精品解析：江苏盐城市盐城枫叶双语学校等校2025-2026学年下学期第一次阶段检测 九年级数学

2026春学期第一次阶段检测 九年级数学 一．选择题（共8小题每题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有 人，物品价值 元，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1所示为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若 ，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在 中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形 内接于 ，连接 ， ，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼 明明的速度小于亮亮的速度 忽略掉头等时间明明从A地出发，同时亮亮从B地出发 图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离米 与行走时间分 的函数关系的图象，则 　　 A. 明明的速度是80米分 B. 第二次相遇时距离B地800米 C. 出发25分时两人第一次相遇 D. 出发35分时两人相距2000米 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9. 单项式的次数是____________． 10. 的算术平方根是_____． 11. 因式分解：16a3﹣4a=_____． 12. 二次函数的顶点坐标为______． 13. 如图，已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是________． 14. 已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是__． 15. 如图，菱形 的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接 ．若，菱形 的面积为54，则_________． 16. 如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第2026个正方形的面积为_________． 三．解答题（共11小题） 17. 计算： 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，是 的角平分线，它的垂直平分线分别交 ，，于点 ， ， ，连接 ，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，，求的长． 21. 如图，有 张分别印有 版西游图案的卡片： 唐僧、 孙悟空、 猪八戒、 沙悟净． 现将这 张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出 张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出 张卡片求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“ 孙悟空”的概率为__________； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有 张图案为“ 唐僧”的概率． 22. 为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表： 组别 身高 A x＜160 B 160≤x＜165 C 165≤x＜170 D 170≤x＜175 E x≥175 根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）样本中，男生的身高众数在 组，中位数在 组； （2）样本中，女生身高在E组的有 人，E组所在扇形的圆心角度数为 ； （3）已知该校共有男生600人，女生480人，请估计身高在165≤x＜175之间的学生约有多少人？ 23. 如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED＝∠C． （1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论； （2）若AC＝8，cos∠BED＝，求AD的长． 24. 综合与实践： A. 新增选项 项目 测量某塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长 ，影长 ，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离 ，仰角 ，仰角． 测量示意图 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 （1）根据“方案一”的测量数据，求出塔 的高度； （2）根据“方案二”的测量数据，求出塔 的高度；（参考数据：，，，，，） 25. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位，小正方形的顶点称为格点，点 、 、 均在格点上．要求只用无刻度直尺画图，并保留画图痕迹． （1）在图①中画 边上的高线 ． （2）在图②中的线段 上画出点 ，使得． （3）在图③中，在边 上取一点D使得． 26. 某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用 （万元）与年产量 （万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的总销售额 （万元） 预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额 每件产品的预售额（元）×年销售量 （万件），波动总额与年销售量 的平方成正比，部分数据如表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为万元．（年毛利润 总销售额生产费用） 年销售量 （万件） 20 40 总销售额 （万元） 560 1040 （1）求 与 以及 与 之间的函数解析式； （2）若要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为多少？ （3）若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，结合函数图象，求该产品年销售量的变化范围． 27. 抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图1，连接 ， ，点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （3）如图2，直线l：（）与抛物线交于点E，F（点E在点F的左边），与抛物线的对称轴交于点N，直线（）交直线l于点M（点M在点E的左边），使恒成立，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春学期第一次阶段检测 九年级数学 一．