第三章 整式及其加减 单元提升训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学六年级上册

第三章 整式及其加减 单元提升训练 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．单项式的系数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．下列式子计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，分别代表两个不同的四次多项式，则是（   ） A．八次多项式 B．四次多项式 C．次数不低于四的整式 D．次数不高于四的整式 5．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“○”的个数，则第10个图中“○”的个数是（    ）．    A．90 B．95 C．100 D．105 6．（阅读理解）计算：25×11＝275，13×11＝143，48×11＝528，74×11＝814，观察算式，我们发现两位乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一． [拓展应用]已知一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数乘11，计算结果的十位上的数字可表示为（　　） A．a或a＋1 B．a＋b或ab C．a＋b−10 D．a＋b或a＋b−10 7．观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（    ） A．第503个菱形的左边 B．第503个菱形的右边 C．第505个菱形的左边 D．第504个菱形的右边 8．如图，从标有单项式的四张卡片中找出所有能合并的同类项，若它们合并后的结果为，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 9．已知两个整式：，，将这两个整式进行如下操作： 第1次操作：用这两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串，记为整式串，，； 第2次操作：在整式串1中，用相邻两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串，记为整式串，，，，，以此类推，可以得到整式串3，整式串4，…… 明明同学对此展开研究，得到以下3个结论： ①整式串4共有17个整式； ②整式串9从左往右第2个整式减去整式串10从左往右第2个整式的差为； ③经过2024次操作后，整式串2024的和为． 以上3个结论正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10．甲、乙两个油桶中装有体积相等的油．先把甲桶的油倒一半到乙桶（乙桶没有溢出），再把乙桶的油倒出给甲桶（甲桶没有溢出），这时两个油桶中的油的是（　　） A．甲桶的油多 B．乙桶的油多 C．甲桶与乙桶一样多 D．无法判断，与原有的油的体积大小有关 二、填空题 11．如图，某小区计划修建一个圆形花坛，在花坛内设计一个圆形的喷水池，如果喷水池的半径为，花坛的半径是喷水池的半径的2倍，那么花坛的外围周长比喷水池的周长长 m．（结果保留π） 12．若关于的多项式是三次三项式，则的值为 ． 13．有理数、、在数轴上的位置如图，化简 ． 14．有理数，，在数轴上所表示的点的位置如图所示，则化简 ． 15．古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数； 图形 … 五边形数 1 5 12 22 35 51 … 将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表； 1       第一行 5  12     第二行 22  35  51   第三行 …  …  …  …  … 观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为 ． 三、解答题 16．化简： （1）2x＋3x﹣4x； （2）3x＋2x2﹣2﹣15x2＋6﹣5x； （3）x﹣3（x＋1）＋5（2x＋1）； （4）﹣2y3＋（3xy2﹣x2y）﹣2（xy2﹣y3）． 17．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)． 18．甲、乙两船从同一港口同时出发（在一条直线上行驶），甲船在静水中的速度是，乙船在静水中的速度是，水流速度是． (1)若甲船顺水，乙船逆水，则后两船相距多远？ (2)若甲、乙两船都顺水，则后两船相距多远？ (3)若甲船顺水，乙船逆水，则后甲船比乙船多航行多少千米？ 19．某家具厂生产一种办公桌和椅子，办公桌每张定价200元，椅子每把定价80元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案．方案一：每买一张办公桌就赠送一把椅子；方案二：办公桌和椅子都按定价的八折付款．某公司计划添置100张办公桌和x把椅子． (1)若x＞100，分别求这两种方案所需支付的费用．（用含x的代数式表示） (2)若x=300，分别计算这两种方案所需支付的费用．如果这两种方案可以同时使用，请帮助该公司设计一种最省钱的购买方案，并计算此方案所需支付的费用． 20．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 21．将一个正方体的表面涂上颜色．如图把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，通过观察我们可以发现8个小正方体全是3个面涂有颜色的．如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，通过观察我们可以发现这些小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有12个是2个面涂有颜色的，有6个是1个面涂有颜色的，还有1个各个面都没有涂色．    (1)如果把正方体的棱4等分，所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱等分呢？（请填写下表）： 正方体 棱等分数 4等分 等分 3面涂色的正方体 个 个 2面涂色的正方体 个 个 1面涂色的正方体 个 个 各个面都无涂色的正方体 个 个 (2)请直接写出将棱7等分时只有一个面涂色的小正方体的个数． 22．问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律． 问题探究： 我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法． 探究一 用若干木棒来搭建横长是，纵长是的矩形框架（、是正整数），需要木棒的条数． 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条． 问题（一）：当，时，共需木棒多少条． 问题（二）：当矩形框架横长是，纵长是时，横放的木棒为多少条， 纵放的木棒为多少条． 探究二 用若干木棒来搭建横长是，纵长是，高是的长方体框架（、、是正整数），需要木棒的条数． 如图，当，，时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需条； 如图，当，，时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需条； 如图，当，，时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需条． 问题（三）：当长方体框架的横长是，纵长是，高是时，横放与纵放木棒条数之和为多少条，竖放木棒条数为多少条． 实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是、高是的长方体框架，总共使用了条木棒，则这个长方体框架的横长是多少． 拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是，高是的正三棱柱框架，需要木棒多少条． 23．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向右移动4cm到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm． (1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置； (2)把点C到点A的距离记为CA，则CA=______cm． (3)若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？ (4)若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章 整式及其加减 单元提升训练》 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D B D C C B C 1．C 【分析】根据同类项的判断及合并同类项的法则依次计算判断即可． 【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意， B、与不是同类项，不能合并，不符合题意， C、，计算正确，符合题意； D、与，不是同类项，不能合并，不符合题意， 故选：C． 【点睛】题目主要考查同类项的判断及合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题关键． 2．A 【分析】根据单项式系数的定义进行解答即可． 【详解】解：∵单项式-3x2y的数字因数是-3， ∴此单项式的系数是-3， 故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数是解答此题的关键． 3．B 【分析】本题主要考查了整式的加减和有理数的乘方，根据整式的加减运算法则计算并判断即可． 【详解】解：A、因为，所以A不正确； B、因为，所以B正确； C、因为，所以C不正确； D、因为，所以D不正确． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了整式的加减运算，加减运算实际就是合并同类项． 若，的最高项不是同类项或是同类项而系数不是相反数，则一定是一个四次整式；若最高项是同类项且系数互为相反数，则的次数一定小于四次，据此即可判断． 【详解】解：，都是一个四次多项式，则的次数一定不高于四次． 故选：D． 5．B 【分析】本题考查图形和数字类规律探究，根据前几个图形中“○”的个数得到变化规律，进而可求解． 【详解】解：第1个图形中“○”的个数为， 第2个图形中“○”的个数为， 第3个图形中“○”的个数为 第4个图形中“○”的个数为， ……， 依次类推，第n个图形中“○”的个数为， ∴第10个图形中“○”的个数为， 故选：B． 6．D 【分析】根据题目中的速算法可以解答本题． 【详解】由题意可得，某一个两位数十位数字是a，个位数字是b，将这个两位数乘11，得到一个三位数， 则根据上述的方法可得：当a+b< 10时，该三位数百位数字是a，十位数字是a + b，个位数字是b， 当a+b≥10时，结果的百位数字是a + 1，十位数字是a+b- 10，个位数字是b． 所以计算结果中十位上的数字可表示为：a+b 或a+b−10． 故选：D． 【点睛】此题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 7．C 【分析】由题意可知，四个数字以下、上、左、右的顺序依次循环，所以用2019除以4即可知道其所在位置 【详解】由题意可知：四个数字以下、上、左、右的顺序依次循环， ， 数2019应标在第505个菱形上， 余数是3， 与第一个图形中3的位置相同，即在左边． 