1.1探索勾股定理 同步练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．已知一个的两边长分别为和，则第三边长的平方是（    ） A． B．或 C． D． 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．  B．  C．  D．   3．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（   ） A．3 B．9 C．16 D．25 4．如图，在中，，记长为，长为．则的值为（    ） A．55 B．42 C．45 D．32 5．《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的竖直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的竖直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 7．如图1为圆柱形笔筒，图2为其模型，已知模型底面半径为，高为（壁厚不计），在笔不漏出笔筒的前提下，能放入的铅笔最长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在中，，，，则 ． 9．若等腰三角形三条边的长分别为，，，则这个三角形一腰上的高为 ． 10．如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前的高为 . 11．如图，在中，，于点，若，则的长为 ． 12．现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．右图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的路“”．已知米，米，他们踩坏了草坪，只为少走 米的路． 13．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一名学生正对门，缓慢走到离门米的C处时，感应门自动打开．已知感应器离地面的高度为米，这名学生身高为米，则人头顶离感应器的距离等于 米． 14．如图，在直角三角形中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 15．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，求的长． 16．如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 17．图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中，于点，尺，尺，求的长度． 18．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图    测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． 请计算：如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 19．如图，是某街区的店铺分布图，是一条笔直的公路，B、D分别为便利店和面馆，E为公路边的公交站牌，站牌E在便利店B的正东方向，面馆D在便利店B的正南方向，已知A，D之间距离为250米，且A在面馆D的正北方向，公交站牌E到便利店B的距离长为120米，到面馆的距离长为150米． (1)求便利店到面馆的距离； (2)若小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆D处，那么两人的总路程为多少米？ 20．【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 参考答案 1．解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边的平方为：； （2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边的平方为：． ∴第三边长的平方是25或7， 故选：B． 2．解：、大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴原选项不能证明勾股定理，符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 故选：． 3．解：由图可知正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故选：B． 4．解：过点作，如图所示： ， 则由等腰三角形三线合一性质可知，是边上的中线， , 则， 记长为，长为， 在中，由勾股定理可得,即； 在中，由勾股定理可得,即； , 故选：C． 5．解：设折断处离地面的高度为x尺， 由题意得，， 故选：A． 6．解：由题意可知， ， 设的长为，则 ∴ 在直角中， 又∵ 解得：． 故选：B． 7．解：圆柱底面半径为， ∴底面直径为 ，圆柱高 ． 能放入的最长铅笔长度为底面直径与高构成直角三角形的斜边， 根据勾股定理（， ），可得 ， 故选：C． 8．解：在中，，，， 故答案为：4 9．解：如下图所示， 在中，，， 过点作，过点作， ， 在中，， ， 又， 解得：． 故答案为：． 10．解：如下图所示， ，，， ， 旗杆折断之前的高为． 故答案为：． 11．解：∵，， ∴，， ∵于点， ∴， ∴． 故答案为： 12．解：∵米，米， ∴在中， （米）， 则（米）， ∴他们只为少走20米的路． 故答案为20 13．解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）． 故答案为：米． 14．解：依题意，由勾股定理得：， 即， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为7， 故答案为：7． 15．解：∵，， ∴， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D， ∴， ∴． 16．（1）证明：于点， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：，，， ，， ， ， ， 解得： 17．解：设的长为尺，在中，尺，， 由勾股定理得，， 即， 解得． 答：的长为3.75尺． 18．解：根据题意，， ∴， 如图所示，风筝沿方向再上升米到点处，连接，    ∴， ∴， ∴， ∴他应该再放出米线． 19．（1）解：在中，(米)； （2）解：∵(米)， ∴在中，(米)， ∴小华和小丽两人的总路程为(米)； 答：两人的总路程为米． 20．解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴ ∴； （2）空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）∵设的长为，则 ∵是边上的高 ∴ ∴ ∴ 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $$