1.3勾股定理的应用 同步练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．已知，则以a，b，c为三边长的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 2．把5长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4，则梯子顶端到地面的距离（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 5．一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D．不能确定 6．如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 7．市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．有一根长的木棒， （填“能”或“不能”）放进长、宽、高分别为、、的空木箱中． 9．如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 10．如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点处，则的面积为 ． 11．如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 12．如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 ． 13．如图，在一个长为20米，宽为18米的矩形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米．    14．如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是 ． 三、解答题 15．已知如图，在四边形中，，求四边形的面积． 16．如图，由四条线段所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量，，，，，． (1)求这块四边形空地的面积； (2)现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 17．如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处，，测得顶端A距离地面的高度为2米，为米，且顶端C距离地面的高度比多米，求的长． 18．如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： (1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由； (2)求观景台与观景台之间距离的长． 19．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 20．五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 参考答案 1．解：∵， ∴，，， 解得，，． 可知， 所以a，b，c为边长的三角形是直角三角形． 故选：B． 2．解：梯子斜靠于墙时，与地面和墙面形成直角三角形．梯子长度5米为斜边，底端离墙4米为一条直角边． 设梯子顶端到地面的垂直距离为米， 由勾股定理得： （米） 因此，梯子顶端到地面的距离为3米， 故选：B． 3．解：根据勾股定理可得： ， 是等腰直角三角形． ． 故选：A． 4．解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度 ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是（m）． 故选B． 5．解：如图，根据题意，得，，，，    ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即，两港之间的距离为． 故选：C． 6．解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：D． 7．解：如图，当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短． 由题意得：， ∴在中，， ∴， ∴勺子漏出杯子的部分至少为， 故选：A． 8．解：设放入长方体盒子中的木棒的最大长度是， 根据题意可得：， 而， 因为， 所以长70cm的木棒，能放进长、宽、高分别为、、的空木箱中； 故答案为：能． 9．解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 10．解：∵四边形是长方形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， 即． ∴的面积为， 故答案为：． 11．解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， 设，由折叠的性质，可得，， ∴， ∴， 解得， ∴重叠部分（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 12．解：四边形是长方形， ，，， 由折叠得，， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 13．解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为18米． 于是最短路径为：米．故答案为．    14．解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵甲舰艇沿北偏东方向航行， ∴， ∴乙舰艇的航行方向是南偏东． 故答案为：南偏东． 15．解：如图：连接， ∵， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴． 16．（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积 ； （2）解：在该空地上种植草皮共需（元）． 17．解：由题意可得：在中，，米，米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 18．解：（1）在中，∵，， ∴ ∴，即 根据垂线段最短， ∴是露营区到湖边的最短路径； （2）∵ ∴ ∴在中，由勾股定理得 解得： 答：观景台与观景台之间距离的长为． 19．（1）解：根据题意得． ， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：∵滑块B向左滑动了， 即， ， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为， ， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 20．（1）解：， 又， ， 是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 学科网（北京）股份有限公司 $$