精品解析：江苏省南通市海安市海安外国语学校、海陵中学联考2024-2025学年九年级下学期5月月考数学试题

海陵中学2025年中考阶段性评价数学 考试时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的值等于 A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的知识，理解算术平方根的定义是解题关键．一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫算术平方根．据此即可获得答案． 【详解】解：， 故选：A． 2. 四川三星堆遗址被称为世纪人类最伟大的考古发现之一，让学术界开始重新审视人类文明的发展史．下图是年月首次亮相的青铜瓿，它有“圆口、深腹”等特征．有关其三视图（忽略表面凸起部分）说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据几何体的形状特点即可判断求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：由图形可得，几何体的主视图和左视图完全相同， 故选：． 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，据此判断即可． 【详解】解：A中3a与5b不是同类项，所以不能合并，故不符合题意； B中3a3c与﹣2c3a不是同类项，所以不能合并，故不符合题意； C中3a﹣2a＝a，故不符合题意； D中正确，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，解题的关键在于熟练掌握运算法则． 5. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等可得，再根据5只雀、6只燕重量为1斤可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：C． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键． 6. 一个含角和另一个含角的直角三角形，按如图所示叠放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．由题意得到，，由平行线的性质求得，进而根据角的和差即可解答． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 7. 参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转，再沿直线前进1米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（ ） A. 10米 B. 18米 C. 20米 D. 36米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知小华所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴他需要走20次才会回到原来的起点， 即一共走了（米）． ​故选：C 8. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 9. 甲、乙两车分别从两地同时出发，甲车匀速前往地，乙车匀速前往地，到达地立即以另一速度按原路匀速返回到地；设甲、乙两车距地的路程为（千米），乙车行驶的时间为（时），与之间的图象如图所示．则甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为（ ） A. 小时或小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时或小时 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图象、一元一次方程的应用，理解题意，能从图象中获取相关联信息，行程问题的数量关系的运用是解答的关键． 根据题意和函数图象中的数据，可以计算出乙车从A地到达B地的速度，进而可求得乙车到达B地的时间；然后可以先甲车的速度，然后即可计算出乙车到达B地时甲车距A地的路程；根据题意可知，乙车返回时的速度为（千米/时），甲车行驶的时间为小时，设乙车行驶的时间为小时，存在三种情况：乙车返回前，甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米；乙车返回前，甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米： 乙车返回后，甲、乙两车相距40千米；然后即可列出相应的方程，再求解即可． 【详解】解：由图象可得，乙车从A地到B地的速度为：（千米/时）， 则乙车到达B地的时间为：（小时）， ∴， 由图象可得，甲车的速度为：（千米/时）， 则乙车到达B地时甲车距A地的路程是（千米）， 乙车返回时的速度为（千米/时）， 甲车行驶的时间为小时， 设乙车行驶的时间为小时， 乙车返回前，甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米： ， 解得； 乙车返回前，甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米：， 解得； 乙车返回后，甲、乙两车相距40千米，， 解得：，不符合题意舍去， 综上，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或1.7小时， 故选：A． 10. 在中，于点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查坐标系中两点之间的距离，一元二次方程的应用，理解题意，建立坐标系，将问题进行转化是解题关键 以H为原点，在x轴上，所在直线为y轴，建立直角坐标系，得出，设，则长度为，确定，，建立方程，设，则，根据一元二次方程解的特点求解即可得出结果 【详解】解：以H为原点，在x轴上，所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示： ∴， 设，则长度为， ∴，， ∵， ∴整理得 设，则，代入得：， 整理得：， 关于b的方程有实数解， ∴， ∴， ∴或， ∴， ∴的最小值为8， 故选：C 二、填空题（本大题共有8小题，第11-12题每题3分，第13-18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为_____ cm²（结果保留π）． 【答案】15π． 【解析】 【详解】解：由图可知，圆锥的高是4cm，母线长5cm，根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm，所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm²． 故答案为：15π． 【点睛】本题考查圆锥的计算． 13. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2028 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 14. 某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端升高了__________米． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形定义，熟悉掌握此定义是解题的关键． 过点作于点，即可根据含角的直角三角形中，角所对的边是斜边的一半解答． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵，， ∴， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式． 根据二次函数图象的平移规律，求出平移后抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ∵抛物线与x轴交点处， ∴令，即． ∴或， 解得：∴，， ， 故答案为：5． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，若，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．熟练掌握函数图象平移以及平移性质，反比例函数与一次函数的交点，是解题的关键． 解析式联立，解方程组求得A的纵坐标，根据平移和相似三角形性质求得B的纵坐标，代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入即可求得b的值． 