函数的值域（最值） 讲义-2026届高三数学一轮复习

黄金考点10  函数的值域（最值）（考点总动员） 考法一 配方法 【十年真题*精选】 真题1-1（2024·全国·高考真题） 1．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 真题1-2（2016·浙江·高考真题） 2．已知函数f(x)=x2+bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2025·浙江嘉兴·二模） 3．若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 模拟1-2（2025·江西·模拟预测） 4．函数是（   ） A．奇函数，且最大值为5 B．奇函数，且最小值为 C．偶函数，且最大值为5 D．偶函数，且最小值为 模拟1-3（2025·贵州毕节·模拟预测） 5．已知函数的图象的对称中心在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 1.对于二次三项式，可直接应用配方法，结合二次函数的性质求解； 2.利用换元法或整体代换，转化成二次三项式，通过配方，明确最值． 考法二 单调性质法 【十年真题*精选】 真题2-1（2021·北京·高考真题） 6．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 真题2-2（2015·山东·高考真题） 7．已知函数 的定义域和值域都是 ，则 . 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2025·云南昆明·模拟预测） 8．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 模拟2-2（24-25高三下·全国·强基计划） 9．已知，的值域为，则所有可能值为 ． 模拟2-3[湖北重点高中2024联考] 10．已知,则函数的最大值与最小值的和为 ． 【解题规律*总结】 先确定函数的单调性，再由单调性求值域． 考法三 不等式性质法 【十年真题*精选】 真题3-1（2017·浙江·高考真题） 11．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值 A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 真题3-2（2016·北京·高考真题） 12．已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x−y的最大值为 A．−1 B．3 C．7 D．8 真题3-3（2015·湖北·高考真题） 13．设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是 A．3 B．4 C．5 D．6 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2024·北京怀柔·模拟预测） 14．已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 模拟3-2（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习） 15．已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 模拟3-3（2025·上海·三模） 16．对于实数，若，则的最大值为 . 【解题规律*总结】 1.根据函数的结构形式，应用不等式性质运算求解； 2.常常先对函数式“分离常数”，然后应用不等式性质运算求解． 考法四 基本不等式法 【十年真题*精选】 真题4-1（2021·全国·高考真题） 17．下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 真题4-2（2020·全国·高考真题） 18．已知函数f(x)=sinx+，则（） A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称 真题4-3（2021·全国·高考真题） 19．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（2024·内蒙古赤峰·三模） 20．下列函数最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 模拟4-2（2024·全国·模拟预测） 21．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 模拟4-3（2025·陕西汉中·模拟预测） 22．已知函数，，，若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【解题规律*总结】 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，用基本不等式求出值域（最值）. （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 考法五 数形结合法 【十年真题*精选】 真题5-1（2019·浙江·高考真题） 23．已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是 . 真题5-2（2017·北京·高考真题） 24．已知,,且,则的取值范围是 . 【三年模拟*荟萃】 模拟5-1（2024·安徽淮北·二模） 25．当实数变化时，函数最大值的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 模拟5-2（2024·全国·模拟预测） 26．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 模拟5-3（24-25高三下·北京·强基计划） 27．求的值域. 【解题规律*总结】 1.根据函数的解析式，画出函数图象，观察期最高点、最低点，求出最值； 2.根据问题的几何意义，借助于图形特征，形象直观的确定除值域、最值. 考法六 由函数最值（值域）求参数 【十年真题*精选】 真题6-1（2015·福建·高考真题） 28．若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是 ． 真题6-2（2017·浙江·高考真题） 29．已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是 【三年模拟*荟萃】 模拟6-1（24-25高三上·甘肃酒泉·期末） 30．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模拟6-2（2025高三·全国·专题练习） 31．已知函数的值域是，则 ， ． 模拟6-3（24-25高三下·北京·开学考试） 32．已知函数，若存在最大值，则的取值范围是 . 【解题规律*总结】 1.从求最值、值域入手，建立方程（组）、不等式组 2.最值（值域）问题与恒成立问题的相互转化： （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 考法七 分离常数法 【十年真题*精选】 真题7-1（2016·北京·高考真题） 33．函数的最大值为 . 【三年模拟*荟萃】 模拟7-1（2025高三·全国·专题练习） 34．，，则的值域为 ． 模拟7-2（2024高三·全国·专题练习） 35．函数的值域为 . 模拟7-3（2024高三·全国·专题练习） 36．函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ． 【解题规律*总结】 当分式的分子、分母同次式（或利用换元法，转化成此种类型），按部分分式法，分离常数加以转化. 