精品解析：广东省汕头市潮阳区六校联盟2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期 八年级数学第二次月考试卷 （时间：120分钟　满分：120分） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对边平行 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 2. 在中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 已知一次函数的图象如图所示，则m、n的取值范围是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ） A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量其中的三个角是否都为直角 D. 测量对角线是否相等 6. 对于函数（k是常数，）的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 是一条直线 B. 过点 C. y随x的增大而增大 D. 经过一、三象限或二、四象限 7. 如图，在中，，点M，N分别是的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 1.2 B. 3 C. 3.5 D. 6 8. 如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 9. 若直线与直线相交于x轴上一点，则这两条直线与y轴所围成的三角形的面积是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，相交于点O，点E，F分别为边上的动点（不与线段的端点重合），且，连接．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 面积的最小值是1 D. 四边形的面积始终是1 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 长方形相邻两边长分别为x，y，面积为30，则用含x的式子表示y为___________． 12. 下列函数中，属于一次函数的有___________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 13. 把直线向下平移6个单位长度，则得到的直线是___________． 14. 如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，当时，___________（填“>”或“＜”） 15. 正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是___________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：其中． 17. 已知：一次函数． （1）若一次函数的图象过原点，求实数m的值； （2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围． 18. 如图，菱形的对角线相交于点O，F是的中点，过点A作AE∥BD交的延长线于点E．求证：四边形是矩形． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 20. 某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发．该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．已知月用电量（度）与相应电费（元）之间的函数图像如图所示． （1）当时，求与之间的函数关系式； （2）当月用电量为度时，应交电费多少元？ （创新题） 21. 小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． （1）如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； （2）如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题探究】 （1）如图①，在正方形中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，，则线段与长度的大小关系为___________；（填“>”“ <”或“=”） （2）如图②，四边形是矩形，E是上一点，连接，过点C作交于点F，过点F作，连接．若，求证：四边形是平行四边形； 【问题解决】 （3）为响应国家“乡村振兴”号召，李伯伯计划将一块五边形空地开发成农业休闲旅游基地．如图③，，，，，过点D作于点G，过点E作于点F，，，李伯伯将四边形区域设置为休闲区，四边形区域设置为住宿区，△EFD区域设置为餐饮区，为吸引游客，现要沿线段修一条景观水渠，请你求出景观水渠的长． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与和x轴相交于点A，与y轴相交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，若直线与y轴交于点C，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，D是的中点，坐标为，将直线向上平移，使其经过点B，记为直线．若点M为y轴正半轴上一点，点N为直线上一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期 八年级数学第二次月考试卷 （时间：120分钟　满分：120分） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对边平行 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，根据菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.菱形、正方形、矩形的对边相等，故选项A不符合题意； B. 菱形、正方形、矩形的对边平行，故选项B不符合题意； C. 菱形、正方形、矩形的对角线互相平分，的对角线互相 D. 菱形、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，故选项D符合题意； 故选：D． 2. 在中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等，邻角互补是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质可知，，结合，求出的度数，即可得到的度数． 【详解】解：∵在中， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 3. 已知一次函数的图象如图所示，则m、n的取值范围是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象经过第一、二、三象限，即可得出m＞0、n-2＞0，解之即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y=-mx+n-2的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴m＞0，n＞2． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键． 4. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解． 【详解】解：由题意知：被开方数， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0． 5. 如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ） A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量其中的三个角是否都为直角 D. 测量对角线是否相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； B、测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； C、测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意； D、测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意； 故选C． 6. 对于函数（k是常数，）的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 是一条直线 B. 过点 C. y随x的增大而增大 D. 经过一、三象限或二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数（）的图象是直线，当，经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，经过第二、四象限，y随x的增大而减小．根据正比例函数的性质求解． 【详解】解：对于函数（k是常数，）的图象， A、是一条直线，说法正确，故本选项不合题意； B、∵当时，， ∴直线经过点，故本选项不合题意； C、∵， ∴y随x的增大而增大，故本选项不合题意； D、∵， ∴直线经过第一、三象限，不经过二、四象限，故本选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，在中，，点M，N分别是的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 1.2 B. 3 C. 3.5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，三角形中位线的性质，根据含角的直角三角形的特征求出的长，在判断出为的中位线，即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 点M，N分别是的中点， 为的中位线， ， 故选：B． 8. 如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，然后由直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵菱形， ∴，，， ∴由勾股定理，得， ∵E为边的中点， ∴ 故选：B． 【点睛】本考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 9. 