精品解析：2024年江苏省海安市联盟九年级中考模拟数学试题

九年级数学学习评估202405 卷面分值：150 答卷时间：120分钟 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数种，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，即可得出结论． 【详解】解：先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D， ∵=4，=3，，而4＞3＞2 ∴＜＜ ∴各选项中，比小的数是 故选A． 【点睛】此题考查的是有理数的比较大小，掌握正数都大于0；负数都小于0；两个负数，绝对值大的反而小，是解题关键． 2. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据万亿用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】本题考查合并同类项以及去括号．根据合并同类项法则和去括号法则逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 十边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是n，根据题意得， ， 解得：， ∴这个多边形为六边形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 5. 如图，内接于，为的直径，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角的定理，可知定点是的中点，，由此可求出的半径，根据弧长的计算方法即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴，即点是的中点，且为的直径， ∴，， 在中，， ∴的半径， ∴，则， 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识与三角形知识的综合，掌握圆周角定理，扇形面积的计算方法是解题的关键． 6. 如图，∠AOB=40°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA，OB于C，D两点，分别以C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点E，画射线OE，过点E作OB的平行线交OA于点F，则∠OEF的度数为( ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 140° 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质即可求解； 【详解】解：由作法可知OE平分∠AOB，∠AOB=40° ∴ ∵ ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键， 7. 若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象可知：直线经过点（1，0）、（3，4）,写出函数值大于0小于4时自变量的取值范围即可． 【详解】解：观察图象可知：直线经过点（1，0）、（3，4） ∴当y=0时，x=1; 当y=4时，x=3; ∴关于x的不等式0＜kx+b＜4的解集为1＜x＜3． 故选C. 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系等知识，解题的关键是熟练掌握数形结合思想，属于中考常考题型． 8. 如图，在矩形中，点E是边的中点，，垂足为F，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形得到，，，，即可得到，结合中点可得，证明，得到，结合勾股定理即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵点E是边的中点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选A； 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据相似等到线段比例关系． 9. 如图，在中，，，垂直平分，交于点D，交于点F，连接、，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，由题意可得，，由垂直平分，可知，进而可得是的中位线，得，可知，在中，，即解得，即可求解． 【详解】解：在中，，， 设，则，， ∵垂直平分，则， ∴，则， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，，即： 解得：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，理解相关图形的性质是解决问题的关键． 10. 已知实数a，b满足，则的最小值为（　　） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查换元法的应用，一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式来解决问题是关键．设，则，代入并整理，得：，由题意可知该关于b的一元二次方程有解，则根据其根的判别式求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， 整理，得：． ∵存在实数a，b满足， ∴关于b的一元二次方程有解， ∴， ∴， 解得：， ∴，即的最小值为． 故选A． 二．填空题（共8小题，11-12每题3分，13-18每题4分，满分30分） 11. 二次根式有意义条件是____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出3x-1≥0，求出即可． 【详解】∵要使有意义，必须3x-1≥0， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件的应用，注意：要使有意义，必须a≥0． 12. 分解因式：___． 【答案】 【解析】 【详解】分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 13. 已知：如图，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：这个条件可以是， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 14. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，根据砝码被提起的长度等于径为圆心角为的弧长，即可求解． 【详解】解：依题意，砝码被提起的长度为， 故答案为：． 15. