等式性质与不等式性质专练-2026届高三数学一轮复习

黄金考点03 等式性质与不等式性质（考点闯关晋级练） （2024·天津·高考真题） 1．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. （2017·山东·高考真题） 2．若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且，所以 设，则，所以单调递增， 所以 ，所以选B. 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断. （2024·江苏南通·模拟预测） 3．设实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意进行转化，利用完全平方式的性质即可得解. 【详解】由可得： ， 当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B （24-25高三上·广东肇庆·阶段练习） 4．已知，比较a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在上单调递增比较和的大小，根据和的大小比较和的大小，根据在上单调递减比较与的大小，根据与的大小比较和的大小. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以， 又，所以，又因为函数在上单调递减， 所以，因为， 所以，综上，. 故选：C. （2023·天津·高考真题） 5．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D （24-25高三下·江西赣州·阶段练习） 6．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】化简，对照条件的定义可得答案. 【详解】不等式，等价于， 因为，所以，显然，不一定得出； 也不一定得出. 故选：D （2024·北京西城·一模） 7．设，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得. 【详解】由，故，故， 由对勾函数性质可得， ，且， 综上所述，有. 故选：C. （2025·山东·模拟预测） 8．已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A、B、C三个选项都可以用特殊值代入否定答案判断，对于D选项，利用指数函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，令，则，A错误； 对于B，令，则，B错误； 对于C，令，则，C错误； 对于D，单调递减，则时，成立，D正确. 故选：D. （2024·云南昆明·模拟预测） 9．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用函数单调性确定大小，通过作差，判断正负即可确定大小即可. 【详解】设，则令，得， 则在上单调递增，在上单调递减， ，则， 又，得， 所以， 故选：A （2025·浙江·模拟预测） 10．若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件得到，求得的范围，由的取值范围是的子集，构造不等式求解即可. 【详解】由题可知：对于任意，总存在， 使得， 所以的取值范围是的子集即可， ， 注意到， ， 因为，所以 故选：B （2024·安徽安庆·三模） 11．已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为.若数据，的平均数为，其中，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．的大小关系不确定 【答案】B 【分析】根据平均数的定义表示，结合已知列等式，作差比较即可. 【详解】由题意可知，， ，于是， 又，所以， 所以，两式相减得， 所以. 故选：B （2025·上海黄浦·三模） 12．若、，则“”成立是“”成立的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【分析】首先得，故问题转换为了是的什么条件，分充分、必要两种情况说明即可. 【详解】令，求导得恒成立， 所以是上的增函数， 所以， 当时，有，这表明不是的充分条件， 当时，有，这表明不是的必要条件， 所以“”成立是“”成立的既不充分也不必要条件. 故选：D. （2025·四川成都·三模） 13．下列四个条件中，使成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特值或者函数单调性，结合充要条件的判定可得答案. 【详解】对于A，当时，不成立，故是成立的不充分条件， 反之，当时，成立，故是成立的必要不充分条件，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，所以是的充要条件，故B正确； 对于C，当时，成立，但不成立，所以是成立的不充分条件， 当时，成立，但不成立，所以是成立的不必要条件，所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，因为在上单调递增，所以由，得， 所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：B （24-25高三下·广东东莞·阶段练习） 14．若，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设条件特征变形得，进而利用导数研究函数单调性即可求解判断AB；由特殊值法举例即可分析判断CD. 【详解】对于AB，由题，所以由得， 令，因为均为增函数，所以为增函数， 所以，即，，故A错误，B正确； 对于C，若，此时，且， 而， 所以，则，此时，故C错误， 对于D，若，此时，且， 若时，，必有，故D错误； 故选：B （2024·浙江台州·二模） 15．已知x，y为正实数，则可成为“”的充要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作差法可判断A；构造函数、，利用导数研究其单调性，并结合充分、必要性的定义可判断BD；特值法可判断C. 【详解】对于A，已知x，y为正实数，若，， 则，故A错误； 对于B，由可得：， 令， ，令，解得：， 则在上单调递减， 若，则，故B错误； 对于C，已知x，y为正实数，若，取， 则，故C错误； 对于D，由，则， 令，则， 即在定义域上递增，故， 反之也有成立，满足要求，故D正确. 故选：D. （2025·陕西西安·模拟预测） 16．已知，则下列不等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】通过构造函数求导分析单调性，利用单调性判断不等式可确定AB，再构造求导分析单调性可证明，举例易得不恒成立. 【详解】对于A，构造函数，，所以在R上单调递增，又，所以，即，故A错误； 对于B，，， 即，故B正确； 对于C，令，，所以在单调递减，，故C正确； 对于D，当，时，，故D错误； 故选：BC. （2025·山东济南·二模） 17．已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知有，则，根据指数函数的单调性判断A；两侧平方有，结合基本不等式、不等式性质判断B；特殊值判断C；讨论、，结合不等式性质判断D. 【详解】因为，所以，所以，故A对； 因为，所以， 由，所以，故B对； 若，满足，显然不成立，故C错； 当，则，必有， 当，则，故，必有， 故D对. 故选：ABD （2025·河北廊坊·模拟预测） 18．若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先由对数函数的单调性得，利用作差法即可判断AB，构造函数即可判断C，构造函数，利用导数研究单调性即可判断D. 【详解】因为在为增函数，由有， 对于A：由，因为，所以，故A正确； 对于B：由，当时，，即，故B错误； 对于C：令，可知在上单调递增，由有，故C正确； 对于D：令，则，由有，有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，，故D错误. 故选：AC. （2024·湖北武汉·模拟预测） 19．设，则下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据给定的正实数条件，利用不等式性质，结合选项的条件推理判断ABD；令，借助辅助角公式及三角函数性质求解判断C. 