若直线与直线相交于x轴上一点，则这两条直线与y轴所围成的三角形的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，两条直线在x轴上相交，先求出交点坐标，再确定参数b的值，接着找到两直线与y轴的交点，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴直线于x轴的交点为， ∵该点也在直线上， 代入得，解得， ∴直线方程为． ∵直线与y轴交点为时，，即． 直线与y轴交点为时，，即． ∴三角形的三个顶点为、和． ∴三角形的； 故选A． 10. 如图，在正方形中，，相交于点O，点E，F分别为边上的动点（不与线段的端点重合），且，连接．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 面积的最小值是1 D. 四边形的面积始终是1 【答案】C 【解析】 【分析】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 利用可证明出，即可判断A；得到，即可得到，即可判B；证明是等腰直角三角形，由的最小值是O到的距离，即可求得的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项C；根据和正方形被对角线将面积四等分，即可判断选项D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 故B正确，不符合题意； ∵ ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， 当时，最小，此时， ∴面积的最小值是，故C错误； ∵， ∴， 故D正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 长方形相邻两边长分别为x，y，面积为30，则用含x的式子表示y为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，熟练掌握长方形的面积公式是解题关键．根据长方形的面积公式可得，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 则用含的式子表示为， 故答案为：． 12. 下列函数中，属于一次函数的有___________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①不属于一次函数； ②属于一次函数； ③不属于一次函数； ④属于一次函数； ⑤，当时，属于一次函数； 属于一次函数的有②④． 故答案为：②④ 13. 把直线向下平移6个单位长度，则得到的直线是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．根据一次函数图象的平移规律：上加下减求解即可得． 【详解】解：把直线向下平移6个单位长度，则得到的直线是，即， 故答案为：． 14. 如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，当时，___________（填“>”或“＜”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据两函数图象及交点坐标，即可解答． 【详解】解：正比例函数和一次函数的图象相交于点， 由图象可知：当时，， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了利用函数图象比较函数值的大小，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 15. 正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标规律探索，解题的关键是总结规律． 根据题意写出前几个点的坐标，总结规律，代入计算即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 同理可得，，，，......，，（为正整数）， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：其中． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，得出，再把代入进行分母有理化，即可作答． 【详解】解：原式 将代入，得 原式． 17. 已知：一次函数． （1）若一次函数的图象过原点，求实数m的值； （2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，求不等式组的解集， 对于（1），由一次项系数非零及一元一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出实数m的值； 对于（2），由一次函数的图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出实数m的取值范围． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象过原点， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得:． 18. 如图，菱形的对角线相交于点O，F是的中点，过点A作AE∥BD交的延长线于点E．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，证明，可得，可得到四边形是平行四边形．再由四边形是菱形，可得，即可求证． 【详解】证明：∵， ， ∵F是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴，即． ∴四边形是矩形． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 四边形是正方形，理由如下： 由（）知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（）证明得，进而得，得到四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）先证四边形是平行四边形，得到，可得，进而得到，即可得，得到，即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发．该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．已知月用电量（度）与相应电费（元）之间的函数图像如图所示． （1）当时，求与之间的函数关系式； （2）当月用电量为度时，应交电费多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（）设与之间的函数关系式为，利用待定系数法解答即可； （）求出时的值即可求解； 本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点和点代入得， ， 解得， ∴当时，与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴应交电费元． （创新题） 21. 小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． （1）如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； （2）如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【小问1详解】 解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， 【小问3详解】 解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题探究】 （1）如图①，在正方形中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，，则线段与长度的大小关系为___________；（填“>”“ <”或“=”） （2）如图②，四边形是矩形，E是上一点，连接，过点C作交于点F，过点F作，连接．若，求证：四边形是平行四边形； 【问题解决】 （3）为响应国家“乡村振兴”号召，李伯伯计划将一块五边形空地开发成农业休闲旅游基地．如图③，，，，，过点D作于点G，过点E作于点F，，，李伯伯将四边形区域设置为休闲区，四边形区域设置为住宿区，△EFD区域设置为餐饮区，为吸引游客，现要沿线段修一条景观水渠，请你求出景观水渠的长． 【答案】（1）=；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及勾股定理的应用． （1）根据正方形的性质得出，根据证明即可得出结论； （2）由矩形性质得，由可得由可得，故可得四边形是平行四边形； （3）证明四边形是正方形，得出，证明得出再根据勾股定理求出即可 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ 故答案为：=； （2）∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴四边形是平行四边形； （3）∵ ∴ ∴四边形是矩形， 又 ∴四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 过点作于点H， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 在中， ∴． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与和x轴相交于点A，与y轴相交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，若直线与y轴交于点C，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，D是的中点，坐标为，将直线向上平移，使其经过点B，记为直线．若点M为y轴正半轴上一点，点N为直线上一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标． 【答案】（1）的解析式为 （2）为等腰三角形，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了待定系数法、一次函数的平移、一次函数与等腰直角三角形、等腰三角形的判定等知识点，掌握函数的相关性质是解题关键． （1）令可得；设直线的解析式为：，将代入即可求解； （2）求出，分别计算即可判断； （3）由题意得直线的解析式为：、；可推出点与点重合，设，根据即可求解； 【小问1详解】 解：令，解得：； ∴ ∵直线与y轴相交于点 设直线的解析式为：； 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 【小问2详解】 解：为等腰三角形，理由如下： 令，可得：； ∴ 则，， ∴ 故为等腰三角形 【小问3详解】 解：如图所示： ∵，D是的中点， ∴ ∵向上平移得到直线． ∴ ∴点与点重合 通过平移可知：直线的解析式为：； 设， ∵ ∴， 解得：或； ∴或 故点N的坐标为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $