 求证：∠A+∠B+∠C过点A作直线MN，使之与BC边平行（或相交于BC的延长线）。线MN，使MNBC． 图2 ∵MNBC, ∴∠B=∠MAB,∠C=∠NAC, ∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°, ∴∠B+∠C+∠BAC=180°, 即∠BAC+∠B+∠C=180°． 【特别说明】 （1）证明三角形内角和的方法很多，在后面的例题、练习题中还会出现其他方法 （2）三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不三角形外角的定义是：由三角形的一边与另一边的反向延长线所夹的角，称为三角形的外角。 4.直角三角形 （1）有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形； 如图3所示，在中，，则为直角三角形 （2） 有两个内角互余的三角形是直角三角形. 如图3所示，在中，，则为直角三角形 图3 【知识点2】三角形的外角 1.定义;三角形的一边与另一边的延长线组成的角 如图4所示，在ABC中，是的一个外角，它的相邻内角是，不相邻两内角分别为、. 图4 2.三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 3.三角形外角性质的证明 已知：如图5，是的一个外角。 求证：． 证明：方法一：中，， ∵， ∴； 方法二：过点C作，如图3，    图5 ∵ ∴，， ∴． 二．思维导图 三. 题型分类精析 考点（一）三角形内角和定理及其基础应用 【题型 1】三角形内角和定理的证明 【例题 1】 （23-24七年级下·全国·单元测试）在三角形这一章的学习中我们知道，“三角形的内角和是”这个结论的证明方法有很多． 如下图，已知三角形，求证：．    分析：通过画平行线，将、、作等角代换，使各角之和恰为一个平角，依辅助线不同而得多种证法． 证法一：如下图，过点作直线． 因为， 所以________， ________________________________． 因为， 所以．    证法二：如下图，延长到，过点作，    证法三：如下图，    （1）请补全证法一中的证明过程． （2）将证法二补充完整，并写出说理过程． （3）如证法三图，过线段上任一点点、除外，作，这种添加辅助线的方法也能证明请完成说理过程此题不需要写括号部分的理论依据．证法三：如图，过线段上任一点点、除外，作． 【答案】（1）， 两直线平行，内错角相等；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题主要考查了平行线的性质： （1）根据两直线平行，内错角线段得到，，再根据平角的定义得到，则； （2）由两直线平行，内错角相等，同位角相等得到，再由平角的定义得到，则； （3）根据平行线的性质得到，，再由平角的定义得到，则． 解：（1）证明：如下图，过点作直线． 因为， 所以， 两直线平行，内错角相等． 因为， 所以．    （2）证明：如下图，延长到，过点作， ∵ ， ∴， ∵， ∴；    （3）证明：如图，过线段上任一点点、除外，作， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴．    【变式1】 （23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） 已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．    A．★处填2 B．■处填1 C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义 【答案】D 【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可． 解：证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴1，2（两直线平行，内错角相等）． ∵（平角定义）， ∴（等量代换）．    故选D 【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． 【变式2】 （2024八年级上·黑龙江·专题练习）在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键． 作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 解：A、由， 得，． 由， 得． 故A不符合题意； B、由于D， 得， 无法证得三角形内角和是． 故B符合题意； C、由， 得，，． 由， 得，， 那么． 由， 得． 故C不符合题意， D、由， 得，． 由， 得． 故D不符合题意； 故选：B． 【题型 2】三角形内角和定理的直接应用 【例题 2】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． （1）请说明； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查角平分线和高线的定义，三角形的内角和定理； （1）根据角平分线得到，根据高线得到，然后等量代换解题即可； （2）先得到，然后根据，求出的度数，利用三角形的外角解答即可． 解：（1）证明：∵是角平分线， ∴， 又∵是的高线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式1】 （24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出，，进而得出的度数，进而得出答案． 解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】 （四川省巴中市2024-2025学年下学期七年级数学期末试题（北师大版））把一副三角板（，，）按如图所示摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，由平行线的性质可得，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图： ， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【题型 3】直角三角形中锐角互余的应用 【例题 3】 （24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，，垂足为点． （1）若，请求出的度数； （2）若，试问与平行吗？为什么？ 【答案】（1）；（2），理由见分析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、同角或等角的余角相等、直角三角形的性质． （1）因为，根据同位角相等，两直线平行可证，根据两直线平行，同位角相等可知； （2）根据垂直的定义可知，根据直角三角形两锐角互余可得，因为，根据同角的余角相等可证，等量代换可得，根据内错角相等，两直线平行可证． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】 （2025·广东湛江·二模）如图所示，一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，求出，再根据平行线的性质得到结论即可． 解：如图，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行， ， ， 摩擦力的方向与斜面平行， ， ． 故选：C． 【变式2】 （24-25八年级上·天津·期中）如图，中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，先根据直角三角形两锐角互余求出，结合已知可得的度数，然后利用补角的定义求出即可，熟知在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【题型 4】锐角互余判定直角三角形 【例题 4】 （22-23八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． （1）判断的形状； （2）判断是否与垂直． 