故选：C 【点睛】本题考查规律型：数字变化类，解题的关键是学会从一般到特殊的探究方法，找到规律后即可解决问题，属于中考常考题型． 8．C 【分析】先利用同类项定义求出的值，再代入计算即可． 【详解】 ∵四张卡片中，是同类项， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了同类项，熟练掌握同类项定义及合并同类项法则是解题的关键． 9．B 【详解】对于①：整式串，，，有（个）；整式串，，，，；，，，共有（个），整式串，，，，，，，，；共有（个），由此得到整式串4，有（个）整式，故①正确．对于②：根据规律，得到整式串9从左往右第2个整式是，整式串10从左往右第2个整式是．它们的差为．故②错误．对于③：根据题意，整式串，，的和为，对于整式串，，，，的和为，整式串，，，，，，，，的和为．由此得到，经过2024次操作后，整式串2024的和为．故③正确 10．C 【分析】根据题意列出代数式进行比较即可求解． 【详解】解：设甲、乙两个油桶中水的重量为．根据题意，得： 因为先把甲桶的油倒一半至乙桶， 甲桶的油，乙桶的油， 再把乙桶的油倒出三分之一给甲桶， 所以甲桶有油， 乙桶有油， 所以甲乙两桶油一样多． 故选：C． 【点睛】本题考查用代数式表示实际问题，理解已知条件是关键，用含有字母的式子表示实际问题是重点 11． 【分析】本题考查了圆的周长问题，解决本题的关键是熟练运用圆的周长公式．根据题意，在花坛内设一个圆形的喷水池，若喷水池的半径为，则喷水池的周长为米，花坛的半径是喷水池半径的2倍，即半径是米，花坛的周长是（米），花坛的外围周长比喷水池的周长长是（米），据此解答． 【详解】由题意可知花坛的半径为， 所以花坛的外围周长比喷水池的周长长． 故答案为： 12． 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的定义列式求解即可． 【详解】解：∵多项式是三次三项式， ∴且， 解得． 故答案为：． 13．/ 【分析】由数轴上点的大小关系，比较有理数、、的大小，继而得到，再根据绝对值的性质解题． 【详解】解：由图可知，，且， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用数轴比较有理数的大小、化简绝对值等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 14． 【分析】根据数轴、绝对值、有理数加减的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意得：，且 ∴，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、整式的加减运算的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值、有理数加减运算的性质，从而完成求解． 15．1335 【分析】分析表格中的图形和五边形数之间的规律，再找到排成数表中五边形数和行数之间的规律． 【详解】解：由图形规律可知，第n个图形是一个由n个点为边长的等边三角形和一个长为n个点，宽为（n-1）个点的矩形组成，则第n个图形一共有个点，化简得，即第n个图形的五边形数为． 分析排成数表，结合图形可知： 第一行从左至右第1个数，是第1个图形的五边形数； 第二行从左至右第1个数，是第2个图形的五边形数； 第三行从左至右第1个数，是第4个图形的五边形数； 第四行从左至右第1个数，是第7个图形的五边形数； … ∴第n行从左至右第1个数，是第 个图形的五边形数． ∴第八行从左至右第2个数，是第30个图形的五边形数． 第30个图形的五边形数为：． 故答案为：1335． 【点睛】本题是找规律题，解此题的关键是分析表格中的图形个数与五边形数，排成数表中的五边形数和行数，得出规律． 16．（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）根据合并同类项法则即可得； （2）根据整式的加减法则即可得； （3）先去括号，再计算整式的加减即可得； （4）先去括号，再计算整式的加减即可得． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ； （3）原式， ； （4）原式， ． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据去括号法则去掉式子中的括号，再合并同类项，可得答案. （2）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【点睛】本题考查了去括号与合并同类项，括号前是正号去掉括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号． 18．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）分别求出甲船顺水时的速度和乙船逆水时的速度，进而可求后甲船行驶的距离和乙船行驶的距离，最后相加即可； （2）分别求出甲、乙两船都顺水时的速度，进而可求后甲船行驶的距离和乙船行驶的距离，最后相减即可； （3）由（1）可知后甲船行驶的距离和乙船行驶的距离，再相减即可． 【详解】（1）解：∵甲船顺水，乙船逆水， ∴甲船顺水时的速度为，乙船逆水时的速度为， ∴后甲船行驶，乙船行驶， ∴后两船相距； （2）解：∵甲、乙两船都顺水， ∴甲船顺水时的速度为，乙船顺水时的速度为， ∴后甲船行驶，乙船行驶， ∴后两船相距； （3）解：由（1）可知甲船行驶，乙船行驶， ∴后甲船比乙船多航行． 【点睛】本题考查整式加减的实际应用．掌握顺水速度静水速度水流速度和逆水速度静水速度水流速度是解题关键． 19．(1)方案一：（80x+12000）元，方案二：（64x+16000）元； (2)方案一： 36000元，方案二：35200元；最省钱的购买方案为：先用方案一购买100张办公桌，再用方案二购买200把椅子，所需支付的费用为32800元． 