【详解】解：分别过点A，B作轴于点D，轴于点E，则， ∵直线与反比例函数的图象交于点A， ∴， 解得，，或（舍去）， ∴， ∴， 由平移知， ∴， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， ∴B的纵坐标为4， 把代入， 得，， 解得，， ∴， ∵将直线沿轴向上平移b个单位长度得到直线， ∴把B的坐标代入得，， 解得，， 故答案为：3． 18. 若关于的两个方程都有实数根，其中为实数，则代数式的最小值等于_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次根式有意义的条件，配方的应用等知识，根据二次根式有意义的条件得出根据一元二次方程根的判别式得出，则可求出，进而求出，即可求解． 【详解】解∶ 根据题意，得 关于x的两个方程都有实数根， 解得： 当时，取得最小值3． 故答案为∶3． 三、解答题（共8题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. 在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线． 已知：直线l及其外一点A．求作：l的垂线，使它经过点A．小华同学按下列步骤作图（如图）：①任取一点M，使点M和点A在直线l的两旁；②以点A为圆心，长为半径作弧，交直线l于点B和D；③分别以点为圆心，线段的长度为半径作弧，两弧相交于点C；④作直线，直线即为所求． （1）证明：直线l； （2）若点A到直线l的距离为，求四边形的面积． 【答案】（1）见详解 （2）96 【解析】 【分析】本题考查了作图−基本作图，也考查了菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的性质得到结论； （2）设与相交于O点，运用勾股定理求出，根据菱形的性质得到，即可求出面积． 【小问1详解】 证明：由作法得， ∴四边形为菱形， ，即直线l． 【小问2详解】 解：如图，设与相交于O点，则， 四边形菱形， ， 在中，， ， 四边形的面积． 21. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能卡片的概率为_______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键． (1)利用公式计算即可． (2) 不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可． 【小问1详解】 一共有4种等可能性，抽到决策类人工智能的卡片有1种等可能性， 故抽到决策类人工智能的卡片的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中，两张卡片中不含D卡片等可能性有6种． 故两张卡片中不含D卡片的概率是． 22. 为了解甲、乙两所学校八年级学生综合素质整体情况，对两校八年级学生进行了综合素质测评，并对成绩作出如下统计分析． 【收集整理数据】分别从两所学校各随机抽取了a名学生的综合素质测试成绩（百分制，成绩都是整数且不低于分）．将抽取的两所学校的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D，E，F六组，用x表示成绩，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，F组：，其中乙校E组成绩如下：，，，，，，，，，，，，，，． 【描述数据】根据统计数据，绘制出了如下统计图． 【分析数据】两所学校样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲校 乙校 b 79 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ； （2）补全条形统计图； （3）甲校共有人参加测试，若测试成绩不低于80分的为优秀，估计甲校测试成绩优秀的约有 人； （4）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） （4）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，平均数、中位数、众数、方差的意义等等： （1）根据抽取的乙校中E组人数及其对应的百分比可求a的值，根据中位数的概念求b的值； （2）先求出甲校中组别C的人数，进而补全统计图即可； （3）用乘以甲校样本中成绩为优秀的人数占比即可得到答案； （4）根据平均数、中位数、众数、方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：， 在乙校共抽取50名学生，其第名和第名学生成绩的平均数为中位数， ∵乙校的F组中有人，E组中有15人， ∴乙校的第名和第名学生成绩在E组中， 将E组成绩从小到大排列为 ∴第名和第名学生成绩分别为和， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：甲校中C组人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（人） 故答案为：； 【小问4详解】 解：平均数表示两个学校抽取的人成绩的平均成绩； 众数表示两个学校抽取的人中得分在某个分数的人数最多； 中位数表示两个学校抽取的人中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩； 方差表示两个学校抽取的人的成绩稳定性． 23. 如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：； （2）若垂直平分，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接．则，即．由为直径，可得，即．则．由，可得．由，可得．则．进而可证． （2）如图2，连接．由垂直平分，可得．则为等边三角形．，．由，可得．由，可得．．证明为等边三角形．则，．．则．．．．，再根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连接． 图1 ∵为的切线， ∴，即． 又∵直径， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：如图2，连接． 图2 ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握相关图形的性质定理、正确添加辅助线是解题的关键． 24. 为了保护通洋河沿线水环境，城区综合治理指挥部决定购买两种型号的污水处理设备共30台，已知用180万元购买型设备的数量恰好与150万元购买型设备的数量相同，每台设备价格及月污水处理量情况如下表： 污水处理设备 型 型 价格（万元/台） 月处理污水量（吨/台） 2400 1800 （1）求的值； （2）已知每月需要处理污水总量不少于56000吨，问指挥部如何购买这两种设备花费最少？并求出最少花费金额． 【答案】（1）36 （2）购买型设备4台，购买型设备台，此时费用最小为924万元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶ （1）根据“用180万元购买型设备的数量恰好与150万元购买型设备的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购买型设备x台，根据“处理污水总量不少于56000吨”列不等式，可求出x的取值范围，设总费用为w万元，根据“总费用=型设备的费用+型设备的费用”可得出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； 【小问2详解】 解：设购买型设备x台， 根据题意，得， 解得， 设总费用为w万元， 根据题意，得， ∵， ∴w随x的增大而增大， 又且x为整数， ∴当，w有最小值，最小值为， ∴购买型设备4台，购买型设备台，此时费用最小为924万元． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知点、在抛物线上，当时，求的取值范围； （3）点在抛物线上．若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把解析式化成顶点式即可求解； （2）抛物线开口向上，对称轴为直线，结合其性质进行分析； （3）利用二次函数的对称性和增减性列出关于的不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线为， ， 顶点为； 【小问2详解】 解：由题意可得，抛物线的开口向上，且对称轴为直线， ∵点、在抛物线上，且，即点距离对称轴比点近， ∴，即； 【小问3详解】 解：抛物线， 点，，在抛物线上， ，，， ， ，即， 解可得或， 或， ， 或， 解， ， ， ， ， ， ， 则， ， ， 综上所述，或． 