专项突破01 三角形的内角与外角（知识技巧点拨+7种高频考察题型 共28题）期中培优讲练-2025-2026学年人教版2024数学八年级上册考前冲刺

专项突破01 三角形的内角与外角 （知识技巧点拨+7种高频考察题型 共28题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：三角形的内角和 1 知识点梳理02：直角三角形的性质及判定 2 知识点梳理03：三角形的外角 2 优选题型 考点讲练 3 题型1 三角形内角和定理的证明 3 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 8 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 11 题型4 三角形折叠中的角度问题 16 题型5 三角形内角和定理的应用 20 题型6 直角三角形的两个锐角互余 25 题型7 三角形的外角的定义及性质 30 知识点梳理01：三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点梳理02：直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可 以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点梳理03：三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 题型1 三角形内角和定理的证明 1．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】 （1），两直线平行，内错角相等， （2） （3） 【思路引导】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，相加即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，． （2）解：过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即 （3）如图，作，则， ∵， ∴， 作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 【答案】见详解 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．由平行线的性质得出，，，，等量代换可得出，再根据平角的定义得出，等量代换可得出． 【规范解答】证明：在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F． ∵， ∴，， ∵ ∴，， ∴, ∵， ∴． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 【答案】证法1：；；证法2见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 证法1中，利用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补求证；证法2中，利用两直线平行内错角相等，构造一个平角求证． 【规范解答】证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 证法2：如图，过点作，     ， ，，     ，     . 4．（21-22八年级上·湖北孝感·期中）若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系． （1）如图1，∠A与∠B的等量关系是　 　；如图2，∠A与∠B的等量关系是　 　；对于上面两种情况，请用文字语言叙述：　 　． （2）请选择图1或图2其中的一种进行证明． 【答案】（1），如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补；（2）见解析 【思路引导】（1）根据对顶角相等，等角的余角相等即可求得，连接，根据三角形内角和定理即可证明；根据结论即可用文字语言叙述； （2）方法同（1）． 【规范解答】（1）如图1， ， 如图2，连接 ， 即 文字语言叙述：如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补； 故答案为：，如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补； （2）选择图1，证明如下， ， ． 【考点剖析】本题考查了三角形内角和定理，同位角相等，等角的余角相等，掌握以上知识是解题的关键． 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 5．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和，对顶角相等，直角三角形两锐角互余的应用； 根据，得，再，即可求解； 【规范解答】解：∵，如图； ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： . 6．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，且．将沿翻折，使得点A落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 【答案】/72度 【思路引导】本题主要考查了与三角形内角和有关的折叠问题，平行线的性质，由折叠的性质可得，设，则，进而可得，由平角的定义可得，再由平行线的性质得到，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【规范解答】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，若，则 ． 【答案】/度 【思路引导】本题主要考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 连接，然后利用三角形内角和定理和平行线性质求解即可． 【规范解答】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（2021·云南昆明·一模）如图，已知，与交于点，于点，若，则 ． 【答案】140° 【思路引导】首先根据对顶角相等即可求出∠CED的度数，再根据三角形的内角和即可求得∠ECD的度数，根据平行线的性质即可求出∠CAB的度数，再根据补角的性质即可求解； 【规范解答】∵ ∠1=50°， ∴∠CED=50°， ∵ 三角形内角和为180°，BD⊥CD， ∴∠ECD=180°-90°-50°=40°， ∵ AB∥CD， ∴∠EAB=40°， ∴∠2=180°-40°=140°， 故答案为：140°． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质，以及三角形的内角和定理，正确掌握知识点是解题的关键； 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 9．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系，结合角平分线的性质进行角度推导． （1）利用三角形外角的性质，结合角平分线的定义，推导与的数量关系； （2）根据（1）的结论，以及证明，找出规律，推导与的关系； （3）利用（2）中得出的角的关系，结合三角形内角和定理，求出的度数． 【规范解答】（1）（1）； 证明：在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， 即， ∴； （2）在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， 即， 又 ， 同理，，…… （3）解：由（2）知道，， ， 在， ， ， 答：的度数是． 10．