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，对函数值域、最值的考查，一直是一个命题热点.以常见函数、复合函数、分段函数为载体，灵活考查求最值（值域）的多种方法，如配方法、单调性质法、不等式性质法、基本不等式法、图象法（数形结合法）、分离常数法、判别式法、导数法等；考查已知函数最值、值域求参数问题，以及不等式恒成立问题与最值问题的相互转化问题，凸显数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养．从命题趋势看，多函数类型、有条件的二元函数、多选题型以及在解三角形、立体几何、平面解析几何、平面向量等最值问题中的应用，值得特别关注.命题难度有容易、中等或中等以上等多种可能. 【考点预测*展望】 （利用基本不等式求二元函数的最值）（24-25高三下·海南·阶段练习） 37．定义二元函数.若实数，，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 （“新定义”函数的最值（值域）问题） 38．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． （多角度考查求函数最值的方法）（24-25高三下·山西大同·期末） 39．设正实数m、n满足，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．mn的最大值为 D．的最小值为 （抽象函数的最值（值域）问题） 40．若函数的值域是，则函数的值域是 . （不等式恒成立与最值的综合问题）（2025高三·全国·专题练习） 41．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄金考点10  函数的值域（最值）（考点总动员） 考法一 配方法 【十年真题*精选】 真题1-1（2024·全国·高考真题） 1．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 真题1-2（2016·浙江·高考真题） 2．已知函数f(x)=x2+bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】试题分析：由题意知，最小值为． 令，则， 当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”； 当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”．故选A． 考点：充分必要条件． 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2025·浙江嘉兴·二模） 3．若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数运算可得，再由二次函数可得的最大值. 【详解】因为，所以即， 故即，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 模拟1-2（2025·江西·模拟预测） 4．函数是（   ） A．奇函数，且最大值为5 B．奇函数，且最小值为 C．偶函数，且最大值为5 D．偶函数，且最小值为 【答案】C 【分析】根据奇偶性的定义先判断奇偶性，利用二倍角的余弦公式得，利用换元法即可求解. 【详解】因为，所以是偶函数，故AB错误； 又因为， 令（），， 则在上单调递减，， 故选：C. 模拟1-3（2025·贵州毕节·模拟预测） 5．已知函数的图象的对称中心在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，令，可证函数是奇函数，进而可得关于点对称，然后结合二次函数的性质可求的最小值. 【详解】由， 可得，令， 函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数，所以函数图象关于原点对称， 所以关于点对称， 因为的对称中心在直线上，所以， 所以, 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 【解题规律*总结】 1.对于二次三项式，可直接应用配方法，结合二次函数的性质求解； 2.利用换元法或整体代换，转化成二次三项式，通过配方，明确最值． 考法二 单调性质法 【十年真题*精选】 真题2-1（2021·北京·高考真题） 6．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 真题2-2（2015·山东·高考真题） 7．已知函数 的定义域和值域都是 ，则 . 【答案】 【详解】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解； 若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以. 考点：指数函数的性质. 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2025·云南昆明·模拟预测） 8．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 模拟2-2（24-25高三下·全国·强基计划） 9．已知，的值域为，则所有可能值为 ． 【答案】 【分析】首先得，分和两种情况讨论，在时，可对进一步分类讨论得函数单调性、值域情况，从而可列方程组求解，同理可得时的情况. 【详解】的对称轴为，开口向下， 在上单调递增，在上单调递减， 由题意，所以， 情形一：若， （i）当，可得值域为， 所以，方程组无解， 若，可得值域为， 所以，方程组无解， 若，时，可得在处取得最大值， 最小值在或处取得， 所以，解得， 若，可得（舍去，因为与矛盾）， 若，即，解得，（舍去，因为与矛盾）， 所以， 情形二：若，同理可得. 故答案为：. 模拟2-3[湖北重点高中2024联考] 10．已知,则函数的最大值与最小值的和为 ． 【答案】16 【分析】根据对勾函数的性质求解即可. 【详解】解：由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，， 所以， 所以. 故答案为： 【解题规律*总结】 先确定函数的单调性，再由单调性求值域． 考法三 不等式性质法 【十年真题*精选】 真题3-1（2017·浙江·高考真题） 11．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值 A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【答案】B 【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B． 【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 真题3-2（2016·北京·高考真题） 12．已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x−y的最大值为 A．−1 B．3 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意得，线段AB的方程：，， ∴， 当时等号成立，即的最大值为7. 故选：C. 【点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④导数法；⑤不等式法；⑥图象法．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握． 真题3-3（2015·湖北·高考真题） 13．设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】因为表示不超过的最大整数．