【详解】对于A，由，得，而，则， 因此，即，于是，A正确； 对于B，由，得，即， 又，B正确； 对于C，令，则， 其中锐角满足，显然， 因此当时，，C正确； 对于D，由，得，，， 当，即时，，即，D错误. 故选：ABC （2024·河北石家庄·二模） 20．若实数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先得到，并根据得到，从而求出. 【详解】因为，故， 由得，解得， 故. 故答案为： （2024·四川攀枝花·三模） 21．已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由得，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性求最值，进而比较、；由两边同除以得，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性求最值，进而比较、，由此可比较，，的大小. 法二：化为，作差法并构造函数，求导利用导数求出函数最值，比较、大小，再利用作差法比较、大小，即可比较，，的大小. 【详解】法一： 由得，令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，所以在上恒成立， 所以，即，所以，所以； 由两边同除以得，令， 则，所以在上恒成立， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，所以在上恒成立， 所以，即，所以，从而． 法二： 由得，即，所以 ， 令，， 当时，，在单调递增， 所以，所以， 则有； 由得，即， 所以， 因为，，，所以，即 故． 故选：A 【点睛】方法点睛：比较大小时，可根据数值构造函数，利用函数的单调性，最值比较大小. （23-24高三上·河北保定·期末） 22．已知，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数、对数的运算及指对函数的单调性举反例判断A，构造函数，利用导数判断单调性可得，据此判断BC，，令，由导数确定可判断D. 【详解】由，可得，又，所以，解得. 当时，，则，又，所以， 所以此时，故A错误； 令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即，由知，所以，所以，故正确； 由可得，可得（时取等号），因为，所以，所以，故C正确； 因为，所以.令，则，令，所以，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以1，所以，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：判断D选项时，对式子进行变形换元后得到是解题的第一个关键，构造函数，利用两次求导可得出函数的最小值是解题的第二个关键点. （2025·安徽合肥·三模） 23．已知实数,满足,,，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】通过对已知不等式进行变形，构造函数，利用函数的单调性得出，进而推导各选项的正确性. 【详解】对不等式进行变形化简得：， 设. 求导得：. 所以函数在上单调递增. 由，且函数单调递增，可得，即. 对于选项A： 因为，所以平方可得即.A正确. 对于选项B： 取反例，当时，，满足题意. 而，所以B错误. 对于选项C： 取反例，当时， 计算选项C的左边为，右边， 此时，C错误. 对于选项D： 令，求导得，可以看出该导数在上小于0. 所以在上单调递减，所以. 因为，所以，所以. 由前面可知，所以，所以选项D正确. 故选：AD. （2024·河北邯郸·三模） 24．记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【详解】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. （2024·全国·模拟预测） 25．已知．证明： (1)当时，； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可得，再根据不等式的性质结合一元二次不等式的解法即可得证； （2）由，得，再结合基本不等式即可得证. 【详解】（1）证明：由， 等式两边同时除以，得， 当时，，所以， 所以，得，又，所以； （2）证明：由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄金考点03 等式性质与不等式性质（考点闯关晋级练） （2024·天津·高考真题） 1．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2017·山东·高考真题） 2．若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． （2024·江苏南通·模拟预测） 3．设实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （24-25高三上·广东肇庆·阶段练习） 4．已知，比较a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． （2023·天津·高考真题） 5．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． （24-25高三下·江西赣州·阶段练习） 6．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2024·北京西城·一模） 7．设，其中，则（    ） A． B． C． D． （2025·山东·模拟预测） 8．已知，，且，则（   ） A． B． C． D． （2024·云南昆明·模拟预测） 9．设，则（    ） A． B． C． D． （2025·浙江·模拟预测） 10．若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． （2024·安徽安庆·三模） 11．已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为.若数据，的平均数为，其中，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．的大小关系不确定 （2025·上海黄浦·三模） 12．若、，则“”成立是“”成立的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 （2025·四川成都·三模） 13．下列四个条件中，使成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． （24-25高三下·广东东莞·阶段练习） 14．若，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． （2024·浙江台州·二模） 15．已知x，y为正实数，则可成为“”的充要条件的是（    ） A． B． C． D． （2025·陕西西安·模拟预测） 16．已知，则下列不等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． （2025·山东济南·二模） 17．已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． （2025·河北廊坊·模拟预测） 18．若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． （2024·湖北武汉·模拟预测） 19．设，则下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （2024·河北石家庄·二模） 20．若实数，且，则的取值范围是 . （2024·四川攀枝花·三模） 21．已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． （23-24高三上·河北保定·期末） 22．已知，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． （2025·安徽合肥·三模） 23．已知实数,满足,,，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． （2024·河北邯郸·三模） 24．记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． （2024·全国·模拟预测） 25．已知．证明： (1)当时，； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$