【答案】（1）是直角三角形；（2） 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 解：（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】 如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是 ． 【答案】直角三角形 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A进而可得出结论. 解： 在Rt△ABC 中， ∵∠B＝90°, ∴∠A+∠C=90°, ∵∠DEC＝∠A, ∴∠DEC+∠C=90°, ∴∠EDC=90°, ∴△EDC 是直角三角形, 故答案为 直角三角形. 【点拨】本题考查了直角三角形的两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形，是基础知识要熟练掌握. 【变式2】 （24-25八年级上·吉林·期中）下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键． 解：、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、设，，（为正数）， ∵， ∵， ∴， ∴，，， ∴此选项中不是直角三角形，符合题意； 、∵，， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 故选：． 考点（二）三角形内角和定理的综合应用 【题型 5】三角形内角和+平行线综合 【例题 5】 （23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，点在直线上，与交于点，. （1）求证：； （2）若，，求的度数. 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理. （1）根据两直线平行，内错角相等，推出，利用已知条件，通过等量代换求证，最后根据同位角相等，两直线平行求证. （2）利用垂直性质和平行线的性质推出，根据三角形内角和即可求出度数. 解：（1）证明：， ， ， ， . （2）解：， ， ， . ， ， . 【变式1】 （24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】 （24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 【题型 6】三角形内角和+角平分线综合 【例题 6】 （24-25七年级下·福建福州·期末）如图，，，是边上的高，是的角平分线． （1）求的度数； （2）是的角平分线，与交于点．求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，三角形高线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据角平分线定义求出，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解； （2）根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，，最后求出结果即可． 解：（1）解：在中，，是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ． （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】 （24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在中，于平分交于F，交于C，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据得出，由可得出的度数，由平分可得出的度数，再根据即可得出结论． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2】 （24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，平分，平分，如果，那么 °． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出． 解：， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【题型 7】三角形内角和+折叠问题 【例题 7】 （20-21七年级下·江苏泰州·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， （1）若，试判断与的数量关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1），见分析；（2） 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，等量代换思想解答即可； （2）根据，，得到，根据，得到，计算的度数． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 解：（1）解：，理由如下： ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】 （24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】 （24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质、角平分线的定义；由折叠得和，由题意得和，根据，即可求得． 解：由折叠的性质得到：，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 考点（三）三角形外角的性质及综合应用 【题型 8】三角形外角的定义及基础性质应用 【例题 8】 （24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，P为上一点，且，求的度数．（请用两种方法来解决问题） 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，是解题的关键： 法一：三角形的内角和求出，三角形的外角结合角的和差关系，推出，即可； 法二：三角形的外角得到，角的和差关系得到，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 解：方法一： ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，    ∴， 方法二： ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵，    ∴． 【变式1】 （24-25八年级上·广东惠州·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，由三角形外角的性质可得，则可求出，由平角的定义和三角形外角的性质可得． 解：如图所示，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】 （24-25八年级上·广东惠州·期中）将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，三角形外角的性质等知识；由题意可求得的度数，由三角形外角的性质即可求解． 解：如图，由题意知， ∴， 故答案为：． 【题型 9】三角形内外角性质的综合求值 【例题 9】 （24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，在中，点在边上，连接，，是中边上的高线，延长交于点，设，． （1）当时，的度数为_______； （2）求的度数（用含的式子表示）； （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，三角形内角和为是解题的关键． （1）先根据题意得到，再由三角形内角和定理求出，则； （2）同理求出，则由三角形外角的性质得到； （3）先得到，再由三角形内角和定理得到，即可求出． 解：（1）解：，， ∴， ∵是中边上的高线， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是中边上的高线， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】 （24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，平分交于点．当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，由平分，平分，则，，通过三角形内角和定理可得，最后通过三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】 （24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，垂足为，与相交于点，，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了垂直定义，三角形的内角和定理，三角形外角性质，由，则，再通过三角形内角和定理可得，最后由三角形外角性质即可求解，熟记性质并准确识图是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型 10】三角形内外角性质的综合证明 【例题 10】 （23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图，点D，E分别在上，，F是上一点，的延长线交的延长线于点G．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析． 【分析】本题考查平行线性质，外角和定理等． （1）先得，再利用平行线性质得，继而得答案； （2）利用外角和定理得，，再利用平行线性质得答案． 解：（1）解：∵的延长线交的延长线于点G， ∴是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式1】 （24-25七年级下·重庆合川·期末）如图，在直角三角形中，，把三角形沿方向平移得到三角形平分分别交于点、、．则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，根据平移的性质即可判断A，B正确，根据角平分线的定义以及三角形的外角的性质，即可判断C选项，根据D选项以及三角形内角和定理得出，结合题意即可求解． 解：∵把三角形沿方向平移得到三角形 ∴，，故A、B正确，不符合题意； ∵平分 ∴ ∴，故C正确，不符合题意； 当时，， 则 又∵， ∴ ∴，而不一定成立，故D不一定正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】 （24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °． 【答案】 【分析】先利用直角三角形两个锐角互余，得出，再根据角平分线的意义，得出，，结合平角的意义，可求得，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质，可求得，从而可利用邻补角的意义求得，再利用直角三角形两个锐角互余，求得． 解：∵在中，， ∴， ∵，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵是的平分线， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 又， ， ，解得：， 故答案为：，． 【点拨】本题考查了角平分线的意义，直角三角形两个锐角互余，三角形外角的性质，邻补角的意义，解题关键是利用三角形外角的性质求解． 四．同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，直线，线段和线段垂直于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，直角三角形的性质，由平行线的性质得，由垂线的定义得，进而根据直角三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024·广东汕头·三模）如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求解． 解：如图， ∵平分．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 3．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出． 解：在中，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交于点，和的平分线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义．根据三角形内角和定理可得的度数，从而得到的度数，再结合角平分线的定义可得以及的度数，即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴ ∴， ∴． 故选：C 5．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，P，C分别为两条边上的点，，P为垂足，且．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线性质的应用；根据平行线得到，结合题意得出，再根据三角形的内角和定理计算即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）小明在物理课上学习完《判断重力的方向》后，将课本上的实物图（图1）抽象成为几何图形（图2），对同桌说：“如图，若，且，则的度数为（   ）” A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．延长交于F，由题意得，可得，根据平行线的性质即可求解． 解：延长交于F，如图所示： 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25八年级下·广东佛山·期中）在中，若，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形的内角和，根据题意已知三个角有一定关系，再根据三角形内角和的关系，即其中一个角为，进而可判断出为直角三角形． 解：∵， 又， ∴， 即， ∴为直角三角形； 故答案为：直角． 8．（21-22八年级上·山东临沂·期中）如图，，点E在AD上，且，，则的大小为 ． 【答案】40°/40度 【分析】由得到∠C=∠CED=70°，由三角形内角和定理得到∠D=40°，再由得到∠D=∠A=40°． 解：∵， ∴∠C=∠CED=70°， 由三角形内角和定理可知：∠D=180°-∠C-∠CED=180°-70°-70°=40°， ∵， ∴∠A=∠D=40°． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质等，熟练掌握等腰三角形的性质及平行线的性质是解题的关键． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，，则 ° 【答案】55 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．先根据三角形内角和定理求得，根据求解即可． 解：∵是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， 故答案为：55． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，根据，即可求解． 解：∵， ∴ 故答案为：． 11．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，点C为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作 和 且，，，若的平分线与的平分线交于点 P，则的度数为 ． 【答案】/148度 【分析】设，，根据角的平分线，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了角的平分线，三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 解：设，， ∵的平分线与的平分线交于点 P， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：148度 12．