由得， 由得， 由得，所以， 所以， 由得， 所以， 由得，与矛盾， 故正整数的最大值是4． 考点：函数的值域，不等式的性质． 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2024·北京怀柔·模拟预测） 14．已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 模拟3-2（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习） 15．已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案. 【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 模拟3-3（2025·上海·三模） 16．对于实数，若，则的最大值为 . 【答案】3 【分析】解绝对值不等式得出，，再利用不等式的性质求出即可求出最值. 【详解】由题意可得，，， 则，，则，得， 故，则的最大值为. 故答案为：. 【解题规律*总结】 1.根据函数的结构形式，应用不等式性质运算求解； 2.常常先对函数式“分离常数”，然后应用不等式性质运算求解． 考法四 基本不等式法 【十年真题*精选】 真题4-1（2021·全国·高考真题） 17．下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 真题4-2（2020·全国·高考真题） 18．已知函数f(x)=sinx+，则（） A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称 【答案】D 【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D. 【详解】可以为负，所以A错； 关于原点对称； 故B错； 关于直线对称，故C错，D对 故选：D 【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题. 真题4-3（2021·全国·高考真题） 19．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（2024·内蒙古赤峰·三模） 20．下列函数最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数性质，基本不等式确定最小值后判断． 【详解】选项A，时，，最小值不是4，A错； 选项B，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，B正确； 选项CD中，当时，函数最小值为0，CD均错． 故选：B． 模拟4-2（2024·全国·模拟预测） 21．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式和可得，化简可得，令，利用换元法，结合对勾函数的性质计算即可求解. 【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以． 因为， 令，则，， 所以， 由对勾函数在上单调递增，则当时函数取到最小值， 所以当时，， 所以. 故选：B． 模拟4-3（2025·陕西汉中·模拟预测） 22．已知函数，，，若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由结合对数的运算性质可得，利用基本不等式1的代换即可求得最小值. 【详解】由题意可知：的定义域为， 令，解得；令，解得； 则当时，，故，所以； 当时，，故，所以， 所以； 故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【解题规律*总结】 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，用基本不等式求出值域（最值）. （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 考法五 数形结合法 【十年真题*精选】 真题5-1（2019·浙江·高考真题） 23．已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是 . 【答案】 【分析】从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解. 【详解】使得， 使得令，则原不等式转化为存在， 要求实数的最大值，不妨令则，即，， 即的最大值是 真题5-2（2017·北京·高考真题） 24．已知,,且,则的取值范围是 . 【答案】 【详解】试题分析：，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值.因此的取值范围为. 【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单. 【三年模拟*荟萃】 模拟5-1（2024·安徽淮北·二模） 25．当实数变化时，函数最大值的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先对内函数对应的方程的根的情况分类讨论，得出时，结果为16，对于时，求出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得. 【详解】若，即时，，其对称轴为，， 此时，因，故的最小值为16； 若，由可得， （Ⅰ）如图1，当时，即时，在上递减， 在上递增， 在上递减，在上递增，又， ① 当时，，故，而在上单调递 减，则此时，； ② 当时，，故，而在上单调 递增，则此时，. （Ⅱ）如图2，当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则此时，而在上单调递减，则. 综上，函数最大值的最小值为8. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题主考查绝对值函数在给定区间上的最值问题，属于难题. 解决绝对值函数的方法，主要是根据其内部函数的特点，结合图象，就参数分类讨论去掉绝对值，再利用函数的单调性，即可求其最值. 模拟5-2（2024·全国·模拟预测） 26．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出在内的图象，数形结合，将问题转化为斜率问题求解即可. 【详解】由得，作出在内的图象如图所示， 设， 直线恒过定点， 直线的斜率，直线的斜率， 所以数形结合可知，即的取值范围为． 故答案为：.      模拟5-3（24-25高三下·北京·强基计划） 27．求的值域. 【答案】 【分析】设，问题化为求的范围，数形结合确定值域即可. 【详解】令， 设，如下图示， 则，当且仅当在线段的延长线上时取等号， 当时，直线可近似看作平行关系，此时， 综上，目标式的范围是. 【解题规律*总结】 1.根据函数的解析式，画出函数图象，观察期最高点、最低点，求出最值； 2.根据问题的几何意义，借助于图形特征，形象直观的确定除值域、最值. 考法六 由函数最值（值域）求参数 【十年真题*精选】 真题6-1（2015·福建·高考真题） 28．若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】试题分析：由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围. 考点：对数函数的性质及函数的值域. 【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数的取值范围. 真题6-2（2017·浙江·高考真题） 29．已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是 【答案】 【详解】，分类讨论： ①当时，， 函数的最大值，舍去； ②当时，，此时命题成立； ③当时，，则： 或，解得：或 综上可得，实数的取值范围是． 