河北省石家庄市桥西区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

河北省石家庄市桥西区2024-2025学年（下）七年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.） 1．（3分）据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为（　　） A．8.86×105 B．8.86×106 C．88.6×105 D．88.6×106 2．（3分）已知x＜y，若ax＞ay，则（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1 3．（3分）如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，若∠1+∠2＝80°，则∠2的度数是（　　） A．20° B．40° C．100° D．140° 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣x2）3＝﹣x8 B．（x+y）2＝x2+y2 C．x2•x3＝x5 D．x8÷x2＝x4 5．（3分）用提公因式法因式分解多项式：8a2b﹣12a3b2c，其中的公因式是（　　） A．8a2b B．12a3b2c C．4ab D．4a2b 6．（3分）已知是关于x，y的二元一次方程ax﹣by＝3的解，则2a+4b的值是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 7．（3分）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点C，依据是（　　） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 8．（3分）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 9．（3分）语句“a的与b的3倍的差的平方是一个非负数”可以表示为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，在直角三角尺ABC和PMN中，∠ACB＝∠MPN＝90°，∠B＝30°，∠PMN＝45°，边AC与边MN都在直线a上，将△ABC向左平移到△A′B′C′的位置，当B′A′经过点P时，∠MPB′＝（　　） A．115° B．125° C．150° D．165° 11．（3分）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（　　） A．7 B．10 C．11 D．14 12．（3分）三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形称为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上任取一点A，过点A作AB⊥OM于点A，交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（其中0°＜∠OAC＜90°）． ①∠ABO的度数为30°； ②△AOB是“灵动三角形”； ③若∠BAC＝70°，则△AOC是“灵动三角形”； ④当△ABC为“灵动三角形”时，则满足条件的∠OAC的值有4个． 以上结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.） 13．（3分）关于x的不等式x﹣6＞0的解集为　 　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝12，则△BEC面积＝ 　 　 ． 15．（3分）如图，在△ABC中，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，使点A落在点A′处．若∠A′＝30°，∠B＝120°，则∠A′MB＝ 　 　 °． 16．（3分）如图1，在△ABC内部任取一点P1，则图中互不重叠的所有角的和是540°；在图1中的任一小三角形内任取一点P2（如图2），则图中互不重叠的所有角的和是900°．以此类推，当取到点Pn时，图中互不重叠的所有角的和是 　 　 （用含n的代数式表示）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.） 17．（7分）把下列各式因式分解． （1）a3﹣4a； （2）x2y﹣6xy+9y． 18．（8分）在学习“解一元一次不等式”时，小明的解答过程如下： 解：去分母得：2（x﹣1）﹣3x﹣2＜1① 去括号得：2x﹣2﹣3x﹣2＜1② 移项得：2x﹣3x＜1+2+2③ 合并同类项得：﹣x＜5④ 两边都除以﹣1得：x＜﹣5⑤ （1）上面的解答过程是从第几步出现错误的？ （2）请写出正确的解答过程，并把解集表示在数轴上． 19．（8分）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在AC的延长线上，连接DE交BC于点O．若∠A＝50°，∠D＝25°． （1）求∠BEO的度数； （2）若∠COD＝70°，求∠B的度数． 20．（8分）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路． （1）求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） （2）若a＝4，b＝2，求这两条小路的总面积． 21．（9分）【概念认识】 如图①，在∠ABC内，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BE是“邻BC三分线”，则∠EBC＝ 　 　 °； （2）如图②，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝72°，若∠C的“邻AC三分线”CM交AB于点D，则∠BDC＝ 　 　 °； （3）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的“邻BC三分线”，且∠BPC＝138°，求∠A的度数． 22．（9分）现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张，已知甲卡片是边长为a的正方形，乙卡片是宽为1，长为a的长方形，丙卡片是边长为1的正方形，如图1所示（a＞1）．