与二次函数相关的参数问题专练-2026届高三数学一轮复习

黄金考点06 与二次函数相关的参数问题（考点闯关晋级练） （2024高三·全国·专题练习） 1．已知函数的图象在x轴上方，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2024高三·全国·专题练习） 3．若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A．(－，＋∞) B．[－，＋∞) C．[－，0) D．[－，0] （2024·陕西渭南·二模） 4．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． （24-25高三上·山东威海·期末） 5．已知函数，若对，且，都有，则（    ） A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习） 6．若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . （2025高三·全国·专题练习） 7．若函数的最小值在内取得，则实数a的取值范围为 . （2025·广东揭阳·三模） 8．已知函数在处的切线方程为，则的最小值为 . （2024·陕西宝鸡·模拟预测） 9．已知样本，的平均数为10，则该样本方差的最小值为 ． （2025·广东茂名·二模） 10．已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2025·安徽·三模） 11．设A为椭圆上一点，，则当最小时，点A的横坐标为（   ） A． B．0 C．1 D．2 （2025·广东·模拟预测） 12．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2025·贵州黔南·三模） 13．设函数，当时，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． （2024高三·全国·专题练习） 14．已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （24-25高三下·广东深圳·阶段练习） 15．已知是双曲线的左顶点，是该双曲线的右焦点，圆经过与点，则该双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长最小为（    ） A．8 B． C． D． （24-25高三下·河南周口·阶段练习） 16．已知，是半径为2的圆上的两点，动点满足，则的最小值为（   ） A． B． C．－1 D．－2 （2025·湖南长沙·模拟预测） 17．若关于的方程在上有个实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2018·浙江·高考真题） 18．已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． （2024·浙江温州·模拟预测） 19．给定定点，对任意可能的，及函数的图象上的任意可能的点，的最小值是 . （2025高三·全国·专题练习） 20．函数的最大值为1，最小值为，则 . （2025·北京·二模） 21．已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2025·北京昌平·二模） 22．已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C．（，1） D． （24-25高三·上海·课堂例题） 23．已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 ． （2024高三·全国·专题练习） 24．已知函数在区间上有最大值2和最小值1. (1)求的值； (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （2025高三·全国·专题练习） 25．已知函数，求函数在闭区间上的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄金考点06 与二次函数相关的参数问题（考点闯关晋级练） （2024高三·全国·专题练习） 1．已知函数的图象在x轴上方，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次函数的图象得出二次项系数的正负和根的判别式的符号，可得选项. 【详解】当时，成立， 当，解得．综上可得 故选：B 2．若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得. 【详解】令函数，显然在上单调递减，， 因为任意，不等式恒成立，于是， 所以. 故选：A （2024高三·全国·专题练习） 3．若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A．(－，＋∞) B．[－，＋∞) C．[－，0) D．[－，0] 【答案】D 【详解】 当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，得－≤a<0.综上，得－≤a≤0. （2024·陕西渭南·二模） 4．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得. 【详解】由是上的增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B （24-25高三上·山东威海·期末） 5．已知函数，若对，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知及单调性定义知在上单调递减，根据复合函数的单调性有在上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，，且，都有， 所以在上单调递减，易知在上单调递减， 当时，满足题设， 当时，或， 综上，. 故选：A （2025高三·全国·专题练习） 6．若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： （2025高三·全国·专题练习） 7．若函数的最小值在内取得，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二次函数性质结合最小值计算求参. 【详解】时函数取得最小值， 所以由的最小值在内取得，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. （2025·广东揭阳·三模） 8．已知函数在处的切线方程为，则的最小值为 . 【答案】## 【分析】先由切线斜率和导函数求出参数b，进而得切点，再将切点代入函数式即可求出参数c即可进一步计算得解. 【详解】已知在处的切线斜率为5，而， 所以，解得，所以， 所以切点为，代入可得， 所以，故其最小值为. 故答案为：. （2024·陕西宝鸡·模拟预测） 9．已知样本，的平均数为10，则该样本方差的最小值为 ． 【答案】## 【分析】根据平均数可求的关系，再结合二次函数可求方差的最小值. 【详解】由题设有即， 故样本方差， 故，当且仅当时等号成立， 故样本方差的最小值为， 故答案为：. （2025·广东茂名·二模） 10．已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【详解】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. （2025·安徽·三模） 11．设A为椭圆上一点，，则当最小时，点A的横坐标为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】设点，由两点间的距离公式表示出，结合在椭圆和二次函数的性质即可得出答案. 【详解】设点，，则， 因为在椭圆上，所以，则， 将代入，得， 当时，取得最小值，即取得最小值． 故选：C. （2025·广东·模拟预测） 12．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即得参数范围. 