【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论． 【三年模拟*荟萃】 模拟6-1（24-25高三上·甘肃酒泉·期末） 30．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围，再与值域对比求实数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减， 此时； 当时，． ①若，则在上单调递增，此时， 又函数的值域，不合题意； ②若，则，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域，则， 解得．综上所述：． 故选：C. 模拟6-2（2025高三·全国·专题练习） 31．已知函数的值域是，则 ， ． 【答案】 3 【分析】首先将函数变形为，这个方程组有解，则判别式大于0，再由韦达定理即可求的结果. 【详解】将函数变形为． 当时，这个关于x的方程有解， 则，即． 由题设知，是方程的两个根， 根据韦达定理，得，， 解得，． 当时，，也满足题意． 故答案为：   模拟6-3（24-25高三下·北京·开学考试） 32．已知函数，若存在最大值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数有最大值，结合一次函数、二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当时，在上值域为，显然不存在最大值； 当时，在上，而在上最大值为，满足题设； 当时，在上值域为， 若时，在上最大值为， 此时，故存在最大值，满足题设； 若时，在上最大值为， 此时只需，则，即， 故，存在最大值，满足题设； 综上，. 故答案为： 【解题规律*总结】 1.从求最值、值域入手，建立方程（组）、不等式组 2.最值（值域）问题与恒成立问题的相互转化： （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 考法七 分离常数法 【十年真题*精选】 真题7-1（2016·北京·高考真题） 33．函数的最大值为 . 【答案】2 【分析】分离常量，由函数可得函数单调递减，然后求解函数的最大值即可. 【详解】[方法一]：分离常量法 由函数，得在单调递减， 即. 故答案为：2. [方法二]：换元法 由函数，令，，得， 可知在是单调递减的，即. 故答案为：2. [方法三]：反函数法 由函数，得，由，得， 从而有，即. 故答案为：2. [方法四]：函数图像法 由函数，由在单调递增， 得在单调递减，即. 故答案为：2. 【三年模拟*荟萃】 模拟7-1（2025高三·全国·专题练习） 34．，，则的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数解析式可得，令，通过换元法结合函数单调性可求函数值域. 【详解】由题意得，． 令，则，则可化为． ∵函数，在上均为增函数， ∴在上为增函数， ∵时，，时，， ∴的值域为． 故答案为：. 模拟7-2（2024高三·全国·专题练习） 35．函数的值域为 . 【答案】 【分析】先运用常数分离法化简分式函数，再利用双勾函数的单调性求函数的值域即得. 【详解】， ，设， 因在上单调递增，则， 故， 故函数的值域为. 故答案为：. 模拟7-3（2024高三·全国·专题练习） 36．函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ． 【答案】 ## 【分析】令，化简得，令，，利用对勾函数的性质求解最值即可． 【详解】令，则，∵，∴， ∴， 令，， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵，， ∴，， ∴函数在 上的最大值和最小值分别为和． 故答案为：；. 【解题规律*总结】 当分式的分子、分母同次式（或利用换元法，转化成此种类型），按部分分式法，分离常数加以转化. 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，对函数值域、最值的考查，一直是一个命题热点.以常见函数、复合函数、分段函数为载体，灵活考查求最值（值域）的多种方法，如配方法、单调性质法、不等式性质法、基本不等式法、图象法（数形结合法）、分离常数法、判别式法、导数法等；考查已知函数最值、值域求参数问题，以及不等式恒成立问题与最值问题的相互转化问题，凸显数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养．从命题趋势看，多函数类型、有条件的二元函数、多选题型以及在解三角形、立体几何、平面解析几何、平面向量等最值问题中的应用，值得特别关注.命题难度有容易、中等或中等以上等多种可能. 【考点预测*展望】 （利用基本不等式求二元函数的最值）（24-25高三下·海南·阶段练习） 37．定义二元函数.若实数，，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合基本不等式，配方法求出最小值. 【详解】二元函数，则 ，当且仅当时取等号， 故选：B （“新定义”函数的最值（值域）问题） 38．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解； 方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解； 【详解】方法一：函数， 因为，所以， 所以.所以. 所以，即. 当时，； 当时，. 故的值域为. 故选：B. 方法二：由，得. 因为，所以，解得. 当时，； 当时，. 所以的值域为. 故选：B. （多角度考查求函数最值的方法）（24-25高三下·山西大同·期末） 39．设正实数m、n满足，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．mn的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】由题设得，结合指数函数性质判断A；应用三角换元、辅助角公式及正弦型函数性质求的范围判断B；应用基本不等式求最值判断C、D. 【详解】对于A，因为正实数m，n满足，则，，故，正确； 对于B，设，，，满足正实数m，n的关系式， 所以， 由于，所以，所以，错误； 对于C，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，正确； 对于D，因为，可得，当且仅当时等号成立，正确． 故选：ACD （抽象函数的最值（值域）问题） 40．若函数的值域是，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为， 函数变为，， 由对勾函数的性质知在上递减，在上递增， 时，，而时，，时，，即， 所以原函数值域是. 故答案为：. （不等式恒成立与最值的综合问题）（2025高三·全国·专题练习） 41．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 【答案】4 【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】若，，恒成立， 即恒成立， 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解， 故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又，故， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故答案为：4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$