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为S1，S2． （1）请用含a的式子分别表示S1＝ 　 　 ，S2＝ 　 　 ； （2）当a＝3时，分别求S1，S2的值； （3）比较S1与S2的大小，并说明理由． 23．（11分）为进一步提升摩托车和电动自行车骑乘人员的安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价如表所示． A种头盔 B种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1）该商店第一次批发两种头盔共120个，用去5600元，求A，B两种头盔各批发了多少个？ （2）该商店第二次仍然批发这两种头盔共200个进行销售（批发价和零售价不变），若将两次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于3960元，求A种头盔第二次最少采购多少个？ 24．（12分）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ． （1）如图①，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ＝25°，则∠BDN的度数为　 　 ； （2）如图②，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若FE平分∠DFP，则DE是否平分∠MDF？请说明理由． （3）小明将三角板ABC与三角板DEF按如图③所示方式摆放，点C与点F重合，求∠FAM的度数． 2024-2025学年河北省石家庄市桥西区七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A B C D B B A A D B 题号 12 答案 C 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.） 1．（3分）据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为（　　） A．8.86×105 B．8.86×106 C．88.6×105 D．88.6×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：886000＝8.86×105． 故选：A． 【点评】本题考查了用科学记数法表示较大的数．掌握用科学记数法表示较大数的方法是解决本题的关键． 2．（3分）已知x＜y，若ax＞ay，则（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1 【分析】根据不等式的基本性质解答即可． 【解答】解：∵x＜y，ax＞ay， ∴a＜0． 故选：A． 【点评】本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 3．（3分）如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，若∠1+∠2＝80°，则∠2的度数是（　　） A．20° B．40° C．100° D．140° 【分析】根据对顶角的性质和已知条件求出∠2即可． 【解答】解：∵a与b相交， ∴∠1＝∠2， ∵∠1+∠2＝80°， ∴∠1＝∠2＝40°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了对顶角和邻补角，解题关键是熟练掌握对顶角和邻补角的性质． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣x2）3＝﹣x8 B．（x+y）2＝x2+y2 C．x2•x3＝x5 D．x8÷x2＝x4 【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、（﹣x2）3＝﹣x6，故此选项不符合题意； B、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项不符合题意； C、x2•x3＝x5，故此选项符合题意； D、x8÷x2＝x6，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（3分）用提公因式法因式分解多项式：8a2b﹣12a3b2c，其中的公因式是（　　） A．8a2b B．12a3b2c C．4ab D．4a2b 【分析】根据公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母并且取相同字母的最低指数次幂，即可得到答案． 【解答】解：8a2b﹣12a3b2c ＝4a2b×2﹣4a2b×3abc ＝4a2b（2﹣3abc）， 故选：D． 【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，找出各项的公因式是解本题的关键． 6．（3分）已知是关于x，y的二元一次方程ax﹣by＝3的解，则2a+4b的值是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【分析】把代入方程，得出关于a、b的方程a﹣2b＝3，再根据方程中未知数的系数特点解答即可． 【解答】解：把代入方程ax﹣by＝3， 得：a+2b＝3， 2a+4b＝2（a+2b）＝2×3＝6， 故选：B． 【点评】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键． 7．（3分）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点C，依据是（　　） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 【分析】根据“垂线段最短”进行分析判断即可． 【解答】解：根据题意得：在连接超市O和公路AD上的四点A、B、C、D的连线中，只有OC⊥AD， ∴为了使超市距离车站最近，车站应该修建在C点处． 依据是垂线段最短． 故选：B． 【点评】本题考查了垂线段最短，熟知“在连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”是解题的关键． 8．（3分）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 【分析】由题意得：8×2a＝（2b）8，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【解答】解：由题意得：8×2a＝（2b）8， ∴23×2a＝28b， ∴3+a＝8b， 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．（3分）语句“a的与b的3倍的差的平方是一个非负数”可以表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“a的与b的3倍的差的平方是一个非负数”，即可列出不等式，此题得解． 【解答】解：根据题意得：（a﹣3b）2≥0． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式、有理数的乘方以及非负性的性质：偶次方，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键． 10．（3分）如图，在直角三角尺ABC和PMN中，∠ACB＝∠MPN＝90°，∠B＝30°，∠PMN＝45°，边AC与边MN都在直线a上，将△ABC向左平移到△A′B′C′的位置，当B′A′经过点P时，∠MPB′＝（　　） A．115° B．125° C．150° D．165° 【分析】根据平移的性质和三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】解：∵∠ACB＝∠MPN＝90°，∠B＝30°，∠PMN＝45°， ∴∠BAC＝60°， ∵将△ABC向左平移到△A′B′C′的位置， ∴∠B′A′C′＝∠BAC＝60°， ∵∠PMN＝45°， ∴∠A′PM＝∠PA′N﹣∠PMN＝15°， ∴∠MPB′＝180°﹣15°＝165°， 故选：D． 【点评】本题考查了平移的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 11．（3分）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（　　） A．7 B．10 C．11 D．14 【分析】根据三角形的三边关系即可得到结论． 【解答】解：∵其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8， ∴任意两颗螺丝的距离的最大值是4+6＝10， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 12．（3分）三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形称为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上任取一点A，过点A作AB⊥OM于点A，交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（其中0°＜∠OAC＜90°）． ①∠ABO的度数为30°； ②△AOB是“灵动三角形”； ③若∠BAC＝70°，则△AOC是“灵动三角形”； ④当△ABC为“灵动三角形”时，则满足条件的∠OAC的值有4个． 以上结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据新定义，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系，逐一计算判定即可． 【解答】解：∵∠MON＝60°，AB⊥OM， ∴∠ABO＝30°， 故①正确； ∵∠BAO＝90°＝3∠ABO＝3×30°， ∴△AOB是“灵动三角形”， 故②正确； ∵∠ABO＝30°，∠BAC＝70° ∴∠ACO＝70°+30°＝100°，∠OAC＝90°﹣70°＝20°， ∴∠AOC＝60°， ∵∠AOC＝3∠OAC＝3×20°， ∴△AOC是“灵动三角形”， 故③正确； ∵△ABC为“灵动三角形”，∠ABO＝30°，0°＜∠OAC＜90°，分三种情况讨论： 当∠ACB＝3∠ABC时，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝60°， ∴∠OAC＝30°； 当∠ABC＝3∠BAC时，∠BAC＝10°， ∴∠OAC＝80°； 当∠ACB＝3∠BAC时， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， 即4∠BAC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣30°＝150°， ∴∠BAC＝37.5°， ∴∠OAC＝52.5°， 综上所述，满足条件的∠OAC的值有3个， 故④错误， 故选：C． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，理解题意，熟记三角形的内角和定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.） 13．（3分）关于x的不等式x﹣6＞0的解集为　x＞6　 ． 【分析】直接移项即可得出不等式的解集． 【解答】解：x﹣6＞0， 移项得，x＞6． 故答案为：x＞6． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 14．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝12，则△BEC面积＝ 　6　 ． 【分析】根据“同高的两个三角形，面积之比等于底边长之比”计算即可． 【解答】解：∵点D是BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC， ∵点D是AD的中点， ∴S△BDE＝S△ABD＝S△ABC，S△CDE＝S△ACD＝S△ABC， ∴S△BCE＝S△BDE+S△CDE＝S△ABC+S△ABC＝S△ABC＝×12＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，面积之比等于底边长之比”是解题的关键． 15．（3分）如图，在△ABC中，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，使点A落在点A′处．若∠A′＝30°，∠B＝120°，则∠A′MB＝ 　60　 °． 【分析】由由折叠的性质和平行线的性质即可解答题目． 【解答】解：∵MN∥BC，∠B＝120°， ∴∠AMN＝∠B＝120°，∠BMN＝180°﹣∠B＝60°， 由折叠可得，∠A′MN＝∠AMN＝120°， ∴∠A′MB＝∠A′MN﹣∠BMN＝120°﹣60°＝60°， 故答案为：60． 【点评】本题主要考查了折叠问题以及平行线的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 16．