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是___________（填序号）． ①②③． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明．“准互余三角形”． 【答案】(1) (2) (3)是，理由见解析 【思路引导】本题考查了“准互余三角形”定义，三角形内角和定理，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据“准互余三角形”即可求解； （）根据“准互余三角形”可得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）根据“准互余三角形”进行求证即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得， ，，，不符合题意； ，能构成“准互余三角形”； ，能构成“准互余三角形”； 故选：； （2）解：∵为“准互余三角形”，与为“准互余角”， ， ， ， 又， ； （3）是“准互余三角形”，理由如下： ∵平分， 又∵是的外角，且 ， ， ， ∴是“准互余三角形”． 11．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． (1)请证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质． 根据角平分线的定义可知，根据垂直的定义可知，所以可得：，等量代换可得：，根据三角形内角和定理可证； 根据，可知，又因为，所以可得：，等量代换可得：，从而可求的度数． 【规范解答】（1）证明：是的角平分线， ， 又是的高线， ， 又， ， ， 即； （2）解：，， ， 由可知， ， ， 即， ． 12．（19-20八年级上·广东河源·阶段练习）“8字”的性质及应用： (1)如图1，相交于点O，得到一个“8字”，求证：． (2)如（1）中方式，图2中共有“8字”、“8字”_____和“8字”______． (3)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义． （1）利用三角形的内角和定理解决问题即可； （2）根据“8字”的定义即可解决问题； （3）利用（1）中结论解决问题即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴． （2）如（1）中方式，图2中共有“8字”、“8字”和“8字”． 故答案为． （3）证明：∵，， ∵和的平分线相交于点E， ， ∴， ∴． 题型4 三角形折叠中的角度问题 13．（21-22七年级下·陕西西安·期末）如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． (1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析． 【思路引导】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质和角度的关系即可求解； （2）由三角形内角和定理得到，再根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：由折叠可知，， ∴， ． （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点，分别是，上的点，将沿折叠，使得点落在点处，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查折叠的性质和三角形定理，由折叠得，求出，由可得结论． 【规范解答】解：由折叠得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查了角平分线的有关计算、三角形内角和定理及平行线的性质．分三种情况，分别作出三种情况下相应图形，并结合平行线的性质求出即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ①如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ②如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ③如下图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：或或． 16．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，中，，，D点在边AB上运动（与A，B不重合），设，将沿翻折至处，与边相交于点若是等腰三角形，则的值为 ．    【答案】或 【思路引导】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．由折叠的性质可求，，，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【规范解答】解：将沿翻折至处， ，，， ，， 当，则， ， ； 当，则， ， ， 故答案为：或． 题型5 三角形内角和定理的应用 17．（25-26八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，分别平分，交于点D，探究与的数量关系. (1)若，，则与的数量关系为 ； (2)对于一般情形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由. 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【思路引导】本题主要考查三角形内角和定理，正确运用三角形内角和定理是解答本题的关键． （1）结合已知条件，利用三角形内角和定理及角平分线定义求得，，再利用角的和差求得，从而得出结论 （2）利用三角形内角和定理及角平分线定义求得，然后结合已知条件，利用角的和差即可证得结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵，分别平分， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下: ∵，分别平分，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点，． (1)的度数为_______； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键． （1）先由三角形内角和为求出，再由角平分线的定义推出，则由三角形内角和定理可得． （2）先求出，再由角平分线的定义得到，求出，则． 【规范解答】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是角平分线，它们相交于点O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高，即， ∴， ∴． 19．（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，在中，于点E，AD平分，F是AD延长线上的一点，过点F作于点G，若，，则的度数为 ． 【答案】/18度 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据三角形内角和定求出，再由角平分线求出，然后根据直角三角形锐角互余求出，最后由得到，即可求解． 【规范解答】，， ． 平分， ． ， ， ． ， ， ． 故答案为：． 20．（25-26八年级上·吉林四平·阶段练习）【问题背景】 （1）如图①的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图②，、分别平分、，若，求的度数； 【问题探究】 （3）如图③，直线平分的外角，平分的外角，若，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【思路引导】本题主要考查三角形内角定理，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）结合（1）的结论得到，由角平分线的定义得到，再根据（1）的结论列式求解即可； （3）如图所示，作的角平分线交于点，交于点，在延长线上取一点，则平分，结合（1），（2）的计算即可求解． 【规范解答】解：（1）∵， ∴； （2）根据（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （3）如图所示，作的角平分线交于点，交于点，在延长线上取一点，则平分， 由（1）的计算得到，即， ∴， ∴， ∵，平分，平分， ∴，即， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴． 题型6 直角三角形的两个锐角互余 21．（24-25七年级下·四川资阳·期末）如图，在中，，，于点，平分交于点，于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形角平分线、中线和高等知识点，能熟记三角形内角和定理等于和直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义即可解答；掌握三角形内角和定理是解题的关键； （2）先根据垂直的定义和直角三角形的性质可得，再结合可得，最后根据直角三角形的性质即可解答；掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，于点D，若，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查垂直的定义，三角形的内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）由得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）由三角形的内角和定理求出，再由三角形角平分线的定义即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 23．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查折叠，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键． 根据长方形的性质，折叠的性质得到，根据平行线的性质，直角三角形两锐角互余得到，化简即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·山东济南·期末）数学课上，在复习“三角形”这一章时，老师提出如下问题：如图，在中，，为的角平分线，点为角平分线上的一点并在（包括点，不包括点）上运动，过点向边作垂线，垂足为，请你猜想在点运动过程中，，，的数量关系，并说明理由． (1)一组同学通过画图的方式探究点运动到点时的情况（如图），尝试改变，，具体的数值求的值，对应值如下： /度 /度 /度 由表中数据可得， ______， ______； (2)二组同学受到启发，开始研究点在线段上（不包括端点、）运动时的情况（如图），很快发现了，，之间的数量关系：______； (3)三组同学提出：如果点在直线上（不包括点、）运动（如图），，，之间有什么样的数量关系呢？请你帮助他们解答并证明． 【答案】(1)，； (2)，证明见解析； (3)结论不变，证明见解析． 【思路引导】本题考查了三角形的角平分线性质、直角三角形的性质以及角度之间的等量代换，解题的关键是通过作辅助线（如过点A作的垂线），将所求角度与已知角（）建立联系，利用角的和差关系进行推导． （1）观察表格数据，发现与的差值存在倍数关系，通过前两组数据推测出规律，代入数值计算得出 和的值．； （2）过点 A 作 的垂线，利用角平分线性质表示出，结合直角三角形中与的关系，通过进行等量代换，推导出； （3）同样过点A作BC的垂线，借鉴小问2的推导思路，通过角度之间的和差关系，证明即使点F在直线上（不包括），仍有． 【规范解答】（1）由表中数据推测： ，． 故答案为：，； （2）结论：． 理由：如图，过点作于点． 则，① 平分， ，② ， ，③ 由①②③得， 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图中，过点作于点． 与（2）证法过程完全相同可得结论：． 题型7 三角形的外角的定义及性质 25．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的定义和性质，角平分线的定义等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键． 连接，根据三角形内角和求出，再根据，，得出，从而得出答案． 【规范解答】解：如图，连接， ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∵由折叠得：，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 26．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由三角形外角的定义及性质计算得出的度数，再由三角形内角和定理计算得出的度数，然后由角平分线的定义可得，即可得解． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （2）解：由题意可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 27．（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，，是角平分线，且，相交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和，三角形外角的性质． （1）根据三角形内角和得到，根据角平分线得到，，根据三角形外角的性质作答即可； （2）仿照（1）求出，进而根据平角的定义计算即可． 【规范解答】（1）解：∵在中，， ∴． ∵，是角平分线， ∴，， ∴在中，； （2）证明：在中，， ∵，是角平分线， ∴，， ∴， 在中，． 28．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内、外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)如图1，在中，是与的平分线和的交点，试分析与的关系； (2)如图2，是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？并说明理由； (3)如图3，是外角与外角的平分线和的交点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键． （1）首先根据角平分线的定义，可得，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）先由角平分线的定义，得出，再由三角形的外角的性质得出，再根据三角形外角的性质，即可得出结论； （3）根据角平分线的定义，可得，根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理，即可得出结论． 【规范解答】（1）解： 平分，平分， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 平分，平分， ， 由三角形外角性质可知：， ， 是的一个外角， ； （3）解：，理由如下： 平分，平分， ， ， 由三角形内角和可知：， ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破01 三角形的内角与外角 （知识技巧点拨+7种高频考察题型 共28题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：三角形的内角和 1 知识点梳理02：直角三角形的性质及判定 2 知识点梳理03：三角形的外角 2 优选题型 考点讲练 3 题型1 三角形内角和定理的证明 3 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 5 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 6 题型4 三角形折叠中的角度问题 9 题型5 三角形内角和定理的应用 10 题型6 直角三角形的两个锐角互余 13 题型7 三角形的外角的定义及性质 15 知识点梳理01：三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点梳理02：直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点梳理03：三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 题型1 三角形内角和定理的证明 1．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 4．（21-22八年级上·湖北孝感·期中）若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系． （1）如图1，∠A与∠B的等量关系是　 　；如图2，∠A与∠B的等量关系是　 　；对于上面两种情况，请用文字语言叙述：　 　． （2）请选择图1或图2其中的一种进行证明． 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 5．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是 ． 6．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，且．将沿翻折，使得点A落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 7．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，若，则 ． 8．（2021·云南昆明·一模）如图，已知，与交于点，于点，若，则 ． 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 9．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 10．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是___________（填序号）． ①②③． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明．“准互余三角形”． 11．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． (1)请证明：； (2)若，求的度数． 12．（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）“8字”的性质及应用： (1)如图1，相交于点O，得到一个“8字”，求证：． (2)如（1）中方式，图2中共有“8字”、“8字”_____和“8字”______． (3)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明：． 题型4 三角形折叠中的角度问题 13．（21-22七年级下·陕西西安·期末）如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． (1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 14．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点，分别是，上的点，将沿折叠，使得点落在点处，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为 ． 16．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，中，，，D点在边AB上运动（与A，B不重合），设，将沿翻折至处，与边相交于点若是等腰三角形，则的值为 ．    题型5 三角形内角和定理的应用 17．（25-26八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，分别平分，交于点D，探究与的数量关系. (1)若，，则与的数量关系为 ； (2)对于一般情形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由. 18．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点，． (1)的度数为_______； (2)若，求的度数． 19．（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，在中，于点E，AD平分，F是AD延长线上的一点，过点F作于点G，若，，则的度数为 ． 20．（25-26八年级上·吉林四平·阶段练习）【问题背景】 （1）如图①的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图②，、分别平分、，若，求的度数； 【问题探究】 （3）如图③，直线平分的外角，平分的外角，若，请直接写出的度数． 题型6 直角三角形的两个锐角互余 21．（24-25七年级下·四川资阳·期末）如图，在中，，，于点，平分交于点，于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 22．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，于点D，若，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，求的度数． 23．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ． 24．（24-25七年级下·山东济南·期末）数学课上，在复习“三角形”这一章时，老师提出如下问题：如图，在中，，为的角平分线，点为角平分线上的一点并在（包括点，不包括点）上运动，过点向边作垂线，垂足为，请你猜想在点运动过程中，，，的数量关系，并说明理由． (1)一组同学通过画图的方式探究点运动到点时的情况（如图），尝试改变，，具体的数值求的值，对应值如下： /度 /度 /度 由表中数据可得， ______， ______； (2)二组同学受到启发，开始研究点在线段上（不包括端点、）运动时的情况（如图），很快发现了，，之间的数量关系：______； (3)三组同学提出：如果点在直线上（不包括点、）运动（如图），，，之间有什么样的数量关系呢？请你帮助他们解答并证明． 题型7 三角形的外角的定义及性质 25．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 27．（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，在中，，是角平分线，且，相交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 28．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内、外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)如图1，在中，是与的平分线和的交点，试分析与的关系； (2)如图2，是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？并说明理由； (3)如图3，是外角与外角的平分线和的交点，请直接写出与的数量关系． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $