北京市第二中学2023-2024学年高一下学期第六学段（期末）学段考试数学试卷

- 高一年级数学第六学段考试 2024年 7 月 第 1 页（共 4 页）- 北京二中 2023—2024 学年度第六学段高一年级学段考试试卷 数学必修 II 命题人： 王建光 审核人： 孟春玲 得分： 一、选择题（每小题 5 分, 共 50 分） 1．在复平面内，复数 (2 5i)(1 2i)z = − − 对应的点位于( ). A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．已知向量 a (1,2)= ，b ( , 3)x x= + ．若 a//b，则 x = ( ). A. 3 B. 3− C. 6 D. 6− 3．某学习小组为了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调 查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是( ). A．两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 B．两组同学的样本平均数一定相等 C．两组同学的样本标准差一定相等 D．该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同 4．已知非零向量 a，b，则“ ( ) ( ) 0+  − =a b a b ”是“ =a b或 = −a b ”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．设 m，n 是两条不同的直线， ，  是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ). A. 若m n⊥ ， //n  ，则m ⊥ B. 若m ⊥ ， //n  ，则m n⊥ C. 若m ⊥ ， ⊥ ，则m  D. 若m n⊥ ， n ⊥ ，则 //m  6．甲、乙两人某体育项目近五次训练成绩如图，设甲、乙两人成绩的平均数分别为 1x ， 2x ，标准差分别为 1s ， 2s ，则下列结论正确的是( ). A. 1 2x x ， 1 2s s B. 1 2x x ， 1 2s s C. 1 2x x= ， 1 2s s D. 1 2x x= ， 1 2s s 班 级 学 号 姓 名 密 封 线 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- - - -- - - -- - - -- - - - - - -- - - -- - - -- - - -- - - -- - - - - - 高一年级数学第六学段考试 2024年 7 月 第 2 页（共 4 页）- 7．我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体 E ABCD F− − （如图）．若该正八面体的 所有棱长均为 2，则二面角 E AB F− − 的余弦值为( ). A. 3 2 − B. 2 2 3 − C. 1 3 − D. 1 2 − 8．在△ ABC 中，若 cos cosa c B b c A− = − ，则△ ABC 是( ). A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 9．设△ABC 是边长为 1 的正三角形，M 是△ABC 所在平面上的一点，且满足 2MA MB MC CA+ + = ， 则当 MA MC 取最小值时，的值为( ). A. 1 3 B. 1 2 C. 2 D. 3 10．如图，在边长为 4 的正三角形 ABC 中，E 为边 AB 的中点，过 E 作 ED AC⊥ 于 .D 把△ ADE 沿 DE 翻 折至△ 1A DE 的位置，连结 1AC ．翻折过程中，有下列三个结论： ① 1DE AC⊥ ； ②存在某个位置，使 1A E BE⊥ ； ③若 12CF FA= ，则 BF 的长是定值． 其中所有正确结论的编号是( ). A. ① B. ①② C. ②③ D.①③ 二、填空题（每小题 5 分, 共 30 分） 11．某地区采用分层抽样的方法，抽取一定数量的高中学生参加禁毒知识竞赛．若得到的样本中高二的学 生数量比高一多 40 人、比高三少 20 人，且该地区高一、高三学生数之比为 2 : 3，则样本容量为________. 12．已知复数 10 5i 3 4i 2 i z − = + − + ，则 z 的共轭复数 z = ________. 13．已知函数 ( ) sin(2 )(f x x = + 其中 为实数 )，若 ( ) ( ) 6 f x f  对 x R 恒成立，则满足条件的 值为 __________ (写出满足条件的一个 值即可 ) . 14．以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据： 甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80; 乙组：17，22，32，43，45，49，b，56. 若甲组数据的第 40 百分位数和乙组数据的平均数相等，则 4a b− = __________. - 高一年级数学第六学段考试 2024年 7 月 第 3 页（共 4 页）- 15．如图，点 P 是正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 的面对角线 1 BC 上一点，对任意的点 P，有以下四个结论： ①点 P 到直线 1A D 的距离不变； ② 1 //A P 平面 1ACD ； ③ 1DP BC⊥ ； ④平面 1PDB ⊥平面 1.ACD 其中正确结论的序号是__________ .(写出所有你认为正确结论的序号 ) 16．已知向量 ,a b满足 3=a , 6 =a b ,若对任意实数 x 都有 −a x  −b a b ， 则 1 2 − +  b a ( ) R 的最小值为___________. 三、解答题（共 70 分） 17．（本小题 12 分）学校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩 (总分 100 分 )，将所得数 据按照  )  )  )  )  )  40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 分成 6 组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中 a 的值； （2）试估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）该校准备对本次测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13% 的为优异）的学生进行嘉奖，则 受嘉奖的学生分数不低于多少？ 18．（本小题 15 分）如图，已知 PA ⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形， 1PA AB= = ， 3AD = ，E，F 分别是 BC 和 PB 的中点． （1）求证： //EF 平面 PAC； （2）求证： AF PE⊥ ； （3）求三棱锥 E PAD− 的体积． 19．（本小题 14 分）在△ ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为a ,b ,c ,已知 cos 0.b A c−  （1）问：△ ABC 中是否必有一个内角为钝角，说明理由； （2）从下列四个条件中选取三个，使得△ ABC 存在，并求出△ ABC 的面积． ① 2 sin 2 A = ； ② 3 sin 2 C = ； ③ 2a = ； ④ 2.c = - 高一年级数学第六学段考试 2024年 7 月 第 4 页（共 4 页）- 20．（本小题 15 分）如图，在四棱锥 P ABCD− 中，平面 PAC ⊥平面 ABCD，且 PA AC⊥ ， 2PA AD= = ．四 边形 ABCD 满足 //BC AD ， AB AD⊥ ， 1AB BC= = ． F 为侧棱 PC 上的任意一点，且平面 ADF 与侧棱 PB 交于点 E． （1）求证：平面 EFP ⊥平面 PAB； （2）设直线 AF 与平面 PAB 所成的角为 ，求 sin 的最大值； （3）是否存在点 F，使得直线 AF 与平面 PCD 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段 PF 的长；若不存 在，请说明理由． 21．（本小题 14 分）对任意的非空数集A ，定义： ( ) ( ) Ω ,A X X A X=    ，其中π( )X 表示非空数 集 X 中所有元素的乘积，特别地，如果 { }X x= ，规定π( )X x= . （1）若 1 2 1 ,1,4 , {2,3,5} 2 A A   = =    ，请直接写出集合 1)(A 和 2 )(A 中元素的个数; （2）若 1 2 3 4 5{ , , , , }A a a a a a ，其中 ia 是正整数 ( 1,2,3,4,5)i = ，求集合 )(A 中元素个数的最大值和最小 值，并说明理由; （3）若 1 2 3 4 5 6 7,{ , , , , , }A aaa a a a a= ，其中 ia 是正实数 ( 1,2,3,4,5,6,7)i = ，求集合 )(A 中元素个数的最小 值，并说明理由. 