精品解析：河北枣强中学2024-2025学年高二下学期期末二考试数学试题

河北枣强中学2025学年高二年级下学期期末二考试数学学科试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间中，下列命题中正确的是（ ） A. 相交于同一点的三条直线共面 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 垂直同一条直线的两直线平行 2. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆锥底面半径为3，高为9，用平行于底面的平面截该圆锥，截得的圆台上，下底面半径之比为，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 320 B. 400 C. 480 D. 560 6. 在数列中，若，则666是的（ ） A. 第111项 B. 第222项 C. 第333项 D. 第666项 7. 若函数的极大值点与其一个零点重合，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 为激发同学们的学习积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验．在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布．若已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 在四面体中，，二面角的大小为，该四面体的所有顶点都在半径为的球的球面上，半径为的球与该四面体的四个面均相切，则（   ） A. 当时， B. 存在，使与重合 C. 随的增大而增大 D. 对任意的 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列对任意正整数，均满足，则_________． 13. 在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 已知等差数列满足：，，为其前项和，. （1）求数列的通项公式､前项和； （2）令，求的最大值 15. 近日，小米YU7新能源汽车发布后，在1小时内订单突破了20万台，创造了中国新能源汽车的最高订单记录，同时也向世界展现了我国新能源的实力，为此某车评机构采用随机抽样调查的方式在某地区对青少年群体和中年群体进行了有关SUV这种汽车类型的喜爱程度的相关调查，得到如下列联表： 喜欢SUV 不喜欢SUV 合计 青少年群体 40 200 中年群体 合计 290 110 （1）完善上述列联表，并求列联表中所涉及到的9个数据的极差和中位数； （2）根据上表，分别估计青少年群体喜欢SUV以及中年群体不喜欢SUV的概率； （3）根据小概率值的独立性检验，分析喜欢SUV是否与不同年龄群体有关？ 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 如图，三棱锥中，为等边三角形，，，点到平面的距离为2． （1）求点到平面的距离； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 17. 记，其中，数列满足． （1）证明：数列是等差数列，并求； （2）求数列的前项和． 18. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得函数为偶函数？若存在，求的值，若不存在，说明理由； （3）函数在区间上有且仅有一个极值点，求正数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北枣强中学2025学年高二年级下学期期末二考试数学学科试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间中，下列命题中正确的是（ ） A. 相交于同一点的三条直线共面 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 垂直同一条直线的两直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】通过举例判断A；根据基本事实4判断B；由平行四边形的判定定理判断C；由线线位置关系判断D. 【详解】对于A，正方体的同一顶点处的三条棱所在的直线不在同一平面内，故A错误； 对于B，由基本事实可知，平行于同一条直线的两条直线平行，故B正确； 对于C，同一平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 不在同一平面内时，两组对边分别相等的四边形不是平行四边形，故C错误； 对于D，垂直同一条直线的两直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故D错误. 故选：B. 2. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一、根据直观图还原到原图形即可求面积，方法二、根据直接求解. 【详解】方法一、设矩形与相交于点，则原图形如下， ，则， 所以. 方法二、由，所以. 故选：C. 3. 已知圆锥底面半径为3，高为9，用平行于底面的平面截该圆锥，截得的圆台上，下底面半径之比为，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似比，结合圆台体积公式即可求解. 【详解】根据相似可知，圆台的上、下底面半径分为1、3，圆台的高为6， 所以由圆台体积公式得：， 故选：B. 4. 若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入投影向量坐标公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是. 故选：D 5. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 320 B. 400 C. 480 D. 560 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，列式求出首项及公差，再求出前20项的和. 【详解】由，得，而，解得，公差， 所以. 故选：B 6. 在数列中，若，则666是的（ ） A. 第111项 B. 第222项 C. 第333项 D. 第666项 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知递推公式计算构造常数列，再代入计算求解. 【详解】因为，所以，所以，所以是常数列， 所以，则. 由，解得. 故选：B. 7. 若函数的极大值点与其一个零点重合，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数地零点，再求出导数，并由在各零点处的导数值为0求出，然后验证即可. 【详解】依题意，函数的零点为， 求导得， 当为极大值点时，，解得或； 当为极大值点时，，解得； 当为极大值点时，，解得， 若，，当或时，； 当时，，则为极大值点，符合题意，， 若，，当或时，； 当时，，则为极小值点，不符合题意， 所以. 故选：B 8. 已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据体积公式得出，将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面的半径为，圆锥SO的体积为，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，所以， 在中，由余弦定理是可得， 所以，因为， 所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 故选：A. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，列出方程求解即得. 【详解】等比数列中，，前三项和，则，于是， 解得或， 所以公比q的值为或1. 故选：AB 10. 为激发同学们的学习积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验．在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布．若已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】若已知，则，，， 但根据已知条件无法确定方差的情况. 故选：ACD. 11. 在四面体中，，二面角的大小为，该四面体的所有顶点都在半径为的球的球面上，半径为的球与该四面体的四个面均相切，则（   ） A. 当时， B. 存在，使与重合 C. 随的增大而增大 D. 对任意的 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意求出，，然后可判断ACD，再根据正四面体的特性判断B. 【详解】设中点为，分别过的外心作所在平面的垂线，两线交点即为球心， 由，得都为等边三角形， 则，，外接圆半径都是，由中点为， 得，又平面，则平面， 是二面角的平面角，即， 在四边形中，，是其外接圆直径，即的外接圆直径， ， 则外接球半径， ， 取中点，连接，则， 四面体的表面积， 四面体的体积， 于是， 对于A，当时，， ，，A错误； 对于B，当四面体为正四面体时，其外接球球心与内切球球心重合，B正确； 对于C，由，函数在上单调递减， 则在上单调递增，即随的增大而增大，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列对任意正整数，均满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别令和，两式作商，即可求解. 【详解】由数列对任意正整数，均满足， 当时，可得；当时，可得， 所以. 故答案为：. 13. 在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先作出辅助线，根据平行关系找出直线与所成的角，然后根据垂直关系和线段关系求出该角的值. 【详解】取的中点，连接. 因为分别为的中点， 所以. 又， 所以. 所以直线与所成角为. 在直角三角形中，因为， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 已知等差数列满足：，，为其前项和，. （1）求数列的通项公式､前项和； （2）令，求的最大值 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知求出等差数列公差，解出即可得通项公式以及前项和； （2）由（1）可得，，计算可得，进而可得出结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 所以，. 所以 【小问2详解】 得到 得到 合并得到 所以，，所以. 15. 近日，小米YU7新能源汽车发布后，在1小时内订单突破了20万台，创造了中国新能源汽车的最高订单记录，同时也向世界展现了我国新能源的实力，为此某车评机构采用随机抽样调查的方式在某地区对青少年群体和中年群体进行了有关SUV这种汽车类型的喜爱程度的相关调查，得到如下列联表： 喜欢SUV 不喜欢SUV 合计 青少年群体 40 200 中年群体 合计 290 110 （1）完善上述列联表，并求列联表中所涉及到的9个数据的极差和中位数； （2）根据上表，分别估计青少年群体喜欢SUV以及中年群体不喜欢SUV的概率； （3）根据小概率值的独立性检验，分析喜欢SUV是否与不同年龄群体有关？ 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，极差为360，中位数为160； （2），； （3）有关. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，并求出极差及中位数； （2）由频率估计相应的概率即可. （3）求出的观测值，再与临界值比对即得. 【小问1详解】 列联表如下： 喜欢SUV 不喜欢SUV 合计 青少年群体 160 40 200 中年群体 130 70 200 合计 290 110 400 表格中的9个数据由小到大排列为：， 所以这9个数据的极差为360，中位数为160. 【小问2详解】 由（1）知，青少年群体喜欢SUV的概率； 中年群体不喜欢SUV的概率为. 【小问3详解】 零假设：喜欢SUV与不同年龄群体无关， 由表格中数据经计算得， 根据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即认为喜欢SUV与不同年龄群体有关，此推断犯错误的概率不超过0.01. 16. 如图，三棱锥中，为等边三角形，，，点到平面的距离为2． （1）求点到平面的距离； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等体积法求出距离. （2）根据给定条件，利用公式法求出线面角的正弦. 【小问1详解】 由，，得，， 设点到平面的距离为，， 由，得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 【小问2详解】 由（1）知，，而点到平面的距离为2， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 记，其中，数列满足． （1）证明：数列是等差数列，并求； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明：因为，所以，则，所以． 因为，所以当时，， 所以，代入，得， 两边同时除以并整理得，（）， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即， 所以，即． （2） 【解析】 【分析】（1）由题目中的整理与的等量关系，可得的递推公式，根据等差数列的概念，可得答案； （2）由题意整理数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以， 即． 18. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得函数为偶函数？若存在，求的值，若不存在，说明理由； （3）函数在区间上有且仅有一个极值点，求正数的取值范围. 【答案】（1） （2）存在； （3） 【解析】 【分析】（1）由导数小于零恒成立结合二次函数的性质可得； （2）由偶函数的性质比较系数可得； （3）换元令，求导后转化为在有且仅有一个变号零点，结合端点效应分析. 【小问1详解】 ，则， 因为在其定义域内单调递减，所以恒成立， 结合二次函数的性质，开口向下，令可得. 【小问2详解】 设存在， 则，即， 代入展开可得， 比较的系数可得，即， 验证其它项也满足，故. 【小问3详解】 ， 令，因为，所以， 则原函数可变为，则， 因为函数在区间上有且仅有一个极值点， 所以在上有且仅有一个极值点，即在有且仅有一个变号零点， ，， 所以， 所以正数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $