与二次函数相关的参数问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

黄金考点06 与二次函数相关的参数问题（考点总动员） 考法一 含参数二次函数的最值问题 【十年真题*精选】 真题1-1（2017·浙江·高考真题） 1．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值 A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【答案】B 【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B． 【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 真题1-2（2015·湖北·高考真题） 2．为实数，函数在区间上的最大值记为. 当 时，的值最小. 【答案】． 【详解】因为函数，所以分以下几种情况对其进行讨论： ①当时，函数 在区间上单调递增，所以； ②当时，此时 ，，而，所以； ③当 时，在区间上递增，在上递减．当时，取得最 大值； ④当时，在区间上递增，当时，取得最 大值， 则在上递减，上递增，即当 时，的值最小． 故答案为：． 考点：本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题． 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2024高三·全国·专题练习） 3．若函数在上的最小值为1，则实数m的值为（    ） A．－3 B．2 C．－2 D．1 【答案】C 【分析】运用二次函数图像和性质解题即可. 【详解】函数图象的对称轴为，二次函数图象的开口向上， 所以函数在上是增函数，因为函数在上的最小值为1，所以，即，解得． 故选：C. 模拟1-2（2026高三·全国·专题练习） 4．已知函数，求当时，的最大值． 【答案】 【分析】对的取值范围进行分类讨论，由此求得的最大值的表达式. 【详解】二次函数开口向上， ， 当时，， ； 当时，， ， 综上有 模拟1-3（2025高三·全国·专题练习） 5．已知函数．是否存在实数，使得在区间上的最小值为2?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或 【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，然后分，以及讨论，结合二次函数的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得 ， 当时，在上，，故在上是增函数． 因此当时，有最小值，解得，满足题意． 当时，在上，是减函数， 在[a，1]上是增函数，因此当时， 有最小值，解得，均不合题意，故此时无解． 当时，在上，，故在上是减函数． 因此当时，有最小值，解得，满足题意． 综上，或． 【解题规律*总结】 1.对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 2.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 考法二 根据函数的单调性求参数（范围） 【十年真题*精选】 真题2-1（2023·全国·高考真题） 6．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 真题2-2（2020·全国新Ⅱ卷·高考真题） 7．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2025高三·全国·专题练习） 8．若是函数的单调递增区间，则实数a的值为 . 【答案】0 【分析】求出函数的单调递增区间，进而求出值. 【详解】函数的单调递增区间是， 依题意，，所以. 故答案为：0 模拟2-2（2024高三上·安徽合肥·阶段练习） 9．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减， 所以函数在上为增函数，所以，解得. 故选：A. 模拟2-3（2026高三·全国·专题练习） 10．已知为奇函数，则的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可得，结合二次函数单调性分析求解即可. 【详解】令，解得可知函数的定义域为， 因为为奇函数，则，解得， 则，可得， 可知为奇函数，即符合题意， 则，该二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， 所以的单调递增区间是． 故答案为：. 【解题规律*总结】 1.二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解． 2.复合函数的单调性依据“内外层”函数“同增异减”确定. 考法三 根据函数的零点情况求参数范围 【十年真题*精选】 真题3-1（2017·山东·高考真题） 11．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 真题3-2（2022·天津·高考真题） 12．设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（24-25高三下·重庆·阶段练习） 13．对于二次函数，若函数有4个零点，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，由至多有2个根，则的根至多有4个，利用二次函数的图象即可求解. 【详解】令，，由至多有2个根，则的根至多有4个， 故有4个根，所以有两个根，且和各产生2个根， 从而，结合二次函数图象可知，必有， 故选：B． 模拟3-2（2025·浙江绍兴·模拟预测） 14．已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可. 【详解】定义域为， ，所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故选：C. 模拟3-3（2025·山西·三模） 15．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意当时，函数有一个零点，所以只要时，函数有一个零点即可，利用二次函数的相关性质可解. 【详解】因为当时，解得，函数有一个零点； 因此，要使函数有两个零点，只需时，函数有一个零点． 当时，函数对称轴为， 若，只需，解得； 若，只需，可得； 若，有且只有一个零点，不满足条件， 综上，的取值范围为． 故答案为： 【解题规律*总结】 1.函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 2.已知函数零点情况求参数取值范围常用的方法和思路： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 3.（1）形如g(x)＝f (x)－m的含参数函数零点问题可转化为f (x)＝m求解． （2）根据含参数的指数、对数、抽象函数的零点个数求参数的取值范围问题，若能够将参数分离，则常分离参数后求解，若分离参数后的不含参数的函数图象能够作出，则作出函数图象后利用数形结合思想求解． 考法四 含参数二次函数综合问题 【十年真题*精选】 真题4-1（2015·浙江·高考真题） 16．已知函数，记是在区间上的最大值. （1）证明：当时，； （2）当，满足，求的最大值. 【答案】（1）详见解析；（2）. 【详解】（1）分析题意可知在上单调，从而可知 ，分类讨论的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知 ，再由可得， ，即可得证. 试题解析：（1）由，得对称轴为直线，由，得 ，故在上单调，∴，当时，由 ，得，即，当时，由 ，得，即，综上，当时， ；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为.. 考点：1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想. 真题4-2（2015·广东·高考真题） 17．设为实数，函数． （1）若，求的取值范围； （2）讨论的单调性； （3）当时，讨论在区间内的零点个数． 【答案】(1) . (2) 在上单调递增，在上单调递减. (3) 当时，有一个零点；当时，有两个零点. 【详解】试题分析：（1）先由可得，再对的取值范围进行讨论可得的解，进而可得的取值范围；（2）先写函数的解析式，再对的取值范围进行讨论确定函数的单调性；（3）先由（2）得函数的最小值，再对的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个数． 试题解析：（1），因为，所以， 当时，，显然成立；当，则有，所以.所以. 综上所述，的取值范围是. （2） 对于，其对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增； 对于，其对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减. 综上所述，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以. (i)当时，， 令，即（）. 因为在上单调递减，所以 而在上单调递增，，所以与在无交点. 当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点. (ii)当时，， 当时， ，，而在上单调递增， 当时，.下面比较与的大小 因为 所以 结合图象不难得当时，与有两个交点. 综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点. 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点. 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（2025高三·全国·专题练习） 18．已知函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】由解析式得到函数对称轴，讨论对称轴的位置，分别得到函数在区间上的最值，让最大值与最小值的差小于等于4，然后求得实数的取值范围. 【详解】由题意得 则，对称轴． 由题意，，都有成立． ∵， ∴只需在上恒成立即可． ①当，即时，在上单调递增， ∴ 解得，此时． ②当，即时，在上单调递减， ∴， ， 解得，此时，． ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ∴的最大值是与中的较大者． ⅰ）当，即时，∵，∴， ∴，解得，此时，． ⅱ）当，即时，∵，∴， ∴，即，解得， 此时． 综上，实数的取值范围是． 模拟4-2（2026高三·全国·专题练习） 19．已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求，的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数单调性和最值列式求解即可； （2）根据存在性问题结合二次函数最值可得对任意的都成立，结合一次函数性质分析求解. 【详解】（1）因为，且， 可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增， 则，解得. （2）由（1）得， 因为存在，使对任意的都成立， 由（1）可知：在内单调递增，则， 可得，即对任意的都成立， 可得，解得或， 故实数的取值范围为． 模拟4-3（2025高三·全国·专题练习） 20．已知函数函数由下列方式给出：，求函数的最小值． 【答案】答案见解析 【分析】先根据得出函数解析式，再结合三种情况结合单调性得出最小值即可. 【详解】由题意得 并且函数与在处的值相同． ①当时，在上，是增函数；在上，是减函数， ∴的最小值为． ②当时，在，上，是增函数， 在，上，是减函数． ． ⅰ）当时，∵， ∴的最小值为． ⅱ）当时，∵， ∴的最小值为． ③当时，在上，是增函数； 在上，是减函数， ∴的最小值为． 综上，当时，的最小值为； 当时，的最小值为． 【解题规律*总结】 含参数二次函数综合问题，考查的主要方向有求解析式、函数的最值（值域）、函数的单调性、函数的零点、函数的图象关系、不等式恒成立问题等，因此，所涉及的主要思想方法有数形结合思想、分类讨论思想. 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，这部分内容的独立考查较少，常常与其它知识综合考查，如与指数函数、对数函数、三角函数的综合，有时会以分段函数的形式，部分涉及二次函数.主要侧重考查函数图像的辨析、函数单调性的应用、最值问题的解答、不同条件下求参数范围问题、函数的零点问题等等.综合考查直观想象、等价转化、数学运算、数学式子的变形能力，以及逻辑推理、函数方程、数形结合等思想方法. 命题的形式以选择（多选）题、填空题为主，在某些实际问题、立体几何、解析几何、数列、解三角形等最值（范围）问题中，主要考查二次函数图象和性质的应用.分省命题试卷中，也有主观题综合考查含参数二次函数的情况，难度有易、中等或中等以上多种可能情况. 【考点预测*展望】 （含参数二次函数的图象分析） 21．函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的图象得出的正负，结合幂函数特点可得答案. 【详解】对于A，二次函数开口向下，所以，此时与图中符合； 对于B，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，不符合； 对于C，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合； 对于D，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合； 故选：B. （二次函数单调性及双量词求参数问题） 22．已知函数，其中．对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意知，根据函数的单调性求出函数的最值，列出不等式即可求解. 【详解】由题意知， 的对称轴为， 所以在上单调递减，， 在上单调递减，， 所以，解得. 故实数的取值范围是． 故答案为：. （分段函数、二次函数最值问题） 23．已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 【答案】 2（答案不唯一，即可） 4 【分析】分别研究和时函数的最小值情况，确保两个区间内的最小值都不小于，且是整体的最小值，结合两段函数的性质，求解的取值. 【详解】由题意知，原函数中为最小值， ①当时，令，则，函数变为， 求导得，令，则， i）当，即时，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； ii）当，即时，在上单调递增， 最小值. ②当时，，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； 综上所述， . 故答案为：2（答案不唯一，即可）；4 （分段函数与二次函数在区间的零点问题） 24．已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】第一步换元，分两大类：当时，，或当时，，解得或即可得解. 【详解】设，则， 情形一：当时，，解得或， 因为，故不可能有， 从而只能是有唯一的解， 这就要求， 当时，，解得， 当时，，解得，这与矛盾， 此时满足题意的的取值范围是； 情形二：当时，，解得， 这就要求， 由于，故只能是，解得， 这就要求， 此时满足题意的的取值范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. （新定义或数学文化背景下二次函数问题） 25．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”， (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是区间上的“2阶自伴函数”； (2)； (3) 【分析】（1）时，，此时不存在，使得成立，根据定义判断即可； （2）由题意得任意，总存在唯一的使得，进而得对任意，总存在唯一的使得，即，进而求得b的值； （3）函数在上的值域为，故函数在上的值域必定包含区间，进而结合二次函数性质求解. 【详解】（1）时，， 此时不存在，使得， 故根据“2阶自伴函数”的定义可知， 不是区间上的“2阶自伴函数”. （2）由函数为区间上的“1阶自伴函数”， 所以，且对任意， 总存在唯一的，使得成立，即成立， 则，所以， 所以，解得； （3）由函数在上的值域为， 因为是在区间上的“2阶伴随函数”，则对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 所以，即在区间上的值域必定包含区间，且的值域在对应的自变量是唯一的. 又因为函数开口向上，对称轴为， ①当时，在上单调递增，所以， 解得； ②当时，在上单调递减，所以， 解得； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； ④当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 综上，a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄金考点06 与二次函数相关的参数问题（考点总动员） 考法一 含参数二次函数的最值问题 【十年真题*精选】 真题1-1（2017·浙江·高考真题） 1．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值 A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 真题1-2（2015·湖北·高考真题） 2．为实数，函数在区间上的最大值记为. 当 时，的值最小. 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2024高三·全国·专题练习） 3．若函数在上的最小值为1，则实数m的值为（    ） A．－3 B．2 C．－2 D．1 模拟1-2（2026高三·全国·专题练习） 4．已知函数，求当时，的最大值． 模拟1-3（2025高三·全国·专题练习） 5．已知函数．是否存在实数，使得在区间上的最小值为2?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解题规律*总结】 1.对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 2.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 考法二 根据函数的单调性求参数（范围） 【十年真题*精选】 真题2-1（2023·全国·高考真题） 6．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题2-2（2020·全国新Ⅱ卷·高考真题） 7．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2025高三·全国·专题练习） 8．若是函数的单调递增区间，则实数a的值为 . 模拟2-2（2024高三上·安徽合肥·阶段练习） 9．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 模拟2-3（2026高三·全国·专题练习） 10．已知为奇函数，则的单调递增区间为 ． 【解题规律*总结】 1.二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解． 2.复合函数的单调性依据“内外层”函数“同增异减”确定. 考法三 根据函数的零点情况求参数范围 【十年真题*精选】 真题3-1（2017·山东·高考真题） 11．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 A． B． C． D． 真题3-2（2022·天津·高考真题） 12．设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 . 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（24-25高三下·重庆·阶段练习） 13．对于二次函数，若函数有4个零点，则有（   ） A． B． C． D． 模拟3-2（2025·浙江绍兴·模拟预测） 14．已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 模拟3-3（2025·山西·三模） 15．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【解题规律*总结】 1.函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 2.已知函数零点情况求参数取值范围常用的方法和思路： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 3.（1）形如g(x)＝f (x)－m的含参数函数零点问题可转化为f (x)＝m求解． （2）根据含参数的指数、对数、抽象函数的零点个数求参数的取值范围问题，若能够将参数分离，则常分离参数后求解，若分离参数后的不含参数的函数图象能够作出，则作出函数图象后利用数形结合思想求解． 考法四 含参数二次函数综合问题 【十年真题*精选】 真题4-1（2015·浙江·高考真题） 16．已知函数，记是在区间上的最大值. （1）证明：当时，； （2）当，满足，求的最大值. 真题4-2（2015·广东·高考真题） 17．设为实数，函数． （1）若，求的取值范围； （2）讨论的单调性； （3）当时，讨论在区间内的零点个数． 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（2025高三·全国·专题练习） 18．已知函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围． 模拟4-2（2026高三·全国·专题练习） 19．已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求，的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围． 模拟4-3（2025高三·全国·专题练习） 20．已知函数函数由下列方式给出：，求函数的最小值． 【解题规律*总结】 含参数二次函数综合问题，考查的主要方向有求解析式、函数的最值（值域）、函数的单调性、函数的零点、函数的图象关系、不等式恒成立问题等，因此，所涉及的主要思想方法有数形结合思想、分类讨论思想. 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，这部分内容的独立考查较少，常常与其它知识综合考查，如与指数函数、对数函数、三角函数的综合，有时会以分段函数的形式，部分涉及二次函数.主要侧重考查函数图像的辨析、函数单调性的应用、最值问题的解答、不同条件下求参数范围问题、函数的零点问题等等.综合考查直观想象、等价转化、数学运算、数学式子的变形能力，以及逻辑推理、函数方程、数形结合等思想方法. 命题的形式以选择（多选）题、填空题为主，在某些实际问题、立体几何、解析几何、数列、解三角形等最值（范围）问题中，主要考查二次函数图象和性质的应用.分省命题试卷中，也有主观题综合考查含参数二次函数的情况，难度有易、中等或中等以上多种可能情况. 【考点预测*展望】 （含参数二次函数的图象分析） 21．函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． （二次函数单调性及双量词求参数问题） 22．已知函数，其中．对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为 ． （分段函数、二次函数最值问题） 23．已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． （分段函数与二次函数在区间的零点问题） 24．已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是 . （新定义或数学文化背景下二次函数问题） 25．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”， (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$