（3分）如图1，在△ABC内部任取一点P1，则图中互不重叠的所有角的和是540°；在图1中的任一小三角形内任取一点P2（如图2），则图中互不重叠的所有角的和是900°．以此类推，当取到点Pn时，图中互不重叠的所有角的和是 　（2n+1）×180°　 （用含n的代数式表示）． 【分析】根据图形中当点的个数增加时，三角形个数的变化规律即可得结论． 【解答】解：在图1中的任一小三角形内任取一点P1（如图1），则图中互补重叠的所有角的和是三个三角形内角的和即：3x180°＝540°， 在图1中的任一小三角形内任取一点P2（如图2），△ABC内的点的个数是2，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5，则图中互不重叠的所有角的和是5×180°＝900°， 当△ABC内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3，当△ABC内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5，以此类推，得到当△ABC内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7，当△ABC内的点的个数是n时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1．当取到点P时，图中互不重叠的所有角的和是（2n+1）×180°， 故答案为：（2n+1）×180°． 【点评】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.） 17．（7分）把下列各式因式分解． （1）a3﹣4a； （2）x2y﹣6xy+9y． 【分析】（1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣4） ＝a（a+2）（a﹣2）； （2）原式＝y（x2﹣6x+9） ＝y（x﹣3）2． 【点评】本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 18．（8分）在学习“解一元一次不等式”时，小明的解答过程如下： 解：去分母得：2（x﹣1）﹣3x﹣2＜1① 去括号得：2x﹣2﹣3x﹣2＜1② 移项得：2x﹣3x＜1+2+2③ 合并同类项得：﹣x＜5④ 两边都除以﹣1得：x＜﹣5⑤ （1）上面的解答过程是从第几步出现错误的？ （2）请写出正确的解答过程，并把解集表示在数轴上． 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤和方法逐步分析即可； （2）利用解一元一次不等式方法求出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）上面的解答过程是从第①步出现错误的； （2）， 解：去分母得：2（x﹣1）﹣3x+2＜8， 去括号得：2x﹣2﹣3x+2＜8， 移项得：2x﹣3x＜8﹣2+2， 合并同类项得：﹣x＜8， 两边都除以﹣1得：x＞﹣8， 把解集表示在数轴上如下： ． 【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的方法是关键． 19．（8分）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在AC的延长线上，连接DE交BC于点O．若∠A＝50°，∠D＝25°． （1）求∠BEO的度数； （2）若∠COD＝70°，求∠B的度数． 【分析】（1）在△ADE中，由三角形内角和定理得∠AED＝105°，进而可得∠BEO的度数； （2）根据对顶角相等得∠BOE＝∠COD＝70°，在△BOE中，由三角形内角和定理即可得出∠B的度数． 【解答】解：（1）在△ADE中，∠A＝50°，∠D＝25°， ∴∠AED＝180°﹣（∠A+∠D）＝105°， ∴∠BEO＝180°﹣∠AED＝75°； （2）∵∠COD＝70°， ∴∠BOE＝∠COD＝70°， 由（1）可知：∠BEO＝75°， 在△BOE中，∠B＝180°﹣（∠BOE+∠BEO）＝180°﹣（70°+75°）＝35°． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，对顶角的性质，理解对顶角相等，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 20．（8分）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路． （1）求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） （2）若a＝4，b＝2，求这两条小路的总面积． 【分析】（1）根据题意及图形列式为b（3a+2b）+b（2a+b）﹣b2，将其计算并化简即可； （2）将已知数值代入化简结果中计算即可． 【解答】解：（1）b（3a+2b）+b（2a+b）﹣b2 ＝3ab+2b2+2ab+b2﹣b2 ＝（2b2+5ab）（平方米）， 即这两条小路的总面积为（2b2+5ab）平方米； （2）当a＝4，b＝2时， 2b2+5ab ＝2×22+5×4×2 ＝8+40 ＝48， 即此时这两条小路的总面积为48平方米． 【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 21．（9分）【概念认识】 如图①，在∠ABC内，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BE是“邻BC三分线”，则∠EBC＝ 　20　 °； （2）如图②，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝72°，若∠C的“邻AC三分线”CM交AB于点D，则∠BDC＝ 　84　 °； （3）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的“邻BC三分线”，且∠BPC＝138°，求∠A的度数． 【分析】（1）由BE是“邻BC三分线”，即可求出∠EBC的度数； （2）由CD是“邻AC三分线”，求出∠ACD＝24°，由三角形的外角性质得到∠BDC＝∠A+∠ACD＝84°； （3）由三角形内角和定理求出∠PBC+∠DCB＝42°，由角的“三分线”定义得到∠PBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝42°求出∠ABC+∠ACB＝126°，由三角形内角和定理即可求出∠A的度数． 