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）如图，D是内一点，连接、、，P是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，和的外角平分线相交于点Q，若，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设，表示出，于是，由可推出，根据求得的值，进一步得出结果． 解：如图所示： 设的延长线交于，，则， ， ， 平分， ， ， 在中，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，． （1）求的度数； （2）若交于点，求证：是直角三角形． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，直角三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理进行求解即可； （2）根据平行线的性质，求出，三角形的内角和定理得到，即可得证． 解：（1）解：在中，，， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴是直角三角形． 14．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，中，分别在，上．已知，，． （1）求证：平分； （2）过点作的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，进而得出，即可求证； （2）先求出，再得出，则把数值代入进行计算，即可作答． 解：（1）证明：∵， ∴，， ∴． ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）得 ∴． 15．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知：如图，平分，平分交于点，交于点． （1）请说明的理由； （2）若，求的度数； （3）若，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合角平分线的定义得到，，由此即可求解． 解：（1）解：平分， ． ， ， ： （2）解：平分，， ， ， ； （3）证明：由得， ， 平分平分， ， ， ． 16．（24-25八年级上·河南三门峡·阶段练习）如图（1）已知的外角与的平分线相交于点P，如图（2）已知的内角与外角的角平分线相交于点P． 选择其中一个图形猜想与的关系并证明你的猜想． 解：我选择的是_________，猜想结论：_________． 证明： 【答案】图（1），结论：或图（2），结论：．证明见分析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义和三角形的外角的性质．熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角的性质是解题的关键． （1）图（1）中，根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质进行推导，得； （2）图（2）中，根据角平分线定义和三角形的外角的性质，可以得到． 解：图（1），结论：． 证明如下： ，， ． ，分别是外角，的角平分线， ． 即：； 图（2），结论：． 证明如下： ，分别是的内角与外角的角平分线， ，． 是的外角， ． ， ． 故答案为：图（1），结论：或图（2），结论：． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理，三角形的内角和，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由点在内部，且到三边的距离相等得平分，平分，进而求得，再根据三角形内角和定理求得，即可得解． 解：点在内部，且到三边的距离相等， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在边上，且．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用三角形外角的性质成为解题的关键． 由直角三角形两锐角互余可得，再根据平行线的性质可得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 解：∵．， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 故选C． 3．（22-23九年级下·河北石家庄·开学考试）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ）    ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 解：①．由，则，．由，得． ②．由，则，．由，得． ③．由于，则，无法证得三角形内角和是． ④．由，得，．由，得，，那么．由，得． ∴能证明的内角和是的有3个， 故选：C． 【点拨】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 4．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，，结合平角的定义，列式计算解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，折叠的意义，平角的定义，熟练掌握折叠的意义是解题的关键． 解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图，中，，的度数为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的内角，解不等式组，根据题意得，然后解不等式组即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵， ∴， 即， 解得： 故选：． 6．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，点E，F分别在边上，，的角平分线与的角平分线交于点P，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据题意可知，设，表示出，根据角平分线的定义，可得的度数，根据列方程，即可求出的度数． 解：∵，平分， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，垂足为D，平分交于点E，若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是求出、、的度数． 先根据求出，再用三角形内角和定理求出，接着由角平分线得，根据直角三角形性质求，最后通过计算． 解：， ． ． 平分， ． ， ， 在中，， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，于点，于点，点在线段上，且．、分别平分和，则的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用及角平分线的定义，熟知相关知识点，正确添加辅助线是正确解答此题的关键． 过点作，根据平行公理的推论证明，根据平行线的性质证明，，根据于点，于点，点在线段上，推出，即可求解． 解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、分别平分和， ，， ， ， ，， ． 9．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线.若，，则的大小是 度. 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形的性质，首先根据直角三角形两锐角互余，可以求出，根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据三角形外角的性质可以求出． 解：， ， ， ， 在中，， ， 是的平分线， ， ． 