专题 13.1 三角形概念与有关的线段（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024）

专题 13.1 三角形概念与有关的线段 目录 一知识梳理 1 （一）三角形定义 2 （二） 三角形三边关系 2 （三） 三角形中线、角平分线、高 3 （四） 三角形的稳定性 4 二知识体系思维导图 4 三题型分类精析 5 考点（一）三角形概念与分类 5 【题型 1】三角形的识别与有关概念 5 【题型 2】三角形的个数问题 5 【题型 3】三角形的分类 6 考点（二）三角形的三边关系 7 【题型 4】 构成三角形的条件 7 【题型5】确定第三边的取值范围 7 【题型 6】三角形三边关系的应用 8 考点（三）三角形与四边形的稳定性 8 【题型 7】 三角形的稳定性与四边形的不稳定性及应用 8 考点（四）三角形的重要线段（中线、角平分线、高） 9 【题型 8】 根据三角形中线求长度 9 【题型9】 根据三角形中线求面积 10 【题型 10】 重心的概念 11 【题型 11】 三角形角平分线的定义 11 【题型 12】 画三角形的高 12 【题型 13】 与三角形的高有关的计算问题 13 【题型 14】 三角形中线、角平分线、高线综合辨析 14 【题型 15】 三角形中线、角平分线、高线综合计算 14 四同步练习​ 15 【基础巩固（15题）】 16 【能力提升（13题）】 18 【中考真题6题】 22 一.知识梳理 （一）三角形定义 1. 定义：在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形的基本元素包括边、角和顶点，如图1，三角形三边是、、，也可以用一个小写字母表示，记作：、、，三个内角为、、，其中的对边为，的对边为，的对边为. 图1 2. 表示方法：三角形用符号“”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作“△ABC”,读作“三角形” 3.三角形的分类： （2） 三角形三边关系 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第在边 ；； 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 ；； （3） 三角形中线、角平分线、高 1. 三角形的中线： （1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线； 图1 图2 （2）几何语言表述：如图1，在中，是边的中点，因此线段是的中线； （3）重心：如图2，三角形三条中线交于一点，这个交点叫三角形的重心； （4）中线模型：中线分得的三角形面积相等；如图1，是的中线，得出; 2. 三角形的角平分线： （1）定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线. 图3 图4 （2） 表示方法：如图3，在中，线段平分交对边于点，因此线段是的角平分线； （3）内心：如图4，三角形三条角平分线于一点，这个交点叫三角形的内心； 3. 三角形的高： 图5 图6 （1） 定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做这个三角形的高线（简称高）. （3） 表示方法：如5，在中，线段于点，垂直为，因此线段是的高； （4） 垂心：如图6，三角形三条高线于一点，这个交点叫三角形的垂心； （4） 三角形的稳定性 三角形的稳定性：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。在生产和生活中，房屋的人字梁、大桥钢架等都利用了三角形的稳定性。特别说明：四边形不具有稳定性。 2． 知识体系思维导图 三．题型分类精析 考点（一）三角形概念与分类 【题型 1】三角形的识别与有关概念 【例题 1】（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）如图，点D在内，写出图中所有三角形：________________________； （2）如图，线段是____________和____________的边； （3）如图，的3个内角是____________，三条边是____________．    【变式1】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）观察图形． （1）图中有几个三角形？把它们一一写出来； （2）写出的边、顶点及三个内角； （3）以为内角的三角形有哪些？ （4）以AB为边的三角形有哪些？ 【题型 2】三角形的个数问题 【例题 2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中，三角形的个数是（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，以点A为顶点的三角形有 个． 【题型 3】三角形的分类 【例题 3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    （1）按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． （2）按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【变式1】（2025·陕西延安·三模）如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）已知的边长a，b，c满足，若c为偶数，则的形状为 三角形．（按边分类） 考点（二）三角形的三边关系 【题型 4】 构成三角形的条件 【例题 4】（2025七年级下·全国·专题练习），，（，）分别表示三条线段的长度，试判断以其为边是否能组成三角形． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，5 B．4，5，9 C．5，12，18 D．7，15，23 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 【题型5】确定第三边的取值范围 【例题 5】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知三角形的三条边长为和． （1）若6是最短边长．求的取值范围； （2）若为整数，求三角形周长的最大值． 【变式1】（24-25九年级下·河北沧州·期中）如图，的值可能是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式2】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）在中，，，并且的长为偶数，则的周长为 ． 【题型 6】三角形三边关系的应用 【例题 6】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知的三边长分别为． （1）化简：； （2）若，第三边的长为奇数，判断的形状． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（   ） A．2a B． C． D．-2b 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 考点（三）三角形与四边形的稳定性 【题型 7】 三角形的稳定性与四边形的不稳定性及应用 【例题 7】（2021·吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25八年级上·重庆秀山·期末）如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 考点（四）三角形的重要线段（中线、角平分线、高） 【题型 8】 根据三角形中线求长度 【例题 8 】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知的周长为，是边上的中线． （1）如图，当时，求的长． （2）若，能否求出的长？为什么？ 【变式1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知是的中线，，，且的周长为，则的周长是 ． 【题型9】 根据三角形中线求面积 【例题9】 （24-25八年级上·全国·期中）如图所示，在中，点、、分别为、、的中点，且，求的面积． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为 ． 【题型 10】 重心的概念 【例题 10】 （23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点是的重心． （1）________； （2）若，求长． 【变式1】 （24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知的面积为8，点O为的重心，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D． 【变式2】 （24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【题型 11】 三角形角平分线的定义 【例题 11】 （24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，平分交于点D． （1）在图①中，将三角形沿方向平移，使点D平移至点C处，得到三角形，且交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （2）在图②中，将三角形沿方向平移，使经过点D，得到三角形．求证：平分． 【变式1】 （24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【变式2】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 【题型 12】 画三角形的高 【例题 12】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位． （1）画出的边上的高，垂足为D； （2）求的面积． 【变式1】 ．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）在下列图形中，正确画出的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高． 【题型 13】 与三角形的高有关的计算问题 【例题 13】 （24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，在直角三角形中，，，，，，． （1）点到的距离是______；点到的距离是________． （2）求点到的距离． 【变式1】 （24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知是的高，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】 （24-25七年级下·重庆·自主招生）如图所示，厘米，长方形中的厘米，阴影的面积是18平方厘米，则的面积是 平方厘米． 【题型 14】 三角形中线、角平分线、高线综合辨析 【例题 14】 （2023·陕西榆林·二模）如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（　　） A．5 B．3 C．4 D．6 【变式1】 （24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】 （21-22七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，下面说法中正确的有 请填写序号． ①；②；③． 【题型 15】 三角形中线、角平分线、高线综合计算 【例题 15】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图所示，是的中线，是的中线． （1）在中作边上的高； （2）若的面积为36，，则点到边的距离是多少？ 【变式1】 （2023·陕西榆林·二模）如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（　　） A．5 B．3 C．4 D．6 【变式2】 如图中，，，，，是的角平分线，是边的中线，于点E，下列结论正确的有（　　）个 ①为中边上的高 ②线段、、中，线段的长度最短 ③若，则 ④D到的距离为． A．1 B．2 C．3 D．4 四．同步练习​ 【基础巩固（15题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·重庆·期末）利用到三角形的稳定性的生活实例是（    ） A．车库大门口的起落杆 B．四条腿的方桌 C．用枪的准星瞄准目标 D．脚踏车的三角车架 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 3．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 4．（21-22七年级下·全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 5．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，于．图中线段可作为的高的有（   ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 8．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）已知三角形的三边长分别为3，，8．则正整数的值可以是 ． 9．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 . 10．（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，的平分线CD交AB于D，，且，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为 cm． 11．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 12．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，，是的三边长． （1）若，，满足，试判断的形状； （2）化简： 13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 14．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，求的值． 15．（22-23七年级下·贵州·期末）如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题： （1）求y与x之间的关系式； （2）若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？ 【能力提升（13题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·海南儋州·期末）如图，、分别是的边、上的点，且，．若的面积为，的面积为，的面积为，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 5．（24-25八年级上·福建莆田·期中）设的面积为1．如图①，分别是的中点，相交于点与的面积差记为；如图②，分别是的3等分点，相交于点，与的面积差记为；如图③，分别是的4等分点，相交于点与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是 ． 7．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出 个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是 ． 8．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则 ． 9．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 10．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）阅读材料． 