【解答】解：（1）如图①，∵BE是“邻BC三分线”， ∴∠EBC＝∠ABC＝×60°＝20°， 故答案为：20； （2）如图②，∵CD是“邻AC三分线”， ∴∠ACD＝∠ACB＝×72°＝24°， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°+24°＝84°． 故答案为：84． （3）如图③，∵∠BPC＝138°， ∴∠PBC+∠DCB＝180°﹣138°＝42°， ∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的“邻BC三分线”， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∴∠PBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝42°， ∴∠ABC+∠ACB＝126°， ∴∠A＝180°﹣126°＝54°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，关键是应用角的“三分线”定义来解决问题． 22．（9分）现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张，已知甲卡片是边长为a的正方形，乙卡片是宽为1，长为a的长方形，丙卡片是边长为1的正方形，如图1所示（a＞1）．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为S1，S2． （1）请用含a的式子分别表示S1＝ 　a2+3a+2　 ，S2＝ 　5a+1　 ； （2）当a＝3时，分别求S1，S2的值； （3）比较S1与S2的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据矩形的面积公式求解； （2）把a＝3代入（1）式即可； （3）根据作差法比较大小． 【解答】解：（1）S1＝a2+3a+2，S2＝5a+1； 故答案为：a2+3a+2，5a+1； （2）当a＝3时，S1＝32+3×3+2＝20； S2＝5×3+1＝16； （3）S1＞S2； 理由：∵S1﹣S2＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2， ∵a＞1， ∴a﹣1≠0， ∴（a﹣1）2＞0， ∴S1＞S2． 【点评】本题考查了列代数式和代数式求值，掌握矩形的面积公式是解题的关键． 23．（11分）为进一步提升摩托车和电动自行车骑乘人员的安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价如表所示． A种头盔 B种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1）该商店第一次批发两种头盔共120个，用去5600元，求A，B两种头盔各批发了多少个？ （2）该商店第二次仍然批发这两种头盔共200个进行销售（批发价和零售价不变），若将两次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于3960元，求A种头盔第二次最少采购多少个？ 【分析】（1）设A种头盔批发了x个，则B种头盔批发了（120﹣x）个，根据批发价和用去5600元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设该商店第二次采购了m个A种头盔，则采购了（200﹣m）个B种头盔，根据将两次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于3960元，结合批发价和零售价，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设A种头盔批发了x个，则B种头盔批发了（120﹣x）个， 由题意得：60x+40（120﹣x）＝5600， 解得：x＝40， ∴120﹣x＝120﹣40＝80， 答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个； （2）设该商店第二次采购了m个A种头盔，则采购了（200﹣m）个B种头盔， 由题意得：（80﹣60）（40+m）+（50﹣40）（80+200﹣m）≥3960， 解得：m≥36， 答：A种头盔第二次最少采购36个． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． 24．（12分）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ． （1）如图①，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ＝25°，则∠BDN的度数为　25°　 ； （2）如图②，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若FE平分∠DFP，则DE是否平分∠MDF？请说明理由． （3）小明将三角板ABC与三角板DEF按如图③所示方式摆放，点C与点F重合，求∠FAM的度数． 【分析】（1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）根据角平分线的定义求出∠PFD，再根据平行线的性质求出∠MDF，最后根据角平分线的定义判定DE是否平分∠MDF即可； （3）过F作FG∥DE，根据平行线的性质求出∠GFD，从而求得∠AFG，再根据平行线的性质求出∠NAF，最后根据补角的定义求出∠MAF即可． 【解答】解：（1）∵MN∥PQ， ∴∠BDN＝∠BAQ＝25°； 故答案为：25°； （2）平分，理由如下： ∵EF平分∠PFD， ∴∠PFE＝∠DFE＝60°， ∴∠PFD＝120°， ∵MN∥PQ， ∴∠MDF＝180°﹣∠PFD＝60°， ∵∠EDF＝30°， ∴∠MDE＝∠MDF﹣∠EDF＝30°， ∴∠MDE＝∠EDF， ∴DE平分∠MDF； （3）过F作FG∥DE，如图： ∴∠GFD＝∠FDE＝30°， ∴∠AFG＝∠AFB﹣∠GFD＝15°， ∵MN∥PQ， ∴GF∥MN， ∴∠NAF＝∠AFG＝15°， ∴∠FAM＝180°﹣∠NAF＝165°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角的计算，根据角之间的数量关系求解是本题解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$