26. 综合与实践 【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，且交正方形外角的平分线于点F．求证．（提示：取的中点H，连接．） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是为了构造出 　　≌　　，进而得到． （2）【类比探究】 如图2，四边形是矩形，且，点E是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点F，求的值（用含n的式子表示）； （3）【综合应用】如图3，P为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，即可得出结论； （2）在上截取，连接，不妨设，则，，，从而可得，，可证，即可求解； （3）可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线与G，作于T，证明，可得，，，证明，可得，，由（2）知：，从而求得，，，根据得，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1， 取的中点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图2， 在上截取，连接， ∵E时的中点， ∴， 不妨设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3， ∵， ∴可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线与G，作于T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得，， ∴，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海陵中学2025年中考阶段性评价数学 考试时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的值等于 A. 4 B. C. D. 8 2. 四川三星堆遗址被称为世纪人类最伟大的考古发现之一，让学术界开始重新审视人类文明的发展史．下图是年月首次亮相的青铜瓿，它有“圆口、深腹”等特征．有关其三视图（忽略表面凸起部分）说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 6. 一个含角和另一个含角的直角三角形，按如图所示叠放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转，再沿直线前进1米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（ ） A. 10米 B. 18米 C. 20米 D. 36米 8. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 9. 甲、乙两车分别从两地同时出发，甲车匀速前往地，乙车匀速前往地，到达地立即以另一速度按原路匀速返回到地；设甲、乙两车距地的路程为（千米），乙车行驶的时间为（时），与之间的图象如图所示．则甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为（ ） A. 小时或小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时或小时 10. 在中，于点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（本大题共有8小题，第11-12题每题3分，第13-18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上） 11. 因式分解：__________． 12. 已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为_____ cm²（结果保留π）． 13. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 14. 某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端升高了__________米． 15. 在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，则________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，若，则的值为__________． 18. 若关于的两个方程都有实数根，其中为实数，则代数式的最小值等于_______． 三、解答题（共8题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）计算：． 20. 在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线． 已知：直线l及其外一点A．求作：l的垂线，使它经过点A．小华同学按下列步骤作图（如图）：①任取一点M，使点M和点A在直线l的两旁；②以点A为圆心，长为半径作弧，交直线l于点B和D；③分别以点为圆心，线段的长度为半径作弧，两弧相交于点C；④作直线，直线即为所求． （1）证明：直线l； （2）若点A到直线l的距离为，求四边形的面积． 21. 人工智能是数字经济高质量发展引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率． 22. 为了解甲、乙两所学校八年级学生综合素质整体情况，对两校八年级学生进行了综合素质测评，并对成绩作出如下统计分析． 【收集整理数据】分别从两所学校各随机抽取了a名学生的综合素质测试成绩（百分制，成绩都是整数且不低于分）．将抽取的两所学校的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D，E，F六组，用x表示成绩，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，F组：，其中乙校E组成绩如下：，，，，，，，，，，，，，，． 【描述数据】根据统计数据，绘制出了如下统计图． 【分析数据】两所学校样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲校 乙校 b 79 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ； （2）补全条形统计图； （3）甲校共有人参加测试，若测试成绩不低于80分的为优秀，估计甲校测试成绩优秀的约有 人； （4）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 23. 如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：； （2）若垂直平分，，求阴影部分的面积． 24. 为了保护通洋河沿线水环境，城区综合治理指挥部决定购买两种型号的污水处理设备共30台，已知用180万元购买型设备的数量恰好与150万元购买型设备的数量相同，每台设备价格及月污水处理量情况如下表： 污水处理设备 型 型 价格（万元/台） 月处理污水量（吨/台） 2400 1800 （1）求的值； （2）已知每月需要处理污水总量不少于56000吨，问指挥部如何购买这两种设备花费最少？并求出最少花费金额． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线顶点坐标； （2）已知点、在抛物线上，当时，求取值范围； （3）点在抛物线上．若对于，都有，求取值范围． 26. 综合与实践 【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，且交正方形外角的平分线于点F．求证．（提示：取的中点H，连接．） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是为了构造出 　　≌　　，进而得到． （2）【类比探究】 如图2，四边形是矩形，且，点E是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点F，求的值（用含n的式子表示）； （3）【综合应用】如图3，P为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$