故答案为： ． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）已知点E为中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形内角和，直角三角形的两个锐角互余，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 分情况讨论：当或当时，根据三角形内角和，和直角三角形的两个锐角互余分别求解即可． 解：∵，， ∴， 当时，为直角三角形, 此时， 当时，为直角三角形, 此时 ∵ ∴， 故答案为：或． 11．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，结合图形，灵活运用所学知识求解，是解题的关键． 根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 解：平分，平分， ， 又， 由， 得 ， ， 同理可求，，， 以此类推，可得，， 当时，，又， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下列说法正确的有 个． ①的面积与的面积相等；②；③；④ 【答案】3 【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义可对③进行判断，根据已知条件不能推出，故④错误． 解：∵是边上的中线， ∴， 设边上的高为， ∵ ∴，故①正确； ∵是高， ∴ ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 而， ∴，故③正确． 根据已知条件不能推出，故④错误； 综上所述，说法正确的共3个． 故答案为：3 【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 三、解答题 13．（四川省内江市2024-2025学年七年级下学期下学期期末考试数学试题）如图，点在的边延长线上，点在边上，连结交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质． （1）利用三角形的外角性质，可得出，，再结合，即可证出； （2）由得出，再由，可求出及的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出，的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 解：（1）证明：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 14．（23-24七年级下·江西赣州·期末）【课本再现】（人教版数学教材七年级下册第25页第14题） （1）如图1，直线经过点A，．则 ， ， ． （2）通过这道题的解答，在不知道的度数的情况下，你能说明为什么三角形的内角和是吗？请写出你的证明过程． 【拓展应用】 （3）如图2，已知，若D点是外一点．猜想有怎样的关系？并进行证明． 【答案】（1）44；57；79；（2）见分析（3），证明过程见分析 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和的证明，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得到，，由平角的定义可求得， （2）结合（1）可得出结论； （3）由（2）得三角形内角和为，即可得出结论． 解：（1）解：， ； ； 直线过点A， ， ， ； （2）证明：， ，， ， ，即三角形内角和为； （3）解：由（2）三角形内角和为，即， ， ． 15．（24-25七年级下·全国·期中）如图，将一个含角的三角尺的斜边紧靠直尺的边缘，过点作直尺另一边缘的垂线，垂足为，交于点． （1）求的度数（注：三角形三个内角的和等于）． （2）沿直尺的边缘水平向左推动三角尺，点A的位置同图1，如图2． ①在这个过程中，的值是否保持不变？若不变，请求出这个差；若改变，请说明理由． ②已知平分，，若与互余，求的度数． 【答案】（1）；（2）不变，； 【分析】（1）已知 得，由 推出，再结合已知，利用三角形内角和为，求出度数． （2）①要判断是否变化，过点作，利用平行线的性质，将和转化为与相关的角，推导差值是否为定值．②先根据①的结论表示出，再利用角平分线、平行线性质，用表示出，结合与互余列方程求解． 本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等 ），灵活运用角的转化与方程思想是解题的关键． 解：（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． （2）解：①不变． 如图，过点作， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ②由①得，． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 如图，过点作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 16．（22-23七年级下·山东泰安·期中）如图，在中，AE是的高，，， 【探究发现】 （1）如图1，若AD是的平分线，求的度数； 【迁移拓展】 （2）如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】（1）12°；（2）45° 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求得度数，进而求解即可得出结论； （2）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 解：（1），，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ， ； （2）和的角平分线交于点G， ，， ，， ， 即， 是的高， ， ． 【点拨】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线，掌握相关性质以及定义是解题的关键． 【直通中考（6题）】 一、单选题 1．（2025·贵州·中考真题）下列图中能说明一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对顶角，三角形的外角，比较角的大小，根据相关知识点逐一进行判断即可． 解：A、对顶角相等，故，符合题意； B、根据三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角可得：，不符合题意； C、平角的定义得到，直角大于锐角，故，不符合题意； D、由图可知，，不符合题意； 故选A 2．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 3．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 4．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 解：如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 二、填空题 5．（2022·湖北十堰·中考真题）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡，分别架在墙体的点，处，且，侧面四边形为矩形，若测得，则 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，求出，根据等边对等角可得，然后根据三角形内角和定理即可求解． 解：四边形为矩形 ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 6．（2021·内蒙古通辽·中考真题）一副三角板如图所示摆放，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据三角板的2个三角形中的特殊角求出即可． 解：如图， ． 故答案为． 