第1章勾股定理 同步练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列是勾股数的是（    ） A．5，6，7 B．6，10，7 C．7，8，9 D．15，9，12 2．直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 3．如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的、两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为（   ） A． B． C． D． 4．如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．4 C．5 D．8 6．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 7．消防车上的云梯示意图如图①所示，云梯最多只能伸长到，消防车高．如图②，消防员借助云梯对位于高的点A处的老人实施救援时消防车上的云梯伸长至最长，在完成A处的救援后发现在A处上方的B处有一个老人未及时撤离，为了能成功地救出B处的老人，则消防车需要从C处向着火的楼房靠近的距离为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．直角三角形的三边长为3，4，m，则的值为 ． 9．如图，在中，于点，，，．则 ． 10．如图，一个圆柱体的高为，底面周长为．一只蚂蚁在点处，它要吃到点处的食物，则这只蚂蚁至少需要爬行 cm． 11．如图，在中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则 ． 12．如图，是一段楼梯示意图，楼梯长米，高为米，若在此楼梯铺地毯，则地毯的长度至少需要 米． 13．探究发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．从而可以得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据你发现的规律写出第⑨个等式： ． 14．图是一个港湾，是码头，是笔直的沟岸，是海岛，在点的正东方向上，点在点北偏东的方向上，点在点北偏东的方向上，，点与点的距离为．现有一艘货船按计划从码头出发后，先停靠海岸上任意点处装货后再开往海岛，则按此计划，货船行驶的水路最短为 km． 三、解答题 15．已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为________； (2)小安猜想：当取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 16．如图，与均为直角三角形，且，，，若点E是的中点，求的长． 17．八年级数学兴趣小组成员利用所学数学知识，测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小亮的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)小红认为：想让风筝沿方向下降米，应该往回收线米．你同意她的说法吗？请说明理由． 18．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用图①证明：； (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形，若该图形的周长为80，，求该图形的面积． 19．下图是“梦起航”游乐场的部分平面图，摩天轮和淘气堡均在入口的正北方向，入口和出口在同一条直线上，，测得，，． (1)求摩天轮到淘气堡的距离； (2)现要在距离摩天轮45m的处修建游乐项目旋转木马，点，，在同一条直线上，此时恰好，求淘气堡到旋转木马的距离． 20．如图，长方形中，，，点是射线上一点，连接．将沿翻折至的位置，使点落在处． (1)若在边上，如图，当点落在边上时，________； (2)在（）的条件下，求的长； (3)若在延长线上，利用图探索当为直角三角形时的长，并直接写出结果________． 参考答案 1．解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 2．解：由勾股定理得， 故选：A． 3．解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．解：长和宽组成的长方形的对角线长为， 这根吸管经过矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形， 吸管的总长度为． 故选：C． 5．解：由勾股定理得：， 即， ∵， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选：B． 6．解：由题意可知，， ∴． 设的长为， 则， ∴． 在中，由勾股定理， 得， 即， 解得：． 故选：B． 7．解：由题意得，，，长即为消防车的高，， ∴，， ∴在中，， 在中，， ∴， 故选：A． 8．解：当长为的边为斜边时，可有， 当长为的边为直角边时，可有， 综上所述，的值为25或7． 故答案为：25或7． 9．解：， ∴ 在中， ∵，， ∴， 又， ∴, 故答案为：12． 10．解：如图，将圆柱的侧面展开， 连接，根据两点之间，线段最短，可得就是蚂蚁爬行的最短路线． 由题可得：， 由勾股定理得：， 故答案为：25． 11．解：在中，，，， 根据勾股定理可得： ， 由折叠的性质可得：，，， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 12．解：米，米 根据题意得米， 地毯的长度至少需要米， 故答案为：． 13．解：， ， ， ， 第一个数的底数是，指数是2， ， ， ， ， 第二个数的底数是，指数是2， 第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， 第个等式为， 第⑨个等式为：， 故答案为：． 14．解：作点关于直线的对称点，连接，，连接交直线于点，连接， ， 则， 根据两点之间线段最短，得到， 即， 仅当三点共线时，路线最短， 由题意可知，， ， ， ， 则是直角三角形，且， ． 故答案为：． 15．（1）解：当时，，，， ， 以，，的值为三边长的三角形是直角三角形，面积为：， 故答案为：6； （2）解：小安的猜想正确， 理由如下：， ， ， 当取大于1的整数时，，，为勾股数， 小安的猜想正确． 16．解：延长交的延长线于点， ， ∴， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， ． 17．（1）解：在中， 由勾股定理得，， ∴，（负值舍去）， 由题意易得， ∴（米）， 答：风筝的高度为米； （2）不同意小红的说法． 理由如下：在线段上截点，使米， 由题意得， ∴（米）， ∴（米） ∴（米） 即：应该往回收线米，不同意小红的说法． 18．（1）证明：由图可知， ， ． ； （2）解：由题意得，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以，该图形的面积是． 19．解：（1）， ． ，， ． ，点，均在点的正北方向，即点，，在同一条直线上， ． 答：摩天轮到淘气堡的距离为 （2）； ， ，， ， 答：淘气堡到旋转木马的距离为60m． 20．（1）解：由折叠可得，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为； （3）解：当时，如图， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠得，， ， ∴，， ∴点三点共线， ∴； 当时，如图， ∵四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴点三点共线， 由折叠得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，的长为或， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$