【详解】因为在上单调递增，由函数在上单调递增， 可得在上单调递增且恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. （2025·贵州黔南·三模） 13．设函数，当时，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分类讨论去绝对值，画出函数的大致图象，结合二次函数的性质进行分析即可求解. 【详解】， 即， 当时，函数的大致图象如图， 当时，，所以，又，得； 当时，函数的大致图象如图， 当时，， 所以，又，得， 综上：. 故选：D. （2024高三·全国·专题练习） 14．已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用二次函数的单调性性质可解. 【详解】二次函数图象的对称轴为直线， ∵对于任意且，都有， 即在区间上是单调函数， ∴或， ∴或，即实数a的取值范围为． 故选：C． （24-25高三下·广东深圳·阶段练习） 15．已知是双曲线的左顶点，是该双曲线的右焦点，圆经过与点，则该双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长最小为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用已知得出，再设圆心坐标，结合几何法求出弦长最后应用二次函数的最值计算即可. 【详解】因为，所以， 可得双曲线的一条渐近线方程为，即， 由圆心在垂直平分线上可设，则圆的半径的平方为， 圆心到直线的距离为， 则截得的弦长一半的平方为， 当且仅当时成立，所以弦长最小值为. 故选：B. （24-25高三下·河南周口·阶段练习） 16．已知，是半径为2的圆上的两点，动点满足，则的最小值为（   ） A． B． C．－1 D．－2 【答案】B 【分析】作出示意图可知最小时，需且与共线反向，据此计算可求最小值. 【详解】作出示意图如图所示，当向量确定时，要使最小， 由图形可知，此时只需且与共线反向即可， 连接，则与共线反向时，最小， 设，则 ， 当时，的最小值为. 故选：B. （2025·湖南长沙·模拟预测） 17．若关于的方程在上有个实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原方程化为，令，则，所以，令，，则，分、两种情况，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】原方程可化为. 令，则，所以. 令，， 又在上单调递减，所以，则. 当时，，此时在只有个实根，不符合条件； 当时，，此时在有个实根，符合条件， 故选：A. （2018·浙江·高考真题） 18．已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． 【答案】 (1,4) 【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围. 详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是 当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． （2024·浙江温州·模拟预测） 19．给定定点，对任意可能的，及函数的图象上的任意可能的点，的最小值是 . 【答案】## 【分析】先证明，然后给出，，说明等号可以取得即可. 【详解】设，则. . 从而无论怎样都有，即. 当且仅当时，有，此时. 所以的最小值是. 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习） 20．函数的最大值为1，最小值为，则 . 【答案】## 【分析】由题意得，令，，求出对称轴，对分，，和讨论最值即可求解. 【详解】， 令，，对称轴方程为， ①当时，，， 解得，， ②当时，，， 解得，， ③当时，，， 即或，无满足条件的解， 综上，. 故答案为：. （2025·北京·二模） 21．已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先考虑，，求出，再考虑，此时，根据对称轴分三种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求出的取值范围. 【详解】若，即， 此时，满足要求； 若，则， 此时， 故恒成立， 其中，故； 若且，即， 此时 ，对称轴为， 若，此时在上单调递增， 故只需，即，解得，故； 若，此时在上单调递减， 在上单调递增， 故，令，解得， 与取交集得， 若，此时在上单调递减， 故只需，即，解得， 与取交集得； 综上，实数的取值范围为. 故选：B （2025·北京昌平·二模） 22．已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C．（，1） D． 【答案】B 【分析】将函数解析式化为分段函数，分、和三种情况讨论，结合函数的单调性，求出特殊点处的函数值，即可得到不等式组，从而确定的取值范围. 【详解】因为， 若时，，则有且仅有一个零点，不符合题意； 若，当时，， 则在上单调递增，且， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 要使恰有三个零点，则，解得； 若，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，， 所以在上单调递增，且， 要使恰有三个零点，则，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故选：B （24-25高三·上海·课堂例题） 23．已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，，，得，构造函数，所以函数在上的增函数，对实数分类讨论即可； 【详解】因为对于任意，，， 所以，即， 构造函数，则， 所以函数在上的增函数， 当时，函数是上的增函数，符合题意； 当时，函数图象的对称轴为直线， 当时，要使得函数是上的增函数，只需要符合题意； 当时，要使得函数是上的减函数，只需要. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：由，构造新函数是解题的关键. （2024高三·全国·专题练习） 24．已知函数在区间上有最大值2和最小值1. (1)求的值； (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2). 【分析】（1）将函数配方，根据抛物线开口方向分类讨论函数单调性，依题意列出方程组，计算即得； （2）将函数式代入，再利用参变分离法，将其转化为求函数的最小值问题即得. 【详解】（1）由已知可得. 当时，在上为增函数，所以，解得； 当时，在上为减函数，所以，解得. 由于，所以. （2）由（1）知， 所以在上恒成立，即， 因为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当时取等号. 所以，即. 即实数的范围为. （2025高三·全国·专题练习） 25．已知函数，求函数在闭区间上的最大值． 【答案】 【分析】先化简函数，且对称轴为，接下来分类讨论对称轴的位置，从而求得最大值. 【详解】题意得， 函数与的对称轴均为，均过点， ①当时，，在上，单调递增，． 当时，，由对称性 在上单调递减，在上单调递增． ⅰ）当时，，因此，在上，． ⅱ）当时，，因此，在上，． ②当时，在上，单调递增． 在[0，2]上，单调递增，且均有， 因此在上单调递增，故． ③当，即时，在上单调递减，在[0，2]上单调递增， 的最大值是与中的较大者．． 当时，，因此． ④当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，在[0，2]上单调递增， 的最大值是与中的较大者． ． 令，即， 解得或． ∵，∴不存在． 即当时，恒成立， ∴．故此时． 综上， 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$