【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，利用三角形的外角来求的度数是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 13.2 三角形的内角与外角 目录 一知识梳理 1 【知识点1】三角形的内角 1 【知识点2】三角形的外角 3 二思维导图 4 三题型分类精析 4 考点（一）三角形内角和定理及其基础应用 4 【题型 1】三角形内角和定理的证明 4 【题型 2】三角形内角和定理的直接应用 6 【题型 3】直角三角形中锐角互余的应用 7 【题型 4】锐角互余判定直角三角形 8 考点（二）三角形内角和定理的综合应用 8 【题型 5】三角形内角和+平行线综合 8 【题型 6】三角形内角和+角平分线综合 9 【题型 7】三角形内角和+折叠问题 10 考点（三）三角形外角的性质及综合应用 11 【题型 8】三角形外角的定义及基础性质应用 11 【题型 9】三角形内外角性质的综合求值 11 【题型 10】三角形内外角性质的综合证明 12 四同步练习​ 13 【基础巩固（12题）】 13 【能力提升（12题）】 17 【直通中考（6题）】 22 一.知识梳理 【知识点1】三角形的内角 1.三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的三个内角之和恒等于180°. 2.数学语言表述：如图1，在ABC中，. 图1 3.三角形内角和定理的证明 已知：△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C； 求证：∠A+∠B+∠C过点A作直线MN，使之与BC边平行（或相交于BC的延长线）。线MN，使MNBC． 图2 ∵MNBC, ∴∠B=∠MAB,∠C=∠NAC, ∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°, ∴∠B+∠C+∠BAC=180°, 即∠BAC+∠B+∠C=180°． 【特别说明】 （1）证明三角形内角和的方法很多，在后面的例题、练习题中还会出现其他方法 （2）三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不三角形外角的定义是：由三角形的一边与另一边的反向延长线所夹的角，称为三角形的外角。 4.直角三角形 （1）有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形； 如图3所示，在中，，则为直角三角形 （2） 有两个内角互余的三角形是直角三角形. 如图3所示，在中，，则为直角三角形 图3 【知识点2】三角形的外角 1.定义;三角形的一边与另一边的延长线组成的角 如图4所示，在ABC中，是的一个外角，它的相邻内角是，不相邻两内角分别为、. 图4 2.三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 3.三角形外角性质的证明 已知：如图5，是的一个外角。 求证：． 证明：方法一：中，， ∵， ∴； 方法二：过点C作，如图3，    图5 ∵ ∴，， ∴． 二．思维导图 三．题型分类精析 考点（一）三角形内角和定理及其基础应用 【题型 1】三角形内角和定理的证明 【例题 1】 （23-24七年级下·全国·单元测试）在三角形这一章的学习中我们知道，“三角形的内角和是”这个结论的证明方法有很多． 如下图，已知三角形，求证：．    分析：通过画平行线，将、、作等角代换，使各角之和恰为一个平角，依辅助线不同而得多种证法． 证法一：如下图，过点作直线． 因为， 所以________， ________________________________． 因为， 所以．    证法二：如下图，延长到，过点作，    证法三：如下图，    （1）请补全证法一中的证明过程． （2）将证法二补充完整，并写出说理过程． （3）如证法三图，过线段上任一点点、除外，作，这种添加辅助线的方法也能证明请完成说理过程此题不需要写括号部分的理论依据．证法三：如图，过线段上任一点点、除外，作． 【变式1】 （23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） 已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．    A．★处填2 B．■处填1 C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义 【变式2】 （2024八年级上·黑龙江·专题练习）在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【题型 2】三角形内角和定理的直接应用 【例题 2】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． （1）请说明； （2）若，求的度数． 【变式1】 （24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 【变式2】 （四川省巴中市2024-2025学年下学期七年级数学期末试题（北师大版））把一副三角板（，，）按如图所示摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型 3】直角三角形中锐角互余的应用 【例题 3】 （24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，，垂足为点． （1）若，请求出的度数； （2）若，试问与平行吗？为什么？ 【变式1】 （2025·广东湛江·二模）如图所示，一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25八年级上·天津·期中）如图，中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型 4】锐角互余判定直角三角形 【例题 4】 （22-23八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． （1）判断的形状； （2）判断是否与垂直． 【变式1】 如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是 ． 【变式2】 （24-25八年级上·吉林·期中）下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 考点（二）三角形内角和定理的综合应用 【题型 5】三角形内角和+平行线综合 【例题 5】 （23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，点在直线上，与交于点，. （1）求证：； （2）若，，求的度数. 【变式1】 （24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【题型 6】三角形内角和+角平分线综合 【例题 6】 （24-25七年级下·福建福州·期末）如图，，，是边上的高，是的角平分线． （1）求的度数； （2）是的角平分线，与交于点．求的度数． 【变式1】 （24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在中，于平分交于F，交于C，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，平分，平分，如果，那么 °． 【题型 7】三角形内角和+折叠问题 【例题 7】 （20-21七年级下·江苏泰州·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， （1）若，试判断与的数量关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 【变式1】 （24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有，则 ． 考点（三）三角形外角的性质及综合应用 【题型 8】三角形外角的定义及基础性质应用 【例题 8】 （24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，P为上一点，且，求的度数．