例题：若，求m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 解决下列问题： （1）若，求的值； （2）若a，b，c是的三边长，且满足，求边长的取值范围． 12．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图，的面积是，是的中点，连接，的面积是 ； （2）如图，四边形的面积是，、分别是一组对边、的中点，连接，，则四边形的面积是 ； （3）如图，、分别是一组对边、上的点，且，，若四边形的面积是，连接，，则四边形的面积是 ； （4）如图4，平行四边形的面积是，，，点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点运动，点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点运动．、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．请问四边形的面积的值是否随着时间的变化而变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明是怎样变化的． 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 2．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道（   ）    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 二、填空题 4．（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可） 5．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是 ． 6．（2019·黑龙江·中考真题）如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD= ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 13.1 三角形概念与有关的线段 目录 一知识梳理 1 （一）三角形定义 1 （二） 三角形三边关系 2 （三） 三角形中线、角平分线、高 2 （四） 三角形的稳定性 4 二知识体系思维导图 4 三题型分类精析 4 考点（一）三角形概念与分类 4 【题型 1】三角形的识别与有关概念 4 【题型 2】三角形的个数问题 6 【题型 3】三角形的分类 7 考点（二）三角形的三边关系 10 【题型 4】 构成三角形的条件 10 【题型 5】确定第三边的取值范围 11 【题型 6】三角形三边关系的应用 12 考点（三）三角形与四边形的稳定性 14 【题型 7】 三角形的稳定性与四边形的不稳定性及应用 14 考点（四）三角形的重要线段（中线、角平分线、高） 16 【题型 8】 根据三角形中线求长度 16 【题型9】 根据三角形中线求面积 18 【题型 10】 重心的概念 20 【题型 11】 三角形角平分线的定义 22 【题型 12】 画三角形的高 24 【题型 13】 与三角形的高有关的计算问题 26 【题型 14】 三角形中线、角平分线、高线综合辨析 28 【题型 15】 三角形中线、角平分线、高线综合计算 31 四同步练习 34 【基础巩固（15题）】 34 【能力提升（13题）】 42 【中考真题6题】 54 一.知识梳理 （一）三角形定义 1. 定义：在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形的基本元素包括边、角和顶点，如图1，三角形三边是、、，也可以用一个小写字母表示，记作：、、，三个内角为、、，其中的对边为，的对边为，的对边为. 图1 2. 表示方法：三角形用符号“”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作“△ABC”,读作“三角形” 3.三角形的分类： （2） 三角形三边关系 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第在边 ；； 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 ；； （3） 三角形中线、角平分线、高 1. 三角形的中线： （1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线； 图1 图2 （2）几何语言表述：如图1，在中，是边的中点，因此线段是的中线； （3）重心：如图2，三角形三条中线交于一点，这个交点叫三角形的重心； （4）中线模型：中线分得的三角形面积相等；如图1，是的中线，得出; 2. 三角形的角平分线： （1）定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线. 图3 图4 （2） 表示方法：如图3，在中，线段平分交对边于点，因此线段是的角平分线； （3）内心：如图4，三角形三条角平分线于一点，这个交点叫三角形的内心； 3. 三角形的高： 图5 图6 （1） 定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做这个三角形的高线（简称高）. （3） 表示方法：如5，在中，线段于点，垂直为，因此线段是的高； （4） 垂心：如图6，三角形三条高线于一点，这个交点叫三角形的垂心； （4） 三角形的稳定性 三角形的稳定性：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。在生产和生活中，房屋的人字梁、大桥钢架等都利用了三角形的稳定性。特别说明：四边形不具有稳定性。 2． 知识体系思维导图 三．题型分类精析 考点（一）三角形概念与分类 【题型 1】三角形的识别与有关概念 【例题 1】（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）如图，点D在内，写出图中所有三角形：________________________； （2）如图，线段是____________和____________的边； （3）如图，的3个内角是____________，三条边是____________．    【答案】（1），，，；（2）；；（3），，；，， 【分析】根据三角形的定义，三角形的边与内角，进行作答即可 解：（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，，， 故答案为： ，，，； （2）解：由题意知，线段是和的边， 故答案为：，； （3）解：由题意知，的3个内角是，，； 三条边是，，， 故答案为：，，；，，． 【点拨】本题考查了三角形的定义，三角形的边、内角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 【变式1】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了三角形的有关概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 解：在中，所对的边是；在中，边所对的角是， 故答案为：；． 【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）观察图形． （1）图中有几个三角形？把它们一一写出来； （2）写出的边、顶点及三个内角； （3）以为内角的三角形有哪些？ （4）以AB为边的三角形有哪些？ 【答案】（1）7个，见分析；（2）的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，；（3），，；（4），， 【分析】查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形． 【解】（1）图中有7个三角形，分别是，，，，，，． （2）的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，． （3）以为内角的三角形有，，． （4）以AB为边的三角形有，，． 【题型 2】三角形的个数问题 【例题 2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【答案】（1）6，，，，，，；（2），，；（3），，；（4），，；， 【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可． 解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个； （2）以为边的三角形有，，； （3）分别是，，中，，边的对角； （4）是，，的内角，是，的内角． 故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中，三角形的个数是（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的个数问题，掌握不在同一直线上三点可以确定一个三角形成为解题的关键． 根据不在同一直线上三点可以确定一个三角形进行解答即可． 解：根据图示知，图中的三角形有：，共有5个． 故选：C． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，以点A为顶点的三角形有 个． 【答案】4 【分析】本题考查三角形，解答本题的关键要明确：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 解：以点A为顶点的三角形有，，，， ∴以点A为顶点的三角形有4个， 故答案为：4． 【题型 3】三角形的分类 【例题 3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    （1）按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． （2）按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】（1），，；（2），， 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 解：（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 【变式1】（2025·陕西延安·三模）如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的定义，垂线的定义，平行线的性质，根据得、是直角三角形，再根据，得，即可得、是直角三角形，进而可得结论． 解：∵， ∴是直角三角形，， ∵于点， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∴、是直角三角形， 综上，直角三角形有、、、、，一共5个， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）已知的边长a，b，c满足，若c为偶数，则的形状为 三角形．（按边分类） 【答案】等腰 【分析】本题考查平方以及绝对值的非负性，三角形的三边关系及其分类．由可得，，根据三角形的三边关系以及c为偶数可确定c的值，最后即可确定三角形的形状． 解：， ，， ，， ，， ，， ， 由c为偶数，可得， ， 的形状为等腰三角形． 故答案为：等腰． 考点（二）三角形的三边关系 【题型 4】 构成三角形的条件 【例题 4】（2025七年级下·全国·专题练习），，（，）分别表示三条线段的长度，试判断以其为边是否能组成三角形． 【答案】不能，理由见分析 【分析】本题考查了三角形的三边关系，理解并掌握三角形三边关系是解题关键．三角形三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．据此即可获得答案． 解：，， ∴为较短边的长度， 又， 不能组成三角形． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，5 B．4，5，9 C．5，12，18 D．7，15，23 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．判断三条线段能否组成三角形时，只需验证较小的两条线段之和是否大于最长的线段即可． 解：A，，满足条件，能组成三角形； B，，不满足条件，不能组成三角形； C，，不满足条件，不能组成三角形； D，，不满足条件，不能组成三角形； 故选A． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系． 根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可． 解：∵，，，， ∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，， ∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或， 故答案为： 或． 【题型5】确定第三边的取值范围 【例题 5】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知三角形的三条边长为和． （1）若6是最短边长．求的取值范围； （2）若为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可得，再由是最短边长，可得； （2）根据（1）所求可得，则的最大值为14，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 解：（1）解：由题意得：，即， 是最短边长， ， 的取值范围是； （2）解：由（1）可知，， 为整数， 的最大值为14， 三角形周长的最大值为． 【变式1】（24-25九年级下·河北沧州·期中）如图，的值可能是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系．注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三边关系得到，，再取公共部分即可． 解：∵两边长分别为8，9， ∴此时． 又∵两边长分别为5，18， ∴此时． ∵x的取值范围为：， ∴x的值可能是14． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）在中，，，并且的长为偶数，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，解答即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∴长是偶数， ∴为10， ∴的周长为：. 故答案为：21． 【题型 6】三角形三边关系的应用 【例题 6】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知的三边长分别为． （1）化简：； （2）若，第三边的长为奇数，判断的形状． 【答案】（1）；（2）是等腰三角形 【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解． 解：（1）∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； （2）∵， ∴根据三角形三边关系可得， ∵第三边的长为奇数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（   ） A．2a B． C． D．-2b 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系得出，，进而化简绝对值，即可求解． 解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B. 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长． 解：如图，延长交于点， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴的最大值等于5． 故答案为：5． 考点（三）三角形与四边形的稳定性 【题型 7】 三角形的稳定性与四边形的不稳定性及应用 【例题 7】（2021·吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案． 解：∵三角形具有稳定性， ∴要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线， ∵过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条）， ∴要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条， 故选：B． 