密 封 线 - - - - - -- - - -- - - -- - - -- - - --- - - - - -- - - -- - - -- - - -- ----------------------------------------------------------------------------- 北京二中 2023—2024学年度第六学段高一年级学段考试数学答案 一、选择题（每小题 5 分，共 50 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B B C C D A D 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 11．【答案】 460 12．【答案】 8 4i+ 13．【答案】 6  14．【答案】 100 15．【答案】 ②④ 16．【答案】 2 三、解答题（共 70 分） 17．（12 分）学校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩 (总分 100 分 )，将数 据按照  )  )  )  )  )  40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 分成 6 组，频率分布直方图如图所示． （1）求图中 a 的值； （2）试估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表） (3) 该校准备对本次测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13% 的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 【答案】 （1） (0.005 0.010 0.015 2 0.030) 10 1a+ +  + +  = ，得 0.025a = ；（式子 2分，共 4分） （2） 45 0.05 55 0.15 65 0.3 75 0.25 85 0.15 95 0.1 71 +  +  +  +  +  = ， 故本次数学测试成绩的平均分为 71；（式子 2分，共 4分） （3）设受嘉奖的学生分数不低于 x 分， 因为[80,90),[90,100]对应的频率分别为 0.15 ， 0.1， 所以 (90 ) 0.015+0.1 0.13x−  = ，解得 88x = ， 故受嘉奖的学生分数不低于 88 分．（式子 2分，共 4分） 18．（15 分）如图，已知 PA ⊥平面 ABCD，ABCD 是矩形， 1PA AB= = ， 3AD = ，E，F 分 别是 BC 和 PB 的中点． （1）求证： //EF 平面 PAC； （共 4分） （2）求证： AF PE⊥ ； （共 7分） （3）求三棱锥 E PAD− 的体积． （共 4分） 【答案】证明：（1）∵E，F 是 BC，PB 的中点． //EF PC ． 又 EF 平面 PAC， PC 平面 PAC， ∴ //EF 平面 PAC． （2） PA ⊥平面 ABCD， EB 平面 ABCD， .EB PA ⊥ EB AB⊥ ， PA AB A = ，PA、 AB 平面 PAB， EB ⊥平面 PAB， AF 平面 PAB， AF EB ⊥ ， 1PA AB= = ，F 是 PB 中点， AF PB ⊥ ， EB PB B = ，EB、 PB 平面 PBC， AF ⊥平面 PBC， PE 平面 PBC， AF PE ⊥ ； （3）解：三棱锥 E PAD− 的体积等于三棱锥 P EAD− 的体积， PA ⊥平面 ABCD，ABCD 是矩形， 1PA AB= = ， 3AD = ， 1 1 3 3 2 6 P EADV AD AB PA− =     = ， 三棱锥 E PAD− 的体积为 3 6 ． 19．