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，测得杆底端点Q的仰角是，．则点A到山坡底部点C的距离为_________m．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设，在中，求得 ，在中，求得，由列方程求解即可． 【详解】解：设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴，解得， 故答案为：． 16. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到结合不等式组的解集可得答案， 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：，解得：， ∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 17. 如图，直线交坐标轴于点A，B，交反比例函数于点M，N，若，则k的值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行线分线段成比例，一元二次方程根与系数的关系． 先根据，可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，可得，设的横坐标为，根据，联立直线与反比例函数解析式，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 把代入函数中，得 ，解得， ∴，， 如图所示，过点作轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 设的横坐标为， ∴， 联立， 即， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：9 18. 如图，已知的两条直角边，将绕直角边中点G旋转得到，若的锐角顶点D恰好落在的斜边上，则 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，连接，根据，可说明，从而求出的长，再利用，得，设，则，，进而得出x的值． 【详解】解：如图，连接， ， 由勾股定理得，， ∵点G为的中点， ， 的锐角顶点D恰好落在的斜边上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得， 经检验，是方程的解， ， ， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分90分） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）2；（2）， 【解析】 【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质，有理数的乘方分别化简得出答案； （2）直接将括号里面通分运算以及利用分式的混合运算法则化简，再把符合题意的x值代入即可. 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当时，原式. 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质，有理数的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 20. 某校组建了射击兴趣小组，甲、乙两人连续8次射击成绩如下列统计图和统计表，统计图中乙的第8次射击成绩缺失． 甲、乙两人连续射击8次成绩统计表 平均成绩（环） 中位数（环〕 方差（环2） 甲 7.5 乙 6 3.5 （1）乙的第8次射击成绩是 环． （2）补全统计表中空缺的三个统计量． （3）若要从甲、乙两人中选一位参加比赛，你会选择谁？写出你选择的2条理由． 【答案】（1）9 （2）详见解析 （3）甲，详见解析 【解析】 【分析】（1）根据乙的平均数求出总环数，从而确定乙的第8次射击成绩； （2）根据中位数、平均数、方差的定义解答，补图即可； （3）根据平均数、中位数及方差的意义求解，只要合理即可． 【小问1详解】 解：乙的第8次射击成绩是：6×8−4−3−5−6−7−6−8=9（环）． 【小问2详解】 解：甲的平均成绩： ×(8+8+8+7+8+6+5+6)=7（环） 乙的中位数：（环） 甲的方差：×[4×(8−7)2+(7−7)2+2×(6−7)2+(5−7)2]=1.25 补图如下： 平均成绩（环） 中位数（环） 方差（环2） 甲 7 7.5 1.25 乙 6 6 3.5 【小问3详解】解：会选甲，理由是： ①因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，所以甲的实力更强； ②因为甲的方差小于乙的方差，所以甲的发挥更稳定． （言之有理即可） 【点睛】此题考查了折线统计图，平均数，中位数以及方差的综合运用，熟练掌握相关定义，正确理解统计图表，从中获取信息进行计算并综合分析是解题的关键． 21. 如图，在矩形ABCD中， （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：分别在AD、BC上作点E、F，使四边形BEDF是菱形； （2）在（1）的条件下，若AB=4，AD=8，求菱形BEDF的边长． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于，交于，即可得到答案； （2）利用矩形，菱形的性质证明设再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）如图，作的垂直平分线交于，交于， 由作图可知： 矩形， 四边形是菱形． （2）四边形是矩形， 四边形是菱形． 设 则 解得： 菱形BEDF的边长为． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，同时考查线段的垂直平分线的作图，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 22. 四个完全相同的乒乓球，分别标注数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中随机摸出一个球，记下数字后再放回．请用列表或画树状图的方法解决下列问题： （1）求两次摸到的球上数字同时为偶数的概率； （2）在上面的问题中，如果第一次摸出球后不放回，继续第二次摸球，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率． 