【点拨】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·重庆秀山·期末）如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．根据三角形具有稳定性解答． 解：根据三角形具有稳定性可知，使矩形镜框不易变形的是C． 故选：C． 【变式2】 （24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【答案】平行四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 考点（四）三角形的重要线段（中线、角平分线、高） 【题型 8】 根据三角形中线求长度 【例题 8】 （23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知的周长为，是边上的中线． （1）如图，当时，求的长． （2）若，能否求出的长？为什么？ 【答案】（1）；（2）不能，理由见详解 【分析】（1）根据三角形中线的性质解答即可； （2）根据三角形周长和边的关系解答即可． 此题考查三角形的中线以及三角形的三边关系，关键是根据三角形中线的性质解答． 解：（1）解：，， ． 又∵的周长为， ． 是边上的中线， ． （2）解：不能，理由如下： ，， ． 又∵的周长为 ． ， 不能构成三角形， 则不能求出的长． 【变式1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2】 （24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知是的中线，，，且的周长为，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三角形中线定义，解题关键是由三角形中线定义得出． 先根据三角形的中线定义得，再根据三角形的周长公式即可得解． 解：是的中线， ， 的周长为， 即， ， 的周长． 故答案为： 【题型9】 根据三角形中线求面积 【例题9】 （24-25八年级上·全国·期中）如图所示，在中，点、、分别为、、的中点，且，求的面积． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的中线与面积关系，根据等底等高来求各个小三角形的面积是大三角形的面积的一半．利用等底同高的三角形的面积相等，可先得到，即，同理可知，，从而得到，那么就可求出的面积． 解：是的中点，， ． 又，分别为，的中点， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，是中线，，垂足分别为点、，若，，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用等面积法、三角形的中线，理解等面积法和掌握三角形中线的知识点是解题的关键．在中，因为是中线，所以和的面积相等；利用等面积法，即可求解． 解：∵在三角形中，是中线， ∴， ∴． ∵于E，于F，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】 （24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的面积，根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 解：∵ 是的中线，的面积是16， ∴ ∵E是的中点， ∴，     ∴阴影部分的面积为， 故答案为：8． 【题型 10】 重心的概念 【例题 10】 （23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点是的重心． （1）________； （2）若，求长． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查的是三角形重心的性质． （1）由点为的重心，可知是的中线，进而即可求解； （2）由三角形重心可得，进而即可求解． 掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解决问题的关键． 解：（1）解：∵点为的重心（即：点为三条中线、、的交点）， ∴，则， 故答案为：； （2）∵点为的重心，    ∴由三角形中线性质可得：，，， 则：，， ∴，， ∴， 则，即：， ∵， ∴， 【变式1】 （24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知的面积为8，点O为的重心，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的重心的定义，三角形的中线，三角形的面积；根据题意可得，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 解：因为点O是的重心， 所以点、分别是的中点， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以． 故选：C． 【变式2】 （24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形重心的定义，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三角形中线的性质求解即可． 解：∵的面积为1，D，E，F分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理 ∴的面积为， 故答案为：． 【题型 11】 三角形角平分线的定义 【例题 11 】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，平分交于点D． （1）在图①中，将三角形沿方向平移，使点D平移至点C处，得到三角形，且交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （2）在图②中，将三角形沿方向平移，使经过点D，得到三角形．求证：平分． 【答案】（1），理由见分析；（2）见分析 【分析】考查了平移的性质，解题的关键是了解平移前后对应点的连线平行且相等． （1）根据平移的性质得到，从而得到，然后根据平分得到，从而得到∶ （2）根据平移的性质得到进一步得到，然后根据平分得到，从而得到． 解：（1）解： ．理由如下： ∵三角形是由三角形平移得到的， ． ． 平分， ． ． （2）证明：∵三角形是由三角形平移得到的， ． 平分， ． ． 平分． 【变式1】 （24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 【答案】3/三 【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案． 解：∵为两条角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为∶3． 【点拨】本题考查了角平分线的定义，等量代换，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 【题型 12】 画三角形的高 【例题 12】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位． （1）画出的边上的高，垂足为D； （2）求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）的面积为． 【分析】本题考查画三角形的高，求格点三角形的面积，解题的关键是会用割补法求面积． （1）延长，过点作延长线的垂线即可； （2）用割补法，借助网格，即可求得三角形的面积． 解：（1）解：如图，延长，过点作延长线的垂线，垂足为，线段即为的边上的高． （2）解：∵每个小正方形的边长为1个单位， ∴ 答：的面积为． 【变式1】 ．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）在下列图形中，正确画出的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形高，根据三角形高的定义即可求解．熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 解：过点作（或延长线）的垂线段，垂足为，则垂线段为的边上的高， 由图可知，选项符合，其他选项不符合， 故选：． 【变式2】 如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键． 根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线作答即可． 解：∵， ∴线段是中边上的高， 故答案为：． 【题型 13】 与三角形的高有关的计算问题 【例题 13】 （24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，在直角三角形中，，，，，，． （1）点到的距离是______；点到的距离是________． （2）求点到的距离． 【答案】（1）；；（2）点到的距离为． 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，三角形面积公式，点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （1）根据定义即可解答． （1）在中，利用等积法求解即可解答． 解：（1）解：点到的距离是；点到的距离是． 故答案为：；； （2）解：设点到的距离为， ∵，，，， ∴，即， ∴， ∴点到的距离为． 【变式1】 （24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知是的高，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，解题关键是涉及到三角形的高的时候，注意分情况考虑．分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 解：①如图1，当高在的内部时， ； ②如图2，当高在的外部时， ． 综上所述，的度数为或． 故选：D． 【变式2】 （24-25七年级下·重庆·自主招生）如图所示，厘米，长方形中的厘米，阴影的面积是18平方厘米，则的面积是 平方厘米． 【答案】9 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据三角形的面积求边长成为解题的关键．由可得，再结合已知条件可得，即；同理可得，最后根据三角形的面积公式求解即可． 解：∵ ； ∴，即，解得：， ∴； ∵， ∴，解得：， ∴的面积是平方厘米． 故答案为：9． 【题型 14】 三角形中线、角平分线、高线综合辨析 【例题 14】 （2023·陕西榆林·二模）如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（　　） A．5 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】首先利用中线的性质可以求出的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解． 解：∵为的中线， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∵为的高线，， ∴， ∴． 故选：A． 【点拨】题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，有一定的综合性． 【变式1】 （24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式是解题的关键． 分别根据三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式判断即可． 解：是上的高线， ， 正确，不符合题意； 是的平分线， ， 错误，符合题意； 是上的中线， ， ， 正确，不符合题意． 故选：B． 【变式2】 （21-22七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，下面说法中正确的有 请填写序号． ①；②；③． 【答案】①②③ 【分析】根据等底同高得出面积相等；根据等角的余角相等求出，根据角平分线的定义得出，再根据等角的余角相等求出，等量代换后得出． 解：是中线， ； 正确； ， ， 是高， ， ， 是角平分线， ， ， ， 正确； ，， ， 是角平分线， ， ． 正确； 综上所述，正确的有． 故答案为：①②③ 【点拨】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高的综合应用，其中用等角的余角相等求出相等的角是解题关键． 【题型 15】 三角形中线、角平分线、高线综合计算 【例题 15】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图所示，是的中线，是的中线． （1）在中作边上的高； （2）若的面积为36，，则点到边的距离是多少？ 【答案】（1）见分析；（2）3 【分析】本题主要考查了作三角形的高，三角形中线的性质： （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得出，再利用三角形的面积公式进而得到点到边的距离． 解：（1）解：如图所示，为边上的高； （2）解：是的中线，是的中线， ，， ， 的面积为36，， ， 解得， 即点到边的距离为3． 【变式1】 （2023·陕西榆林·二模）如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（　　） A．5 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】首先利用中线的性质可以求出的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解． 解：∵为的中线， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∵为的高线，， ∴， ∴． 故选：A． 【点拨】题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，有一定的综合性． 【变式2】 如图中，，，，，是的角平分线，是边的中线，于点E，下列结论正确的有（　　）个 ①为中边上的高 ②线段、、中，线段的长度最短 ③若，则 ④D到的距离为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由三角形的高的含义可判断①，由垂线段最短可判断②，由平行线的性质结合三角形的角平分线的含义可判断③，由等面积法可判断④，从而可得答案． 解：不是中边上的高．故①不符合题意； 线段、、中，线段的长度最短，理由垂线段最短．故②符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴．故③不符合题意； 如图作于H． 由， ∵是边的中线， ∴， ∵，，， ∴， 解得，故④符合题意． 故选：B． 【点拨】本题考查的是平行线的性质，三角形的角平分线，中线，高的含义，垂线段最短，熟记概念并灵活运用是解本题的关键． 四．同步练习​ 【基础巩固（15题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·重庆·期末）利用到三角形的稳定性的生活实例是（    ） A．车库大门口的起落杆 B．四条腿的方桌 C．用枪的准星瞄准目标 D．脚踏车的三角车架 【答案】D 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形具有稳定性，即三边确定后形状固定不变形，而四边形等不具备该特性，需逐一分析选项，判断是否利用三角形结构来增强稳定性． 解： A：车库起落杆通常为平行四边形结构，利用四边形的不稳定性实现升降功能，而非三角形稳定性； B：四条腿的方桌仅由四边形支撑，未添加三角形加固结构，易摇晃，属于四边形不稳定的实例； C：枪的准星瞄准目标时，三点一线原理属于几何应用，与结构稳定性无关； D：脚踏车三角车架通过三角形结构连接各部件，利用三角形的稳定性使车架坚固不易变形； 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系进行判断即可． 解：由题意，得：第三边， ∴第三边； 故选D． 3．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短可得，据此可得答案． 解：∵线段分别是中线BC上的高和中线，而垂线段最短， ∴， 故选C． 4．（21-22七年级下·全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据三角形的三条高、三条角平分线、三条中线交点的位置，即可进行解答． 解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部； 三角形三条角平分线的交点在三角形内部； 三角形三条中线的交点在三角形内部； 故选：C． 【点拨】本题主要考查了三角形的三心位置，解题的关键是掌握锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；三角形三条角平分线的交点在三角形内部；三角形三条中线的交点在三角形内部． 5．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可． 解：，，分别是的中线、角平分线、高线， ∴，，，故选项A、B正确，不合题意； ，故选项C正确，不合题意； 由与不一定相等，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，于．图中线段可作为的高的有（   ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向它对边所作垂线段即是三角形的高，三角形共有三条高，它们交于一点．根据三角形高的概念求解即可．过的一个顶点且垂直于对边的线段是三角形的高． 解：根据三角形高的定义，上的高是，上的高是，上的高是．共3条， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【答案】7 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 解：以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ； ； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 8．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）已知三角形的三边长分别为3，，8．则正整数的值可以是 ． 【答案】4或5 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解不等式组，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围． 解：三角形的三边长分别为3，，8， ， 即， 故答案为：4或5． 9．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 . 【答案】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数． 解：观察图形可知： 从点首先连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， ， ∴连接到时，图中有个三角形（n为正整数）， 故答案为：． 10．（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，的平分线CD交AB于D，，且，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为 cm． 【答案】12 【分析】由角平分线可知，由平行可知，则，由等角对等边可知，然后根据计算求解即可． 解：∵的平分线CD交AB于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是AC中点， ∴， 故答案为：12． 【点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，中点等知识．解题的关键在于求出． 11．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键．根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，，进而可得，然后根据三角形中线的性质可得答案． 解：∵为中点，， ∴， 同理， ∴， ∵为中点， ∴． 故答案为：． 三、解答题 12．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，，是的三边长． （1）若，，满足，试判断的形状； （2）化简： 【答案】（1）是等边三角形；（2） 【分析】（1）根据题意可得且，进而可以判断三角形的形状； （2）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可． 解：（1）解：， 且， 是等边三角形； （2）解：，，是的三边长，， ． 【点拨】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，绝对值的非负性，掌握以上知识是解题的关键． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长交于点，由三角形的三边关系可得，，进而得到，，即可证明结论． 解：证明：延长交于点，如图． 在中，， ， 即． 在中，， ， 即， ． 14．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，利用等积法，求出的值即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（22-23七年级下·贵州·期末）如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题： （1）求y与x之间的关系式； （2）若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）根据题意表示出的面积即可求解； 解：（1）解：∵cm，的长为， ∴ ∵高cm， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴的面积 ， ∵的面积比的面积大3 ∴， 解得：， ∴当时，的面积比的面积大3 【能力提升（13题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重合，则：折痕即为边上的高； 故选D． 2．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 解：， ，， ，， ， ， 故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义可判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的性质可判断C． 解：∵是中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点E作于点G，于点H， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是中线， ∴与不一定相等，故D错误，符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级下·海南儋州·期末）如图，、分别是的边、上的点，且，．若的面积为，的面积为，的面积为，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查根据中线求三角形的面积，解题关键是当两个三角形的高相同时，需知道面积之比等于底之比；且当三角形面积不容易直接求出时，注意转化思想的使用． 根据，可求分别求出和，和的比例关系，再通过公共四边形, 可知，进而求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 同理，由， 得， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级上·福建莆田·期中）设的面积为1．如图①，分别是的中点，相交于点与的面积差记为；如图②，分别是的3等分点，相交于点，与的面积差记为；如图③，分别是的4等分点，相交于点与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律探索，找出点D，E角标的序号数与等分点的关系是解题关键，由题意得分别是的2025等分点，再根据，分别求出面积即可求出结论． 解：由题意得分别是的2025等分点，如下图： ， ， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键．根据题意即可得到答案． 解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 7．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出 个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是 ． 【答案】 2/两 或 【分析】此题考查了点到直线的距离、三角形的定义等知识．根据垂线段最短进行解答即可． 解：①∵点A到射线的距离是2，设的长为d． ∴当时，， ∴能作出2个； 故答案为：2 ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是或， 故答案为：或 8．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，等高模型的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．如图，连接，设，利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得的面积为，构建方程，可得结论． 解：如图，连接，设，. ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平移和三角形的面积， 过点作,先求出边的高，再分当在线段上和在线段延长线上时两种情况求三角形面积即可. 解：如图，过点作, 与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，，，． ∴，，，， ∵ ∴， ∴， 当在线段上时，， 的面积， 当在线段延长线上时，， 的面积， 答案为或 . 10．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查三角形面积的计算，垂线段最短，理解题意，得出当时，取得最小值即是解题关键． 过点A作，过点D作，根据题意得出，确定，得出，确定当时，取得最小值即，结合图形求解面积的最小值即可． 解：过点A作，过点D作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴当取得最小时，面积最小， ∵D为顶点，E为动点， 当时，取得最小值即， ∴， ∴， ∴， ∴面积最小为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）阅读材料． 例题：若，求m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 解决下列问题： （1）若，求的值； （2）若a，b，c是的三边长，且满足，求边长的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式、负整数指数幂、三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）先利用完全平方公式可得，从而可得，，再代入计算即可得； （2）先利用完全平方公式可得，从而可得，，再根据三角形的三边关系求解即可得． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． ∵是的三边长， ∴，即． 12．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 解：（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图，的面积是，是的中点，连接，的面积是 ； （2）如图，四边形的面积是，、分别是一组对边、的中点，连接，，则四边形的面积是 ； （3）如图，、分别是一组对边、上的点，且，，若四边形的面积是，连接，，则四边形的面积是 ； （4）如图4，平行四边形的面积是，，，点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点运动，点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点运动．、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．请问四边形的面积的值是否随着时间的变化而变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明是怎样变化的． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）四边形的面积的值不随时间的变化而变化，值为1 【分析】本题考查了平行四边形的性质及三角形的面积，属于综合题，解答本题关键是要掌握高相同，底边在一条直线上的三角形的面积比等于底边之比． （1）根据和，高相同，底边相差一半可得出答案． （2）连接，在和中，根据底边与高的关系可得出四边形与四边形的面积的关系； （3）连接，在和中，根据底边与高的关系可得出四边形与四边形的面积的关系． （4）根据同底等高的三角形的面积相等，结合（1）（2）（3）的结论即可做出解答． 解：（1）和，高相同，底边相差一半， 又∵的面积是 ∴的面积是． （2）连接， 由图形可得是面积的一半，是面积的一半， ∴四边形的面积四边形的面积． （3）连接， 由图形可得是面积的，是面积的， ∴四边形的面积四边形的面积． （4）四边形的面积的值不随时间的变化而变化； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵与同底， ∴， ∵与同底， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 解：A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 2．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 解：由图得，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道（   ）    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 【答案】C 【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：，利用长方形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论． 解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴只需要知道的面积即可求出的值； 故选C． 【点拨】本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到 二、填空题 4．（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 解：由题意知：，即， 所以整数a可取4、5、6、7、8中的一个． 故答案为：4（答案不唯一）． 5．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】根据的面积的面积，的面积的面积计算出各部分三角形的面积． 解：是边上的中线，为的中点， 根据等底同高可知，的面积的面积， 的面积的面积的面积， 故答案为：2． 【点拨】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算． 6．（2019·黑龙江·中考真题）如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD= ． 【答案】3. 【分析】先判断点G为△ABC的重心，然后利用三角形重心的性质求出AG，从而得到AD的长． 解：∵D、E分别是BC，AC的中点， ∴点G为△ABC的重心， ∴AG=2DG=2， ∴AD=AG+DG=2+1=3． 故答案为3． 【点拨】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$