选择题（共8小题每题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 2. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了单项式乘多项式、二次根式和完全平方公式的运算能力，运用单项式乘多项式、二次根式和完全平方公式的知识进行逐一计算即可，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3. 2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据186000用科学记数法表示为； 故选B 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 4. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有 人，物品价值元，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题设有 人，物品价值元，根据题意列出方程组即可求解； 【详解】解：设有 人，物品价值元， 由题意得，， 故选：D； 5. 如图1所示为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得出，根据三角形的外角的性质可得，最后根据对顶角相等，即可求解． 【详解】∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：B． 6. 在 中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．由勾股定理得 ，进而利用三角函数定义即可得解． 【详解】解：如图， 根据勾股定理得，． ． 故选：C． 7. 如图，四边形 内接于 ，连接 ， ，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据垂径定理的推论得到，继而 ，再对运用内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形 内接于 ， ∴ ， ∴， ∵， 经过圆心， ∴， ∴ ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，以及等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 8. 明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼 明明的速度小于亮亮的速度 忽略掉头等时间明明从A地出发，同时亮亮从B地出发 图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离米 与行走时间分 的函数关系的图象，则 　　 A. 明明的速度是80米分 B. 第二次相遇时距离B地800米 C. 出发25分时两人第一次相遇 D. 出发35分时两人相距2000米 【答案】B 【解析】 【分析】C、由二者第二次相遇的时间结合两次相遇分别走过的路程，即可得出第一次相遇的时间，进而得出C选项错误； A、当时，出现拐点，显然此时亮亮到达A地，利用速度 路程时间可求出亮亮的速度及两人的速度和，二者做差后可得出明明的速度，进而得出A选项错误； B、根据第二次相遇时距离B地的距离 明明的速度 第二次相遇的时间、B两地间的距离，即可求出第二次相遇时距离B地800米，B选项正确； D、观察函数图象，可知：出发35分钟时亮亮到达A地，根据出发35分钟时两人间的距离 明明的速度 出发时间，即可求出出发35分钟时两人间的距离为2100米，D选项错误． 【详解】解： 第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了米，且二者速度不变， ， 出发20分时两人第一次相遇，C选项错误； 亮亮的速度为米分 ， 两人的速度和为米分 ， 明明的速度为米分 ，A选项错误； 第二次相遇时距离B地距离为米 ，B选项正确； 出发35分钟时两人间的距离为米 ，D选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9. 单项式的次数是____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据单项式的次数是一个单项式中所有字母的指数的和即可得出答案． 【详解】解：单项式的次数是：4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了单项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中的所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 10. 的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为： ． 11. 因式分解：16a3﹣4a=_____． 【答案】4a（2a+1）（2a﹣1） 【解析】 【分析】首先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】原式=4a（4a2﹣1）=4a（2a+1）（2a﹣1）， 故答案为4a（2a+1）（2a﹣1） 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 12. 二次函数的顶点坐标为______． 【答案】(－1，－1) 【解析】 【详解】试题解析：∵y=x2+2x=（x+1）2-1， ∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（-1，-1） 13. 如图，已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是________． 【答案】60°或120° 【解析】 【分析】由题意可知，OA=OB，ODAB，可求出∠1=∠2，OA=10，OD=5，在RtAOD中，根据∠1的余弦值可求出∠1=60，则∠AOB=120，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可得弦AB所对的圆周角的度数. 【详解】 如图，∵OA=OB，ODAB，OA=10，OD=5， ∴∠1=∠2，cos∠1==, ∴∠AOB=2∠1=120， ∴∠C=60，∠D=18060=120. 即弦AB所对的圆周角的度数是60或120. 故答案为60或120. 【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质. 14. 已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是__． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元一次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且 ， 故答案为：且 ． 15. 如图，菱形 的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接 ．