第1章勾股定理 同步达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分32分） 1．已知下列各组线段的长度，能作为一个直角三角形三边的是（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，在中，，D是上的一点，，，，则的长为（    ） A．5 B．4 C． D． 3．如图所示的是小杰使用微信告诉小宇从小宇家到小杰家的方式，根据小杰所说的，最后应向东走（   ） 你家距离我家千米，你先从家向北走千米，然后向东走一定的距离就到我家了． A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 4．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，则正方形D的面积是（    ） A．8 B．14 C．20 D．25 5．如图，是一个可调节平板支架的结构示意图，已知平板宽度为，当时，可测得，保持此时的形状不变，当平分时，点B到的距离是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，有一点P在边上移动，若，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（    ） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 8．随着AI技术的发展，我校数学学习小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动，如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度，此时底部边缘A处与C处之间的距离，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离，则图中点C处与点E之间的距离为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分32分） 9．满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ． 10．如图，在中，，，，则 ． 11．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 12．如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞 ． 13．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为 平方米． 14．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”问题的大意是：“有一根竹子，原高1丈（1丈尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为3尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为 ． 15．如图，一根长的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形器皿中，搅拌勺露在器皿外面的长度为，则h的取值范围是 ． 16．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则渔船从港口O出发的方向为 ． 三、解答题（满分54分） 17．如图，在中，，，，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的长． 18．如图是一块地，已知，且 (1)连接，说明是直角三角形； (2)求这块地的面积 19．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离，． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)求证：． 20．如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．    求证： (1)； (2)． 21．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 22．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．    (1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 参考答案 1．解：，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，所以不能构成直角三角形，故A不符合； ，可构成三角形，而，，，不能构成直角三角形，故B不符合； 3+4>5，可构成三角形，，，能构成直角三角形，故C符合； 4+5>6，可构成三角形，，而，36≠41，不能构成直角三角形，故D不符合， 故选：C． 2．解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即：， 解得：， ∴． 故选：C． 3．解：如图， 设向东走的距离为千米， 由勾股定理得， 解得：， ∴最后应向东走千米， 故选：． 4．解：根据勾股定理得：， ∵正方形A、B、C的面积依次为5、9、6， ∴， ∴正方形D的面积是20． 故选：C 5．解：过点作于点, 于点, 如图所示： ∵平分, ∴, 在中,,,, ， 由三角形的面积公式得：， ， ∴, ∴点到的距离是． 故选: D． 6．解：如图，当时，最短， ∵， ∴此时， ∴， ∴的最小值为5． 故选：A． 7．解：设旗杆长为x米，则绳长为米，则由勾股定理可得： ， 解得， 答：旗杆的高度为12米． 故选：B． 8．解：∵，， ∴在中，， ∵ ，， 在中，， ∴， 故选：B． 9．解：∵， ∴勾股数可以是：6，8，10（答案不唯一）， 故答案为：6，8，10（答案不唯一）． 10．解：在中，，，， 故答案为：4 11．解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 12．解：如图， 根据题意得：， ∴． 即喜鹊至少要飞． 故答案为：13 13．解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，，， ∴， ∴， ∴则这块地的面积为： ． 故答案为： 14．解：由题意得：尺，尺，， 在中，由勾股定理得：，即， 故答案为：． 15．解：∵将一根长为的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， ∴当杯子中筷子最短时等于杯子的高度，， 当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度，， ∴h的取值范围是． 故答案为：． 16．解：由题意知，，， ， ， 是直角三角形，， 又， ， 渔船从港口O出发的方向为南偏西， 故答案为：南偏西． 17．（1）解：是直角三角形， 理由：，，， ， 是直角三角形，且， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）知，，， ，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 的长为5． 18．（1）解： ， ， ， 又， ； ， ， 又， ， ， 是直角三角形； （2）． 19．（1）解：由题意可知：， 在中，， ， ， 在中，， ， 供水点到喷泉需要铺设的管道长为； （2）证明：，，， ， 是直角三角形，． 20．（1）证明：∵是等腰直角三角形， ，， ∵，∴， ， 在和中， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． 21．（1）解：根据题意得． ， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：∵滑块B向左滑动了， 即， ， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为， ， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 22．（1）解：∵， ∴梯形的面积为或， ∴， ∴， 即； （2）解：设千米，则千米， 在中，，即， 解得，即， 答：原路长千米． 学科网（北京）股份有限公司 $$