一元二次方程、不等式专练-2026届高三数学一轮复习

黄金考点05 一元二次方程、不等式（考点闯关晋级练） （2020·山东·高考真题） 1．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． （2024·河南周口·一模） 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习） 3．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． （2024·天津·模拟预测） 4．已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 （2025·黑龙江大庆·模拟预测） 5．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2025·海南·模拟预测） 6．若集合，则（   ） A． B． C． D． （2025·河南·模拟预测） 7． 设，使不等式成立的的取值范围为 . （2025·上海黄浦·三模） 8．不等式的解集为 ． （24-25高三上·上海浦东新·期中） 9．若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是 . 10．已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . （2025·河北保定·二模） 11．已知集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 （2025·陕西咸阳·二模） 12．已知集合，，则下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． （2025·江西·三模） 13．已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2024·江苏宿迁·三模） 14．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2025·浙江·三模） 15．“”是“函数的值域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2024上·云南德宏·高三统考期末） 16．已知样本数据为1，a，b，7，9，且a、b是方程的两根，则这组样本数据的方差是 . （2025·上海·模拟预测） 17． 的解集为 ，则 的解集为 ． （2025高三·全国·专题练习） 18．已知向量，，对任意的，恒有，则 ． 19．已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． （2025高三·全国·专题练习） 20．若方程的两根满足一正一负，求出实数的取值范围． （25-26高三上·贵州·阶段练习） 21．已知，则“”是“方程”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2025·辽宁鞍山·一模） 22．已知函数，恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 23．已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． （2025·上海徐汇·二模） 24．已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. （2024高三上·河北邢台·阶段练习） 25．已知函数，且. (1)求a的值； (2)当时，恒成立，求m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄金考点05 一元二次方程、不等式（考点闯关晋级练） （2020·山东·高考真题） 1．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可根据图像得出结果. 【详解】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. （2024·河南周口·一模） 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式化简集合A，B，再求集合A，B的交集与并集，结合选项可得答案. 【详解】因为集合，， 所以，. 故选：A （2025高三·全国·专题练习） 3．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式化简集合，再根据Venn图和集合交集、补集的概念求解即可. 【详解】由，解得， 所以， 又因为，所以，图中阴影部分表示的集合为， 故选：A （2024·天津·模拟预测） 4．已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断. 【详解】由得， 由得， 则是的必要不充分条件. 故选：B. （2025·黑龙江大庆·模拟预测） 5．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：. （2025·海南·模拟预测） 6．若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解对数不等式求出集合，再由交集运算可得结果. 【详解】由题意可得， 解得或，即或； 又，可得. 故选：B （2025·河南·模拟预测） 7． 设，使不等式成立的的取值范围为 . 【答案】 【分析】通过因式分解，解不等式． 【详解】， 即， 即， 故的取值范围是． 【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． （2025·上海黄浦·三模） 8．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】应用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集. 【详解】由题设，而， 所以，则，即解集为. 故答案为： （24-25高三上·上海浦东新·期中） 9．若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系列不等式组求参数范围. 【详解】由题设，即实数的取值范围是. 故答案为： 10．已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出p和q对应的等价条件，再结合是的充分不必要条件得到集合间的包含关系，则参数m的范围可求. 【详解】由可得，即， 由可得，即， 又因为是的充分不必要条件，所以， 所以(等号不同时成立)，解得， 故答案为：. （2025·河北保定·二模） 11．