若，菱形 的面积为54，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积可得，则，运用勾股定理可求得 的长，进而求得 ，再运用勾股定理求得 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线性质可得，即，求得即解答． 【详解】解：∵ 是菱形，， ∴，， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第2026个正方形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到第 个正方形面积，即可得到答案． 【详解】解：第一个正方形面积， 第二个正方形面积， 第三个正方形面积， 故第 个正方形面积， 则第2026个正方形的面积为． 三．解答题（共11小题） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可得出答案． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，涉及分式方程的解法步骤：因式分解、去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1等，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 等式两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，最简公分母， 时原分式方程的根． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将除法转化为乘法，因式分解，约分，分式的减法运算，再将字母的值代入求解即可． 【详解】 ． 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键． 20. 如图，是 的角平分线，它的垂直平分线分别交 ，， 于点 ， ， ，连接 ，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，，求 的长． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可证，，证明，根据全等三角形的性质可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形； （2）过点 作，根据菱形的性质和勾股定理分别求出、的长度，再根据线段之间的关系求出 的长度． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 理由如下： 是的垂直平分线， ，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点 作， 则有， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 21. 如图，有 张分别印有 版西游图案的卡片： 唐僧、 孙悟空、 猪八戒、 沙悟净． 现将这 张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出 张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出 张卡片求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“ 孙悟空”的概率为__________； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有 张图案为“ 唐僧”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：共有 张卡片， 第一次取出的卡片图案为“ 孙悟空”的概率为 故答案为：． 【小问2详解】 树状图如图所示： 由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种． ∴ (至少一张卡片图案为“A唐僧”）． 答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 22. 为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表： 组别 身高 A x＜160 B 160≤x＜165 C 165≤x＜170 D 170≤x＜175 E x≥175 根据图表提供的信息，回答下列问题： （1）样本中，男生的身高众数在 组，中位数在 组； （2）样本中，女生身高在E组的有 人，E组所在扇形的圆心角度数为 ； （3）已知该校共有男生600人，女生480人，请估计身高在165≤x＜175之间的学生约有多少人？ 【答案】（1）B，C；（2）2；（3）该校身高在165≤x＜175之间的学生约有462人． 【解析】 【分析】根据直方图即可求得男生的众数和中位数，求得男生的总人数，就是女生的总人数，然后乘以对应的百分比即可求解． 【详解】解：（1）∵直方图中，B组的人数为12，最多， ∴男生的身高的众数在B组， 男生总人数为：4+12+10+8+6=40， 按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组， ∴男生的身高的中位数在C组， 故答案为B，C； （2）女生身高在E组的百分比为：1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%=5%， ∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同， ∴样本中，女生身高在E组的人数有：40×5%=2（人）， 故答案为2； （3）600×+480×（25%+15%）=270+192=462（人）． 答：该校身高在165≤x＜175之间的学生约有462人． 【点睛】考查频数（率）分布直方图, 频数（率）分布表, 扇形统计图, 中位数, 众数，比较基础，掌握计算方法是解题的关键. 23. 如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED＝∠C． （1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论； （2）若AC＝8，cos∠BED＝，求AD的长． 【答案】（1）AC与⊙O相切， 证明：∵弧BD是∠BED与∠BAD所对的弧， ∴∠BAD=∠BED， ∵OC⊥AD， ∴∠AOC+∠BAD=90°， ∴∠BED+∠AOC=90°，即∠C+∠AOC=90°， ∴∠OAC=90°， ∴AB⊥AC，即AC与⊙O相切； （2）． 【解析】 【分析】（1）由于OC⊥AD，那么∠OAD+∠AOC=90°，又∠BED=∠BAD，且∠BED=∠C，于是∠OAD=∠C，从而有∠C+∠AOC=90°，再利用三角形内角和定理，可求∠OAC=90°，即AC是⊙O的切线； （2）连接BD，AB是直径，那么∠ADB=90°，在Rt△AOC中，由于AC=8，∠C=∠BED，cos∠BED=，利用三角函数值，可求OA=6，即AB=12，在Rt△ABD中，由于AB=12，∠OAD=∠BED，cos∠BED=，同样利用三角函数值，可求AD． 【详解】解：（1）略 （2）连接BD．∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=90°，在Rt△AOC中，∠CAO=90°，∵AC=8，∠ADB=90°，cos∠C=cos∠BED=，∴AO=6，∴AB=12，在Rt△ABD中，∵cos∠OAD=cos∠BED=，∴AD=AB•cos∠OAD=12×． 【点睛】本题考查切线的判定；解直角三角形． 24. 综合与实践： A. 新增选项 项目 测量某塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长 ，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离 ，仰角 ，仰角． 测量示意图 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 （1）根据“方案一”的测量数据，求出塔 的高度； （2）根据“方案二”的测量数据，求出塔 的高度；（参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用． （1）由题意可知，从而得出，代入测量的平均值进行求解即可； （2）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 由题意可知， ∴，即， 解得， ∴塔 的高度为米； 【小问2详解】 解：如图， 在 中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． ∴米， ∴塔 的高度为米． 25. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位，小正方形的顶点称为格点，点 、 、 均在格点上．要求只用无刻度直尺画图，并保留画图痕迹． （1）在图①中画 边上的高线 ． （2）在图②中的线段 上画出点 ，使得． （3）在图③中，在边 上取一点D使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，连接与的交点分别为，利用全等三角形的性质证明垂直，线段 为所求； （2）取格点，连接交 于点 ，则四边形是矩形，，即点 是 中点，得到点 在 的垂直平分线上，即可得到答案； （3）在 往右两格，往下一格的格点上找到一点 ，使得 ，且，根据等腰三角形三线合一，找到 的中点 ，即可得到图形． 【小问1详解】 解：取格点，连接与的交点分别为， 于 的交点为 ， ， ， ， ， ， ， 即 是 边上的高； 【小问2详解】 解：取格点，连接交 于点 ，则四边形是矩形， ，即点 是 中点， 取格点，连接， ， ， ， 点 在 的垂直平分线上， 连接并延长，交 于点 ，则垂直平分 ， ， ； 【小问3详解】 解：在 往右两格，往下一格的格点上找到一点 ，使得 ，且，根据等腰三角形三线合一，找到 的中点 ，． 26. 某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用（万元）与年产量 （万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的总销售额 （万元） 预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额 每件产品的预售额（元）×年销售量 （万件），波动总额与年销售量 的平方成正比，部分数据如表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为万元．（年毛利润 总销售额生产费用） 年销售量 （万件） 20 40 总销售额 （万元） 560 1040 （1）求与 以及 与 之间的函数解析式； （2）若要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为多少？ （3）若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，结合函数图象，求该产品年销售量的变化范围． 【答案】（1）， （2）要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为75万件 （3）年销售量大于50万元，小于100万元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质等知识， （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据毛利润，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得到，求出，，然后根据年毛利润不低于1000万元求解即可． 【小问1详解】 由题意，设． 经过点， ． 解得：． ． 设每件产品的预售额为 元． 该产品的总销售额 （万元） 预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额 每件产品的预售额（元年销售量 （万件），波动总额与年销售量 的平方成正比， ． ． ． ； 【小问2详解】 由题意，， ， 当时，利润最大． 要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为75万件． 【小问3详解】 由题意，令， ． ． ． ，． 年毛利润不低于1000万元，且相应抛物线开口向下， 该产品年销售量 的变化范围为：． 27. 抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图1，连接 ， ，点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （3）如图2，直线l：（）与抛物线交于点E，F（点E在点F的左边），与抛物线的对称轴交于点N，直线（）交直线l于点M（点M在点E的左边），使恒成立，求t的值． 【答案】（1），， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）令和即可得到答案； （2）当 点在第三象限时，过点 作交 于点 ，过点 作于点 ，证明，设 的解析式为：，将代入，解得，即可得到答案；当点 点在第二象限时，在 上取一点 ，使得，过点 作，且，过点 作，连接，求出，设 的解析式为：，将代入，求出，即可得到答案； （3）过点 作直线于点 ，对称轴于点 ，直线交对称轴于点 ，过点 作对称轴于点 ，则有，得到，再根据韦达定理推出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：令，得， ， 令，得， 解得， ，， ，，； 【小问2详解】 解：①当 点在第三象限时，过点 作交 于点 ， 过点 作于点 ， ， ， ， ， ， ， ， 设 的解析式为：，将代入，得： ， ， ， 解得（舍去）， ； ②当点 点在第二象限时，在 上取一点 ，使得，过点 作，且，过点 作，连接， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ， ， 设 的解析式为：，将代入，得： ， ， ， 解得（舍去）， ； 或； 【小问3详解】 解：过点 作直线于点 ，对称轴于点 ，直线交对称轴于点 ，过点 作对称轴于点 ，则有，， ， ， ， ，对称轴， ∴， 整理得：， ∵， 整理得到：， ， ， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $