一元二次方程、不等式 讲义-2026届高三数学一轮复习

黄金考点05 一元二次方程、不等式（考点总动员） 考法一 解一元二次不等式 【十年真题*精选】 真题1-1（2025·全国二卷·高考真题） 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后等价转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】由，可得，所以，故， 故原不等式的解集为. 故选：C. 真题1-2（2024·上海·高考真题） 2．已知则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 真题1-3（2025·上海·高考真题） 3．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2026高三·全国·专题练习） 4．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】二次项系数为正，结合二次函数的图像、一元二次方程的根与一元二次不等式的关系求解即可. 【详解】根据题意，方程有两个根，即和1， 则的解集为或. 故选：C. 模拟1-2（2024高三·全国·专题练习） 5．在上定义的运算，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的新定义运算法则化简不等式，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正确答案 【详解】根据给出在上定义运算 ， 由得，解之得， 故该不等式的解集是． 故选：B 模拟1-3（2026高三·全国·专题练习） 6．求下列关于的不等式的解集：． 【答案】答案见解析 【分析】分解因式后，根据与的大小关系分类讨论求解. 【详解】由，得， 因为，所以， 当时，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． 【解题规律*总结】 1.解不含参数一元二次不等式的一般步骤： (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式． (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2.首选因式分解法，使各一次因式x系数为正. 3.容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． 4.解含参数的一元二次不等式应注意： (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根，需对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． (4)含参数分类讨论问题最后要写综述． 考法二 一元二次不等式与集合问题 【十年真题*精选】 真题2-1（2023·全国·高考真题） 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 真题2-2（2020·全国·高考真题） 8．已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果. 【详解】由解得， 所以， 又因为，所以， 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目. 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2024·青海·二模） 9．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 模拟2-2（2025·辽宁大连·模拟预测） 10．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解出集合，再根据并集含义即可得到答案. 【详解】，， 则. 故选：C. 模拟2-3（2025·全国·一模） 11．设集合，则中的元素个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先解一元二次不等式得出集合A，再根据交集定义计算求解. 【详解】集合， 则. 故选：C . 【解题规律*总结】 1.解不等式，化简集合； 2.根据交集、并集、补集等定义，完成集合运算. 考法三 一元二次不等式与充要条件问题 【十年真题*精选】 真题3-1（2021·天津·高考真题） 12．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若，则，故充分性成立； 若，则或，推不出，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 真题3-2（2019·天津·高考真题） 13．设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 推不出； 由能推出， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选B． 【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件． 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（24-25高三下·上海金山·阶段练习） 14．“”是“”成立的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】求解一元二次不等式，由充分必要条件的概念判断即可. 【详解】， 所以，若成立，不一定成立，即充分性不成立； 若成立，一定成立，即必要性成立， 所以“”是“”成立的必要非充分条件， 故选：B． 模拟3-2（2025·福建泉州·模拟预测） 15．设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由指数函数单调性和一元二次不等式的解法求集合，判断包含关系，再由充分、必要性定义即可得. 【详解】由，， 所以，即是的充分不必要条件. 故选：A 模拟3-3（2024·湖南衡阳·模拟预测） 16．已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】解出集合、，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】或，或， 是的真子集， 因此，是的必要不充分条件. 故选：B 【解题规律*总结】 一元二次不等式与充要条件问题主要运用集合法： p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现. （1）若A⊆B，则p是q的充分条件； （2）若A ⊊B，则p是q的充分不必要条件； 考法四 一元二次不等式与指数、对数函数 【十年真题*精选】 真题4-1（2015·湖北·高考真题） 17．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根号下非负及真数大于零可得函数的定义域. 【详解】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件： ，解之得， 即函数的定义域为， 故选：C． 真题4-2（2015·江苏·高考真题） 18．不等式的解集为 . 【答案】 【详解】试题分析：本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围． , 是一个递增函数； 故答案为. 考点：指数函数的单调性和特殊性 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（2025·湖南长沙·三模） 19．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 模拟4-2（2025·河北·模拟预测） 20．集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，，再根据交集的定义求解即可. 【详解】解：因为，， 所以. 故选：D. 模拟4-3（2024·全国·模拟预测） 21．