【分析】（1）根据题目中的两种方案要求即可得出这两种方案所需支付的费用两个代数式； （2）把x=300代入（1）中的两个代数式，分别计算即可得到两种方案所需支付的费用，先用方案一购买100张办公桌，再用方案二购买200把椅子，就是最省钱的购买方案，再把有关数据代入计算即可得出此方案所需支付的费用． 【详解】（1）解：∵x＞100， ∴方案一：200×100+80（x-100）=（80x+12000）元， 方案二：0.8×（200×100+80x）=（64x+16000）元； （2）解：当x=300时， 方案一：80×300+12000=36000（元）， 方案二：64×300+16000=35200（元）， 先用方案一购买100张办公桌，再用方案二购买200把椅子， 所需支付的费用为：200×100+0.8×80×（300-100）=32800（元）． 【点睛】本题考查了代数式的求值，正确列出代数式是解题的关键． 20．(1)， (2)， 【分析】（1）去括号，合并同类项，化简后代值计算即可； （2）去括号，合并同类项，进行化简，根据非负性求出后的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：原式． 当时，原式． （2）原式． ∵， ∴， ∴． ∴原式． 【点睛】本题考查整式加减中的化简求值．熟练掌握去括号，合并同类项法则，正确的计算，是解题的关键． 21．(1) 8 8 24 24 8 (2)一个面涂色的小正方体有150个 【分析】（1）根据长方体的分割规律可分别得到4等分时的所得小正方体表面涂色情况，由特殊推广到一般即可得到n等分时所得小正方体表面涂色情况； （2）直接把代入（1）中所得的规律中即可． 【详解】（1）解：由题意可知：把正方体的棱三等分时，小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有个是2个面涂有颜色的，有个是1个面涂有颜色的，还有个各个面都没有涂色；通过观察可以得出：把正方体的棱四等分时，小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有个是2个面涂有颜色的，有个是1个面涂有颜色的，还有个各个面都没有涂色；因此，得出结论：把正方体的棱n等分时，小正方体中有3个面涂有颜色的保持不变为8个，有个是2个面涂有颜色的，有个是1个面涂有颜色的，还有个各个面都没有涂色． 正方体 棱等分数 4等分 等分 3面涂色的正方体 8 个 8  个 2面涂色的正方体 24个 个 1面涂色的正方体 24个 个 各个面都无涂色的正方体 8个 个 故答案为：8 ， 8，24，，24，，8 ，； （2）解：当时，， 所以一个面涂色的小正方体有150个． 【点睛】主要考查了立体图形的认识和用特殊归纳一般规律的方法，关键是通过正方体的特点来得到有关涂色情况的规律． 22．问题（一）：共需条； 问题（二）：横放的木棒为条，纵放的木棒为条； 问题（三）：横放与纵放木棒条数之和为条，竖放木棒条数为条； 实际应用：这个长方体框架的横长是； 拓展应用：需要木棒条． 【分析】本题考查规律型﹣图形变化类问题，学会用分类讨论的思想解决问题.解决本题的关键是理解题意，从特殊到一般探究规律后利用规律即可解决问题. 问题（一）、根据探究一中的规律可以得到当横长是，纵长是时，横放的木棒的条数是条，纵放的木棒的条数是条，分别求出当，时，横放和竖放的木棒的条数，两者相加即为所需木棒的条数； 问题（二）、根据探究一中的规律可以得到当横长是，纵长是时，横放的木棒的条数是条，纵放的木棒的条数是条； 问题（三）、由探究二可知，当长方体框架的横长是，纵长是，高是时，横放与纵放木棒条数之和为条，竖放木棒条数为条； 实际应用：设这个长方体框架的横长是，根据横放与纵放木棒条数之和为条，可以列关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； 拓展应用：根据三棱柱中横放与竖放的木棒的数量与边长之间的关系，分别求出当边长为时，横放木棒的数量、纵放木棒的数量、竖放木棒的数量，把三者相加即可得到所需木棒的总条数． 【详解】问题（一）：解：由规律可知，当横长是，纵长是时， 横放的木棒的条数是条，纵放的木棒的条数是条， 当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条， 共需条； 问题（二）：解：由规律可知 当矩形框架横长是，纵长是时，横放的木棒为 条，纵放的木棒为条； 问题（三）：解：由规律可知 当长方体框架的横长是，纵长是，高是时，横放与纵放木棒条数之和为条，竖放木棒条数为条； 实际应用：设这个长方体框架的横长是， 横放与纵放木棒条数之和为， 解得：， 答：这个长方体框架的横长是； 拓展应用：若按照如图方式搭建一个底面边长是，高是的正三棱柱框架， 横放的木棒条数是条， 纵放木棒条数是条， 之和为条， 竖放木棒条数为条， 共需要木棒条． 23．(1)见解析 (2) (3)经过或秒后点A到点C的距离为3cm (4)的值不会随着t的变化而变化， 【分析】（1）根据题意，在数轴上表示点A、B、C的位置即可； （2）利用数轴上两点间的距离公式解题； （3）分两种情况讨论：点A在点C的左侧或点A在点C的右侧； （4）表示出BA、CB，再相减即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为， 点A，B，C在数轴上表示如图： （2）解：设原点为O，如图， ∴，，∴． 故答案为：． （3）解：①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：，解得：． ②当点A在点C的右侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：，解得：． 综上，经过或秒后点A到点C的距离为3cm． （4）解：的值不会随着t的变化而变化，． 由题意：，， ∵移动t秒后，，， ∴． ∴的值不会随着t的变化而变化，． 【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$