（请用两种方法来解决问题） 【变式1】 （24-25八年级上·广东惠州·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25八年级上·广东惠州·期中）将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 【题型 9】三角形内外角性质的综合求值 【例题 9】 （24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，在中，点在边上，连接，，是中边上的高线，延长交于点，设，． （1）当时，的度数为_______； （2）求的度数（用含的式子表示）； （3）若，求的值． 【变式1】 （24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，平分交于点．当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，垂足为，与相交于点，，，则的度数为 ． 【题型 10】三角形内外角性质的综合证明 【例题 10】 （23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图，点D，E分别在上，，F是上一点，的延长线交的延长线于点G．求证： （1）； （2）． 【变式1】 （24-25七年级下·重庆合川·期末）如图，在直角三角形中，，把三角形沿方向平移得到三角形平分分别交于点、、．则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °． 四．同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，直线，线段和线段垂直于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东汕头·三模）如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交于点，和的平分线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，P，C分别为两条边上的点，，P为垂足，且．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）小明在物理课上学习完《判断重力的方向》后，将课本上的实物图（图1）抽象成为几何图形（图2），对同桌说：“如图，若，且，则的度数为（   ）” A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·广东佛山·期中）在中，若，则是 三角形． 8．（21-22八年级上·山东临沂·期中）如图，，点E在AD上，且，，则的大小为 ． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，，则 ° 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，若，则的大小为 ． 11．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，点C为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作 和 且，，，若的平分线与的平分线交于点 P，则的度数为 ． 12．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）如图，D是内一点，连接、、，P是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，和的外角平分线相交于点Q，若，，则的度数为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，． （1）求的度数； （2）若交于点，求证：是直角三角形． 14．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，中，分别在，上．已知，，． （1）求证：平分； （2）过点作的平分线交于点，若，求的度数． 15．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知：如图，平分，平分交于点，交于点． （1）请说明的理由； （2）若，求的度数； （3）若，求证：． 16．（24-25八年级上·河南三门峡·阶段练习）如图（1）已知的外角与的平分线相交于点P，如图（2）已知的内角与外角的角平分线相交于点P． 选择其中一个图形猜想与的关系并证明你的猜想． 解：我选择的是_________，猜想结论：_________． 证明： 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在边上，且．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·河北石家庄·开学考试）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ）    ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图，中，，的度数为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，点E，F分别在边上，，的角平分线与的角平分线交于点P，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，垂足为D，平分交于点E，若，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，于点，于点，点在线段上，且．、分别平分和，则的度数是 ． 9．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线.若，，则的大小是 度. 10．（24-25七年级下·重庆·期中）已知点E为中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是 ． 11．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 12．（24-25七年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下列说法正确的有 个． ①的面积与的面积相等；②；③；④ 三、解答题 13．（四川省内江市2024-2025学年七年级下学期下学期期末考试数学试题）如图，点在的边延长线上，点在边上，连结交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 14．（23-24七年级下·江西赣州·期末）【课本再现】（人教版数学教材七年级下册第25页第14题） （1）如图1，直线经过点A，．则 ， ， ． （2）通过这道题的解答，在不知道的度数的情况下，你能说明为什么三角形的内角和是吗？请写出你的证明过程． 【拓展应用】 （3）如图2，已知，若D点是外一点．猜想有怎样的关系？并进行证明． 15．（24-25七年级下·全国·期中）如图，将一个含角的三角尺的斜边紧靠直尺的边缘，过点作直尺另一边缘的垂线，垂足为，交于点． （1）求的度数（注：三角形三个内角的和等于）． （2）沿直尺的边缘水平向左推动三角尺，点A的位置同图1，如图2． ①在这个过程中，的值是否保持不变？若不变，请求出这个差；若改变，请说明理由． ②已知平分，，若与互余，求的度数． 16．（22-23七年级下·山东泰安·期中）如图，在中，AE是的高，，， 【探究发现】 （1）如图1，若AD是的平分线，求的度数； 【迁移拓展】 （2）如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 【直通中考（6题）】 一、单选题 1．（2025·贵州·中考真题）下列图中能说明一定成立的是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2022·湖北十堰·中考真题）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡，分别架在墙体的点，处，且，侧面四边形为矩形，若测得，则 ． 6．（2021·内蒙古通辽·中考真题）一副三角板如图所示摆放，且，则的度数为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$