（14 分）已知△ ABC 中， cos 0.b A c−  （1）问：△ ABC 中是否必有一个内角为钝角，说明理由； （2）从下列四个条件中选取三个，使得△ ABC 存在，并求出△ ABC 的面积． ① 2 sin 2 A = ；② 3 sin 2 C = ；③ 2a = ；④ 2.c = 【答案】（1）因为 cos 0b A c−  ，由正弦定理可得 sin cos sin 0B A C−  ， 在 ABC 中，C A B= − − ， sin sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B= + = + ， 所以不等式整理为 sin cos cos sin sin cosA B A B B A+  ， 即 sin cos 0A B  ，因为 (0, )A  ， sin 0A  ， 所以 cos 0B  ，所以 B 为钝角； （2）若满足①②，由 B 为钝角，则 A，C 为锐角， 及 2 sin 2 A = ， 3 sin 2 C = ，可得 4 A  = ， 3 C  = ， 所以 5 12 B =  ，不符合 B 为钝角，故①②不同时成立； 所以③④两个条件必选 由③④可知 a c ，所以 A C ，所以②不成立，因此选①③④； 由正弦定理可得 sin sin a c A C = ， 即 2 2 sin2 2 C = ，所以 1 sin 2 C = ，又 a c ，所以 A C ，在三角形中， 2 sin 2 A = ， 所以 4 A  = 或 3 4 A = ，而由 (Ⅰ )可得 4 A  = ， 所以可得 6 C  = ， 7 4 6 12 B A C     = − − = − − = ； 所以 2 6 sin sin( ) sin( ) 4 B A C A C + = − − = + = ； 所以 1 1 2 6 1 3 sin 2 2 2 2 4 2 S ac B + + = =    = 20．（15 分）如图，在四棱锥 P ABCD− 中，平面 PAC ⊥平面 ABCD，且 PA AC⊥ ， 2PA AD= = ．四边形 ABCD 满足 //BC AD ， AB AD⊥ ， 1AB BC= = ． F 为侧棱 PC 上的任 意一点，且平面 ADF 与侧棱 PB 交于点 E． （1）求证：平面 EFP ⊥平面 PAB； （2）设直线 AF 与平面 PAB 所成的角为 ，求 sin 的最大值； （3）是否存在点 F，使得直线 AF 与平面 PCD 垂直？若存在，写出 证明过程并求出线段 PF 的长；若不存在，请说明理由． 【答案】证明：（1）因为 //BC AD ， BC 平面 ADE ， AD 平面 ADE ， 则 / /BC 平面 ADE ． 又 BC 平面 ABCD，平面 ABCD平面 ADE EF= ，则 // .EF BC //BC AD， // .EF AD 面 PAC ⊥平面 ABCD，且 PA AC⊥ ，面 PAC 平面 ABCD AC= ， PA 面 PAC， PA ⊥平面 ABCD，又 AD 平面 ABCD，得 .PA AD⊥ 又 AB AD⊥ ， PA AB A = ，PA， AB 平面 PAB， AD ⊥平面 PAB， EF ⊥平面 .PAB EF 平面 EFP，平面 EFP ⊥平面 .PAB （2）由（1）知 EF ⊥平面 PAB ，则∠EAF 即直线 AF 与平面 PAB 所成的角为 ， 且 sin EF AF  = ． 设 EF x= ，则可计算得 26 8 4AF x x= − + ． 则 2 2 1 sin 1 16 8 4 4( ) 8 6 x x x x x  = = − + − + ， 则当 1x = 时， sin 取到最大值 2 2 ． （3）存在点 F，使得直线 AF 与平面 PCD 垂直． 平面 PCA 中，过点 A 作 AF PC⊥ ，垂足为 F， 由已知 AB AD⊥ ， //BC AD ， 1AB BC= = ， 2.AD = 根据平面几何知识，可得 .CD AC⊥ 又 由 PA ⊥平面 ABCD，得 PA CD⊥ ，且 PA AC A = ，PA， AC 平面 PAC， CD ⊥平面 PAC，结合 AF 平面 PAC，得 .CD AF⊥ 又 CD PC C = ，CD， PC 平面 PCD， AF ⊥平面 .PCD 在 PAC 中， 2PA = ， 2AC = ， 90PAC  = ， 2 2 6PC PA AC = + = ， 2 3 PA AC AF PC  = = ， 2 2 2 6 3 PF PA AF= − = ． PC 上存在点 F，使得直线 AF 与平面 PCD 垂直，此时线段 PF 的长为 2 6 . 3 21．（14 分）对任意的非空数集𝐴，定义：𝛺(𝐴) = {𝜋(𝑋)|𝑋 ⊆ 𝐴, 𝑋 ≠ ⌀}，其中𝜋(𝑋)表示非空数 集𝑋中所有元素的乘积，特别地，如果𝑋 = {𝑥}，规定𝜋(𝑋) = 𝑥． (1)若𝐴1 = { 1 2 , 1,4}，𝐴2 = {2,3,5}，请直接写出集合𝛺(𝐴1)和𝛺(𝐴2)中元素的个数； (2)若𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5}，其中𝑎𝑖是正整数(𝑖 = 1,2,3,4,5)，求集合𝛺(𝐴)中元素个数的最大值 和最小值，并说明理由； (3)若𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5, 𝑎6, 𝑎7}，其中𝑎𝑖是正实数(𝑖 = 1,2,3,4,5,6,7)，求集合𝛺(𝐴)中元素个数 的最小值，并说明理由． 【答案】(1) ∵ 𝛺(𝐴1) = { 1 2 , 1,2,4}，𝛺(𝐴2) = {2,3,5,6,10,15,30}， ∴ 𝛺(𝐴1)中有4个元素，𝛺(𝐴2)中有7个元素． (2)最大值即：集合𝐴的非空子集有25 − 1 = 31个，因此𝛺(𝐴)中最多有31个元素． 可能的构造如下：𝐴 = {2,3,5,7,11}， 则集合𝐴中任意两个不同子集元素的乘积不同． 最小值：不妨设 1 2 3 4 51 a a a a a     ，则有 1 2 3 4 5 2 5 3 5 4 5 2 4 5 3 4 5 2 3 4 5a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a          ．因此𝛺(𝐴)中最少有 11 个 元素． 构造：𝐴 = {1,2,4,8,16}，则𝛺(𝐴) {1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024}= ，有 11 个元素． 集合𝛺(𝐴)中元素个数的最大值为 31，最小值为 11. (3)𝛺(𝐴)中最少有13个元素．如𝐴 = { 1 8 , 1 4 , 1 2 , 1,2,4,8}， 𝛺(𝐴) = { 1 64 , 1 32 , 1 16 , 1 8 , 1 4 , 1 2 , 1,2,4,8,16,32,64}. 证明如下： 对集合𝐴分类： 𝐴1 = {𝑎|𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎 < 1}，𝐴2 = {𝑎|𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎 = 1}，𝐴3 = {𝑎|𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎 > 1}， 设|𝐴1| = 𝑥，|𝐴2| = 𝑦，|𝐴3| = 𝑧 ⇒ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7，𝑦 ≤ 1 ⇒ 𝑥 + 𝑧 ≥ 6． 设𝐵 = 𝛺(𝐴)，对集合𝐵分类： 𝐵1 = {𝑏|𝑏 ∈ 𝐵, 𝑏 < 1}，𝐵2 = {𝑏|𝑏 ∈ 𝐵, 𝑏 = 1}，𝐵3 = {𝑏|𝑏 ∈ 𝐵, 𝑏 > 1}， 设|𝐵1| = 𝑝，|𝐵2| = 𝑞，|𝐵3| = 𝑟. 分析𝑥，𝑦，𝑧与𝑝，𝑞，𝑟的关系： 对集合𝐴1中的元素：𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑥 < 1，则 𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑥 < 𝑎1𝑎2𝑎3 < ⋯ < 𝑎1𝑎2𝑎𝑥 < 𝑎1𝑎2 < 𝑎1𝑎3 < 𝑎1𝑎𝑥 < 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑥 < 1， 则𝑝 ≥ 𝑥 + (𝑥 − 1) + (𝑥 − 2) + ⋯ + 1 = 1 2 𝑥(𝑥 + 1)，① 对集合𝐴2中的元素：𝑞 ≥ 𝑦，② 对集合𝐴3中的元素：1 < 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑧， 则1 < 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑧 < 𝑎1𝑎𝑧 < 𝑎2𝑎𝑧 < ⋯ < 𝑎𝑧−1𝑎𝑧 < 𝑎1𝑎𝑧−1𝑎𝑧 < 𝑎2𝑎𝑧−1𝑎𝑧 < ⋯ < 𝑎𝑧−2𝑎𝑧−1𝑎𝑧 < ⋯ < 𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑧， 则𝑟 ≥ 𝑧 + (𝑧 − 1) + (𝑧 − 2) + ⋯ + 1 = 1 2 𝑧(𝑧 + 1)，③ ① + ② + ③得 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 ≥ 1 2 𝑥(𝑥 + 1) + 1 2 𝑧(𝑧 + 1) + 𝑦 = 1 2 (𝑥2 + 𝑥 + 𝑧2 + 𝑧 + 2𝑦) = 1 2 (𝑥2 − 𝑥 + 𝑧2 − 𝑧 + 14) = 1 2 [(𝑥 + 𝑧)2 − (𝑥 + 𝑧) − 2𝑥𝑧] + 7， 注意到6 ≤ 𝑥 + 𝑧 ≤ 7，当𝑥 + 𝑧 = 7时，𝑝 + 𝑞 + 𝑟 ≥ 1 2 [(𝑥 + 𝑧)2 − (𝑥 + 𝑧) − 2𝑥𝑧] + 7 = 22 − 𝑥𝑧 ≥ 13(均值不等式)． 从而𝛺(𝐴)中最少有13个元素．