已知集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求得集合，然后求出它们的交集，即可确定子集个数. 【详解】由题得， ， 所以，其子集的个数为． 故选：A （2025·陕西咸阳·二模） 12．已知集合，，则下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得和或，结合集合的运算，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得，解得，所以， 又由，解得或，所以或， 则，，且，， 故选：D. （2025·江西·三模） 13．已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求得集合，由已知可得，进而可求得的取值范围. 【详解】由，可得，解得，所以， 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 故选：A. （2024·江苏宿迁·三模） 14．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式可得集合，再由补集和子集的运算可得实数的取值范围. 【详解】因为或， 所以或， 所以， 又，且， 所以， 所以实数的取值范围为， 故选：D. （2025·浙江·三模） 15．“”是“函数的值域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】验证充分性，当时，，所以函数的值域为R，即具有充分性；再验证必要性，若函数的值域为R，则对于二次函数，其判别式非负，由此可解得，可得答案. 【详解】若，因为，所以函数的定义域为， 故，所以函数的值域为R， 即“”是“函数的值域为R”的充分条件； 若函数的值域为R，则对于二次函数，其值域包含， 即，解得或， 即“”不是“函数的值域为R”的必要条件， 综上，“”是“函数的值域为R”的充分不必要条件， 故选：A. （2024上·云南德宏·高三统考期末） 16．已知样本数据为1，a，b，7，9，且a、b是方程的两根，则这组样本数据的方差是 . 【答案】8 【分析】由求出，利用方差公式即可求. 【详解】由可得或， 因为a、b是方程的两根， 不妨设，， 所以样本平均数为， 故样本方差为：. 故答案为：8 （2025·上海·模拟预测） 17． 的解集为 ，则 的解集为 ． 【答案】 【分析】由不等式 的解集为 ，可得到且,代入一元二次不等式求解即可. 【详解】由题干知，不等式 的解集为 ， 可得到，代入一元二次不等式得 ， 由于，所以，即 . 故答案为： 【点睛】 （2025高三·全国·专题练习） 18．已知向量，，对任意的，恒有，则 ． 【答案】0 【分析】利用平面向量的数量积将模的运算转化为数量积运算，即，得到对任意恒成立，进而，化简得，从而求得结果. 【详解】由得， 所以， 所以对任意恒成立， 所以，即， 所以，所以，所以． 19．已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】分析函数的性质，借助函数单调性和代入求解不等式作答. 【详解】当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，是增函数，且， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，而， 则当，即时，恒有成立，则， 当时，，不等式化为，解得，则， 所以不等式的解集为. 故答案为： （2025高三·全国·专题练习） 20．若方程的两根满足一正一负，求出实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系即可求得结果. 【详解】设两根为，由题意，得 ，即,故,解得． 故实数的取值范围为． （25-26高三上·贵州·阶段练习） 21．已知，则“”是“方程”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出不等式及方程的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式解集为，而， 当且仅当，即时取等号，因此方程的解集为， 又是的真子集，所以“”是“方程”的充分不必要条件. 故选：B （2025·辽宁鞍山·一模） 22．已知函数，恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意在上恒成立，记，按照、、、和分类讨论，根据导数判断单调性，然后利用最小值大于等于0列不等式求解参数范围即可. 【详解】因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 记，则， 当时，，所以在单调递增，显然成立； 当时，，所以在单调递增， 则，化简得， 即，所以，所以； 当时，， 若即，令得或， 令得， 所以在和单调递增，在上单调递减， 又，显然不满足恒成立； 若即，令得， 令得， 所以在单调递增，在上单调递减， 又，显然不满足恒成立； 若即，，所以在单调递增， 则，化简得， 即，所以，所以； 综上，的取值范围为. 故选：D 23．已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，原题意化为对恒成立，利用二次函数性质列不等式组，解一元二次不等式组即可． 【详解】设， 则不等式对满足的一切实数m恒成立 对恒成立． 当时， 即解得 故x的取值范围是． 故答案为： （2025·上海徐汇·二模） 24．已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由在单调递增，得即可求解； （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，即在上恰有一个实数解，令，则在上恰有一个实数解，利用数形结合即可求解. 【详解】（1）由函数在单调递增， 所以 （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则在上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . （2024高三上·河北邢台·阶段练习） 25．已知函数，且. (1)求a的值； (2)当时，恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据，即可由对数运算代入求解. （2）根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以, 因为，所以， 则. （2）由（1）可知，等价于. 令，则， 原不等式等价于在上恒成立， 则，解得， 故m的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$