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】利用绝对值不等式和指数不等式的解法结合集合的运算求解即可. 【分析】 或 或， ． 所以． 故选：B． 【解题规律*总结】 1.与指数函数、对数函数综合考查问题，一般涉及函数定义域、函数的单调性.主要思路就是等价转化成与一元二次不等式相关问题； 2.求函数定义域问题，往往需要解不等式组． 考法五 一元二次方程问题 【十年真题*精选】 真题5-1（2015·重庆·高考真题） 22．“”是“”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】试题分析：时，成立，故是充分的，又当时，即，，故是必要的的，因此是充要条件．故选A． 考点：充分必要条件． 真题5-2（2015·上海·高考真题） 23．方程的解为 ． 【答案】 【详解】设，则 考点：解指对数不等式 【三年模拟*荟萃】 模拟5-1（2025高三·全国·专题练习） 24．已知,是关于的一元二次方程的两个实数根，且,，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次函数的图象和零点存在定理求解的取值范围. 【详解】由题意可得，为函数的两个零点． 因为，，结合二次函数图象，利用零点存在定理可得： ，即，所以． 所以，解得：． 故选：C． 模拟5-2（多选）（24-25高三下·重庆·阶段练习） 25．已知，满足，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据完全平方公式即可判断AB；构造以为两根的一元二次方程，结合即可判断CD． 【详解】， 所以， 解得，故A正确； 所以，即，故B错误； 由得，， ， 构造以为两根的一元二次方程， 则，故CD正确； 故选：ACD． 模拟5-3（24-25高三下·湖南邵阳·阶段练习） 26．已知为锐角，且，使得①；②同时成立，则 ， . 【答案】 【分析】由两角和的正切公式，得到，结合，得到，再由一元二次方程根与系数的关系即可求解. 【详解】存在．由①得， ∴， 将②代入上式得， 因此，，是方程的两根， 解得，． 当时，∵，∴，此时不存在，舍去， 故，， 所以， ∵，均为锐角，∴，． 故答案为：， 【解题规律*总结】 1.解一元二次方程常用方法： （1）配方法；（2）公式法；（3）因式分解法. 2.注意点： (1)指数方程、对数方程相关问题，要转化成代数方程求解，除应用函数性质外，往往应用换元法； (2)解对数方程时要注意检验，避免出现增根. 考法六 一元二次不等式恒成立问题 【十年真题*精选】 真题6-1（2025·天津·高考真题） 27．若，对，均有恒成立，则的最小值为 【答案】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 真题6-2（2018·天津·高考真题） 28．已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】分类讨论：①当时，即：， 整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当时，，则； ②当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当或时，，则； 综合①②可得的取值范围是，故答案为. 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 【三年模拟*荟萃】 模拟6-1（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习） 29．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式，得到，转化为恒成立，结合一元二次不等式的解法，即可得到答案. 【详解】由基本不等式，可得，当且仅当时，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，即恒成立， 又由不等式，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 模拟6-2（2025·甘肃兰州·模拟预测） 30．若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将原不等式变形，然后分和两种情况进行讨论，当时直接判断不等式是否恒成立，当时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】原不等式等价于， 当时，对，不等式恒成立； 当时，则有，解得： 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 模拟6-3（2025高三·全国·专题练习） 31．若对任意实数，恒成立，则 ． 【答案】2 【分析】利用系数相同，令得出或，即可得出，再检验时存在的值使得恒成立即可. 【详解】注意到中系数相同，不妨令，得或， 又对任意实数恒成立， 则当时有，当时有，则有． 下面检验是否能取到． 当时， 恒成立， 当时有恒成立，显然不成立， 则，且恒成立， 故，解得，， 此时对任意实数x，恒成立，所以． 故答案为：. 【解题规律*总结】 1.对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 2.与二次函数结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 【命题规律*总结】纵观近几年全国高考命题，关于一元二次方程、一元二次不等式的考查，比较灵活，除少数独立考查外，更多的是与其它知识交汇综合考查.其中，一元二次不等式与集合问题、与二次函数交汇问题较多.命题的形式以选择（多选）题、填空题为主，也有在主观题中考查解一元二次方程、一元二次不等式的情况，难度基本为中等或中等以下. 【考点预测*展望】 （一元二次不等式与集合运算综合问题） 32．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式得出集合，再根据交集定义计算求解. 【详解】集合，， 则. 故选：D. （函数与一元二次不等式综合问题） 33．已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当，即，又可得， 当时，在上单调递增， 由，可得，解得， 当，即时， 由，可得，所以， 解得， 当，即， 由，得，所以， 因为，所以不等式无解， 综上所述：不等式的解集为. 故选：C. （含参数一元二次不等式恒成立问题） 34．已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以实数a的最小值为. 故答案为：. （一元二次不等式的实际应用） 35．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 ．    【答案】1 【分析】设花卉带的宽度为米，根据题设有求解集，即可确定最小值. 【详解】设花卉带的宽度为米，则，即， 所以，故， 所以花卉带的宽度至少应为1米. 故答案为：1 （解含参数的一元二次不等式） 36．已知，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】化简不等式为，解得方程的两个根为，结合根的大小分类讨论，即可求解. 【详解】由不等式， 即， 方程的两个根为， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 综上所述， 当时，不等式的解集为； 当时，解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄金考点05 一元二次方程、不等式（考点总动员） 考法一 解一元二次不等式 【十年真题*精选】 真题1-1（2025·全国二卷·高考真题） 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 真题1-2（2024·上海·高考真题） 2．已知则不等式的解集为 ． 真题1-3（2025·上海·高考真题） 3．不等式的解集为 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2026高三·全国·专题练习） 4．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 模拟1-2（2024高三·全国·专题练习） 5．在上定义的运算，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 模拟1-3（2026高三·全国·专题练习） 6．求下列关于的不等式的解集：． 【解题规律*总结】 1.解不含参数一元二次不等式的一般步骤： (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式． (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2.首选因式分解法，使各一次因式x系数为正. 3.容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． 4.解含参数的一元二次不等式应注意： (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根，需对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． (4)含参数分类讨论问题最后要写综述． 考法二 一元二次不等式与集合问题 【十年真题*精选】 真题2-1（2023·全国·高考真题） 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 真题2-2（2020·全国·高考真题） 8．已知集合则（    ） A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2024·青海·二模） 9．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 模拟2-2（2025·辽宁大连·模拟预测） 10．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 模拟2-3（2025·全国·一模） 11．设集合，则中的元素个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题规律*总结】 1.解不等式，化简集合； 2.根据交集、并集、补集等定义，完成集合运算. 考法三 一元二次不等式与充要条件问题 【十年真题*精选】 真题3-1（2021·天津·高考真题） 12．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 真题3-2（2019·天津·高考真题） 13．设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（24-25高三下·上海金山·阶段练习） 14．“”是“”成立的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 模拟3-2（2025·福建泉州·模拟预测） 15．设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 模拟3-3（2024·湖南衡阳·模拟预测） 16．已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【解题规律*总结】 一元二次不等式与充要条件问题主要运用集合法： p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现. （1）若A⊆B，则p是q的充分条件； （2）若A ⊊B，则p是q的充分不必要条件； 考法四 一元二次不等式与指数、对数函数 【十年真题*精选】 真题4-1（2015·湖北·高考真题） 17．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 真题4-2（2015·江苏·高考真题） 18．不等式的解集为 . 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（2025·湖南长沙·三模） 19．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 模拟4-2（2025·河北·模拟预测） 20．集合，，则（   ） A． B． C． D． 模拟4-3（2024·全国·模拟预测） 21．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 1.与指数函数、对数函数综合考查问题，一般涉及函数定义域、函数的单调性.主要思路就是等价转化成与一元二次不等式相关问题； 2.求函数定义域问题，往往需要解不等式组． 考法五 一元二次方程问题 【十年真题*精选】 真题5-1（2015·重庆·高考真题） 22．“”是“”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 真题5-2（2015·上海·高考真题） 23．方程的解为 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟5-1（2025高三·全国·专题练习） 24．已知,是关于的一元二次方程的两个实数根，且,，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 模拟5-2（多选）（24-25高三下·重庆·阶段练习） 25．已知，满足，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．的最大值为2 D．的最小值为 模拟5-3（24-25高三下·湖南邵阳·阶段练习） 26．已知为锐角，且，使得①；②同时成立，则 ， . 【解题规律*总结】 1.解一元二次方程常用方法： （1）配方法；（2）公式法；（3）因式分解法. 2.注意点： (1)指数方程、对数方程相关问题，要转化成代数方程求解，除应用函数性质外，往往应用换元法； (2)解对数方程时要注意检验，避免出现增根. 考法六 一元二次不等式恒成立问题 【十年真题*精选】 真题6-1（2025·天津·高考真题） 27．若，对，均有恒成立，则的最小值为 真题6-2（2018·天津·高考真题） 28．已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟6-1（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习） 29．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 模拟6-2（2025·甘肃兰州·模拟预测） 30．若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 模拟6-3（2025高三·全国·专题练习） 31．若对任意实数，恒成立，则 ． 【解题规律*总结】 1.对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 2.与二次函数结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 【命题规律*总结】纵观近几年全国高考命题，关于一元二次方程、一元二次不等式的考查，比较灵活，除少数独立考查外，更多的是与其它知识交汇综合考查.其中，一元二次不等式与集合问题、与二次函数交汇问题较多.命题的形式以选择（多选）题、填空题为主，也有在主观题中考查解一元二次方程、一元二次不等式的情况，难度基本为中等或中等以下. 【考点预测*展望】 （一元二次不等式与集合运算综合问题） 32．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． （函数与一元二次不等式综合问题） 33．已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． （含参数一元二次不等式恒成立问题） 34．已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． （一元二次不等式的实际应用） 35．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 ．    （解含参数的一元二次不等式） 36．已知，解关于的不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$