【答案】（1）两次摸到的球上数字同时为偶数的概率为 （2）两次摸到的球上数字之和为偶数的概率为 【解析】 【分析】（1）用列表法分析，所有等可能出现的结果，共有种，其中“两次摸到的球上数字同时为偶数”的有种情况，再利用概率公式计算即可； （2）用列表法分析，所有等可能出现的结果，共有12种，其中“两次摸到的球上数字之和为偶数的概率”的有种情况，再利用概率公式计算即可； 【小问1详解】 解：用表格列出所有可能的结果： 第一次 第二次 1 2 3 4 1 1、1 1、2 1、3 1、4 2 2、1 2、2 2、3 2、4 3 3、1 3、2 3、3 3、4 4 4、1 4、2 4、3 4、4 由表格可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次摸到的球上数字同时为偶数”的有种情况分别（2、2）、（2、4）、（4、2）、（4、4）， 所以概率为； 【小问2详解】 解：用表格列出所有可能的结果： 第一次 第二次 1 2 3 4 1 1、2 1、3 1、4 2 2、1 2、3 2、4 3 3、1 3、2 3、4 4 4、1 4、2 4、3 由表格可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次摸到的球上数字之和为偶数的概率”的有种情况，分别为（1、3）、（2、4）、（3、1）、（4、2）， 所以概率为． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果情况是正确解答的关键． 23. 如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，延长与的延长线交于点．． （1）求证：为的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， 的平分线交于点， ， ， ， 交的延长线于点， ， 是的半径，且， 为的切线． （2）阴影部分的面积是 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，而，则，所以，则，即可证明为的切线； （2）作于点，可证明四边形是矩形，则，因为，所以，由，求得，由，求得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点， 则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积是． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 24. A，B两地相距，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达B地后立即按原路原速返回，慢车到达A地后停止．快、慢两车离A地的距离，（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示． （1）补全与x之间的函数图象； （2）若慢车的速度为30． ①点P的坐标为 _______； ②快车到达A地前，两车何时相距30？ （3）若慢车在快车返回A地后的0.5h内到达，则慢车速度v的范围是______________． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或或或时，两车相距30 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）快车返回A地时，不全图象即可； （2）①结合图象可求两车出发后相遇，相遇处距A地，即可求解；②可求，当时，由可求解；当时，由可求解； （3）结合图象可得（），（），即可求解； 理解、的实际意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：快车到达B地后立即按原路原速返回， ∴快车返回A地时， ； 补全与x之间的函数图象如下： 【小问2详解】 解：①快车速度为， ， ∴两车出发后相遇， 相遇处距A地， ∴点P坐标为； 故答案为：； ②根据题意得， 当时， ， ∵两车相距， ， 解得或； 当时， ， ∵两车相距， ， 解得或； 综上所述，或或或时，两车相距； 【小问3详解】 解：， ， ； 故答案为：． 25. 已知点是边长为的正方形内部一个动点，始终保持． 【初步探究】（1）如图，延长交边于点．当点是的中点时，求的值； 【深入探究】（2）如图，连接并延长交边于点．当点是的中点时，求的值； 【延伸探究】（3）如图，连接并延长交边于点．当取得最大值时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）首先推导出，由推导出，结合点是的中点，得到． （2）延长交边于点，利用勾股定理求得，，继而推导出，与（1）同理可得：． （3）延长交边于点，明确点在以为直径的半圆上运动，取中点，连接，当与半圆相切时，有最大值，同时推导出也为半圆的切线，点在线段的垂直平分线上，同理：点在线段的垂直平分线上，所以是线段的垂直平分线，推导出，结合，得到四边形是平行四边形，求得，，与（1）同理可得：． 【详解】（1）解：如图，在正方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． （2）延长交边于点，如图， ∵点是的中点时，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 与（1）同理可得： ． （3）延长交边于点，如图， ∵， ∴点在以为直径的半圆上运动， 取中点，连接， ∴当与半圆相切时，有最大值． ∵且为半径， ∴也为半圆的切线， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 同理：点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 与（1）同理可得：． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及勾股定理． 26. 如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求该抛物线的表达式． （2）当时，求点P的坐标． （3）如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或； （3）P的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为； （2）分两种情况：①当在轴下方时，设交轴于，求出，直线解析式为，由，知，可得直线解析式为，联立，即可解得；②当在轴上方时，交轴于，可知与关于轴对称，从而可得，直线解析式为，联立，可解得； （3）分两种情况：①当在对称轴左侧时，延长交轴于，求得抛物线对称轴为直线，证明，即轴，知直线，故当在直线上时，也在直线上，求得，；设，得，即可解得此时的横坐标为；②当在对称轴右侧时，同理可知，；设，有，可解得此时的横坐标为． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； 小问2详解】 解：①当轴下方时，设交轴于，如图： 点是的中点，， ， 设直线解析式为 把，代入 ∴ 得直线解析式为， ， ， 设直线解析式为， 把代入得：， 解得， 直线解析式为， 联立， 解得或； ； ②当在轴上方时，交轴于，如图， ， ∴与关于轴对称， 由①知直线解析式为， ， ， 由，得直线解析式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：当在对称轴左侧时，延长交轴于，如图： 由可得抛物线对称轴为直线， ，， ，直线解析式为， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ，即轴， 抛物线对称轴直线垂直轴， 直线， 当在直线上时，也在直线上， 如图： 由得， ，； 设，则，， ， ， 解得（舍去）或， 此时的横坐标为； ②当在对称轴右侧时，如图： 同理可知，； 设，则，， ， ， 解得或（舍去）， 此时的横坐标为； 综上所述，的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数的性质，涉及待定系数法，梯形的面积，正方形，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学习评估202405 卷面分值：150 答卷时间：120分钟 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数种，比小的数是（ ） A B. C. 0 D. 3 2. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 十边形 5. 如图，内接于，为的直径，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，∠AOB=40°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA，OB于C，D两点，分别以C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点E，画射线OE，过点E作OB的平行线交OA于点F，则∠OEF的度数为( ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 140° 7. 若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是( ) A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，点E是边的中点，，垂足为F，则的值为（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，，，垂直平分，交于点D，交于点F，连接、，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 10. 已知实数a，b满足，则的最小值为（　　） A. B. C. 0 D. 1 二．填空题（共8小题，11-12每题3分，13-18每题4分，满分30分） 11. 二次根式有意义的条件是____________ 12. 分解因式：___． 13. 已知：如图，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．写出一个即可） 14. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了______．（结果保留） 15. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，测得杆底端点Q的仰角是，．则点A到山坡底部点C的距离为_________m．（结果保留根号） 16. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为__________． 17. 如图，直线交坐标轴于点A，B，交反比例函数于点M，N，若，则k的值为________． 18. 如图，已知的两条直角边，将绕直角边中点G旋转得到，若的锐角顶点D恰好落在的斜边上，则 ____________________． 三．解答题（共8小题，满分90分） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 20. 某校组建了射击兴趣小组，甲、乙两人连续8次射击成绩如下列统计图和统计表，统计图中乙的第8次射击成绩缺失． 甲、乙两人连续射击8次成绩统计表 平均成绩（环） 中位数（环〕 方差（环2） 甲 75 乙 6 3.5 （1）乙的第8次射击成绩是 环． （2）补全统计表中空缺的三个统计量． （3）若要从甲、乙两人中选一位参加比赛，你会选择谁？写出你选择的2条理由． 21. 如图，在矩形ABCD中， （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：分别在AD、BC上作点E、F，使四边形BEDF是菱形； （2）在（1）的条件下，若AB=4，AD=8，求菱形BEDF的边长． 22. 四个完全相同的乒乓球，分别标注数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中随机摸出一个球，记下数字后再放回．请用列表或画树状图的方法解决下列问题： （1）求两次摸到的球上数字同时为偶数的概率； （2）在上面的问题中，如果第一次摸出球后不放回，继续第二次摸球，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率． 23. 如图，为直径，为上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，延长与的延长线交于点．． （1）求证：为的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 24. A，B两地相距，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达B地后立即按原路原速返回，慢车到达A地后停止．快、慢两车离A地的距离，（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示． （1）补全与x之间的函数图象； （2）若慢车的速度为30． ①点P的坐标为 _______； ②快车到达A地前，两车何时相距30？ （3）若慢车在快车返回A地后的0.5h内到达，则慢车速度v的范围是______________． 25. 已知点是边长为的正方形内部一个动点，始终保持． 【初步探究】（1）如图，延长交边于点．当点是的中点时，求的值； 【深入探究】（2）如图，连接并延长交边于点．当点是的中点时，求的值； 【延伸探究】（3）如图，连接并延长交边于点．当取得最大值时，求的值． 26. 如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求该抛物线的表达式． （2）当时，求点P的坐标． （3）如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $