函数的单调性 讲义-2026届高三数学一轮复习

黄金考点09   函数的单调性（考点总动员） 考法一 判断多个解析式的单调性 【十年真题*精选】 真题1-1（2023·北京·高考真题） 1．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 真题1-2（2021·全国·高考真题） 2．下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意， 故选：D. 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2024·河南信阳·模拟预测） 3．下列函数中，在其定义域上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对数函数在其定义域上单调递增，A选项不满足条件； 为常函数，在其定义域上没有单调性，B选项不满足条件； 在其定义域上单调递增，C选项不满足条件； ，在其定义域上单调递减，D选项满足条件. 故选：D. 模拟1-2（2025·北京海淀·三模） 4．下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的单调性可判断AC；对求导可判断B；由正弦函数的性质可判断D. 【详解】对于A，因为，在上单调递增，故A正确； 对于B，， 当时，， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，的定义域为， ，所以为偶函数， 因为，所以由幂函数的性质知在上单调递增， 由偶函数的性质可得：在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，, 由的单调性知，在不具备严格的单调性， 所以在上不具备严格的单调性，故D错误. 故选：A. 模拟1-3（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习） 5．下列函数中，在其定义域上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数的解析式直接判断选项AB，利用导数判断选项CD. 【详解】A.因为 在上是增函数，在上是减函数，所以在上是增函数，故A正确； B.在区间和上都是增函数，但在定义域内不是增函数，故B错误； C.因为，所以， 由，得， 所以在上是减函数，故C错误； D.因为，所以， 所以在上是增函数，故D正确. 故选：AD 【解题规律*总结】 确定函数单调性（区间）的4种常用方法 （1）定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘（除）或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断． （2）图象法：如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性． （3）熟悉一些常见的基本初等函数的单调性. （4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性． 考法二 求函数的单调区间 【十年真题*精选】 真题2-1（2017·全国·高考真题） 6．函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t=，则y=lnt， ∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数； x∈(4,+∞)时,t=为增函数； y=lnt为增函数， 故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D. 点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数. 当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增； 当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增. 简称为“同增异减”. 真题2-2（2017·全国·高考真题） 7．已知函数，则 A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【详解】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C． 【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心． 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2026高三·全国·专题练习） 8．已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知，该函数的单调递增区间为和， 故选：B． 模拟2-2[山东泰安肥城2024月考] 9．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得，即，解得或， 令（或），则， 因为的对称轴为， 所以在上递减，在上递增， 因为在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增. 故选：C 模拟2-3. 10．函数的单调递增区间是 . 【答案】## 【分析】由复合函数单调性进行求解. 【详解】因为在R上单调递增，故的单调递增区间即为的单调递增区间， 的对称轴为，故或为的单调递增区间， 故的单调递增区间为或. 故答案为： 【解题规律*总结】 1.利用基本初等函数的单调区间 2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间. 3.形如的函数为，的复合函数，为内层函数，为外层函数. 当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增； 当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增. 简称为“同增异减”. 4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间. 5.特别提醒：（1）单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y＝在（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数，而只能写成在（－∞，0）和（0，＋∞）上是减函数． （2）区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点． 考法三 根据函数的单调性求参数 【十年真题*精选】 真题3-1（2023·全国·高考真题） 11．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 真题3-2（2024·全国·高考真题） 12．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 真题3-3（2019·北京·高考真题） 13．设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 -1; . 【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围. 【详解】若函数为奇函数,则， 对任意的恒成立. 若函数是上的增函数,则恒成立,. 即实数的取值范围是 【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查. 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2024·广东揭阳·二模） 14．已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 模拟3-2（2025·陕西西安·模拟预测） 15．若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 模拟3-3（2025·江苏南通·模拟预测） 16．已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数和对数函数性质即可得到不等式组，解出即可. 【详解】当时，，其在上单调递增， 若在单调递增，，所以. 故选：D． 【解题规律*总结】 1.利用单调性求参数的范围（或值）的方法 （1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； （2）需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． （3）注意函数单调性呈现的三种方式：定义式、比值式、x2－x1与f（x2）－f（x1）关系式. 2.利用分离参数法； 3.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）a≥f（x）恒成立⇔a≥f（x）max；（2）a≤f（x）恒成立⇔a≤f（x）min. 4.若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的． 考法四 比较抽象函数值的大小 【十年真题*精选】 真题4-1（2017·天津·高考真题） 17．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意：， 且：， 据此：， 结合函数的单调性有：， 即. 本题选择C选项. 【考点】 指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式. 真题4-2（2019·全国·高考真题） 18．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】是R的偶函数，． ， 又在(0，+∞)单调递减， ∴， ，故选C． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（2025·重庆·三模） 19．已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 【答案】A 【分析】根据函数为偶函数，推出函数的图象关于直线对称，再由条件推出函数在上单调递增，于是可得，利用幂和对数的运算性质和换底公式，以及对数函数的单调性化简比较得，再由的单调性即可判断. 【详解】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称， 因对任意且都有，即函数在单调递增. 因，， 由，可得， 又由对称性可得：， 故再由单调性，可得，即. 故选：A. 模拟4-2（24-25高三·重庆·期末） 20．已知函数满足：①定义域为，②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，，且，都有，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由②得关于对称，由③得关于对称，由④得在上单增，根据得出的信息得的周期并画出的草图，将其都转化到同一个单调区间上看图即可得结果． 【详解】∵在R上为偶函数， ∴，∴关于对称. ∵在R上为奇函数，∴， ∴关于对称，且， ∵，∴（将上式中的x换成）①， 又∵，∴②， ∴由①②得：③， ∴由③得：④（将③中的x换成）， ∴由③④得：， ∴的一个周期为，且，关于对称， 又∵对任意的，且，都有， ∴在上单调递增， ∴在一个周期内的草图为： ∴， ， ∴如图所示：， 即：， 故选：C． 模拟4-3[天津河西区2024期中] 21．定义在上的偶函数在上是增函数，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先比较出，结合函数奇偶性得到在上单调递减，从而得到，进而由函数奇偶性得到答案. 【详解】，，， 因为定义在上的偶函数在上是增函数， 所以在上单调递减， 因为，所以， 又， 故. 故选：D 【解题规律*总结】 1.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 2.先构造函数，确定函数的单调性，再比较函数值大小． 3.与导数等综合考查是一种新趋势. 考法五 解抽象函数不等式 【十年真题*精选】 真题5-1（2020·山东·高考真题） 22．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 真题5-2（2017·全国·高考真题） 23．函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 是奇函数，故 ；又 是减函数，， 即 则有 ，解得 ，故选D. 【三年模拟*荟萃】 模拟5-1（2025·云南·模拟预测） 24．已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，设函数，则在上递增，判断也是是定义在R上的奇函数，可得在上递增，分类讨论列不等式求解即可. 【详解】因为对任意的，均有成立，不妨设， 则，所以， 令，则在上递增， 因为是定义在R上的奇函数，所以是定义在R上的奇函数， 所以在上递增， 不等式化为， 因为，所以，即，所以， 则，即：，所以， 或，即：，所以， 所以不等式的解集为， 故选：A． 模拟5-2（2025·陕西安康·模拟预测） 25．已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数图象关于中心对称可得，又因为在上单调递减可推得结合函数关于中心对称进而推得在上单调递减.再利用函数的单调性即可求得的范围. 【详解】由函数的图象关于中心对称，则. 又因为在上单调递减，所以时，， 且在上单调递减，且，可得在上单调递减. 又因为，所以可得， 则，得. 故答案为：. 模拟5-3[河北沧衡八校2024期中] 26．已知函数对于任意x，，总有，当时，，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用赋值法判定函数的奇偶性与单调性，再根据条件求出，根据单调性解不等式即可. 【详解】令得， 令，得，则为奇函数， 设，则， 因为当时，，所以，则， 所以在R上单调递增． 由，得， 所以． 可化为，所以， 解得． 故答案为： 【解题规律*总结】 1.单调性质法：根据函数解析式，结合函数的单调性，讨论不同区间对应解析式的x范围，然后取并. 2.图象法：根据题中所给的函数解析式，画出函数图像，从图中发现是不等式成立的x范围. 3.求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f（g（x））＞f（h（x））的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g（x）＞h（x）（或g（x）＜h（x））． 考法六 根据解析式判断函数的奇偶性、单调性 【十年真题*精选】 真题6-1（2020·全国·高考真题） 27．设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果. 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 真题6-2（2020·全国·高考真题） 28．设函数,则（    ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 真题6-3（2017·北京·高考真题） 29．已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 【答案】A 【详解】分析：讨论函数的性质，可得答案. 详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数， 又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数． 故选A. 点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题. 【三年模拟*荟萃】 模拟6-1（2025·广东·三模） 30．下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性及单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是； 对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是； 对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是； 对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是. 故选：A 模拟6-2（24-25高三上·天津河北·期末） 31．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数，递减区间是 B．是奇函数，递减区间是 C．是偶函数，递增区间是 D．是偶函数，递增区间是 【答案】B 【分析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断 【详解】的定义域为R，且， 所以函数为奇函数， 将函数去掉绝对值得， 画出函数的图象，如图，观察图象可知， 在上单调递减. 故选：B 模拟6-3（2025·北京·模拟预测） 32．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性的定义和函数的单调性可逐一判断各选项即得. 【详解】对于A，若，函数定义域为，，即函数不是奇函数，故A错误； 对于B，的定义域为，关于原点对称，但， 故函数不是奇函数，即B错误； 对于C，函数的定义域为，但， 故函数不是奇函数，即C错误； 对于D，的定义域为，且，即函数是奇函数， 且因，函数在上单调递增，故D正确. 故选：D. 【解题规律*总结】 函数奇偶性的三个关注点． ①若奇函数在原点处有定义，则必有f（0）＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合； ③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，对函数单调性的考查，一直是一个命题热点，主要考查内容聚焦主干知识与关键能力.如以常见函数为载体，判断函数的单调性、确定复合函数的单调区间，凸显数学抽象、数学运算的核心素养；又如与不等式、方程等相结合，根据函数的单调性或单调区间求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养；还有与函数的奇偶性等性质结合，考查单调性的应用--求最值、比较大小、解不等式等，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．从命题趋势看，以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性等，与导数的应用结合，比较函数值大小等，值得关注“新定义”函数的单调性问题.命题难度有容易、中等或中等以上等多种可能. 【考点预测*展望】 （综合考查抽象函数的单调性、奇偶性、对称性） 33．已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】根据是奇函数，得到的图象关于点对称，由图像关于直线对称可知为偶函数，结合函数在上单调递增，得到在上单调递减，再求出函数的周期性得到答案. 【详解】是奇函数， ，即的图象关于点对称， 又在上单调递增， 在上单调递增，即在上单调递增. 由，可得， 由图像关于直线对称可知为偶函数， ∴在上单调递减， ， ， 是周期函数，最小正周期为4， ∵，， ∴在上的单调性和在上的单调性相同， 在上单调递减. 故选：C. （根据分段函数的单调性求参数范围）（2025·河北秦皇岛·模拟预测） 34．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数研究单调性，结合在上单调递减，得，解出即可. 【详解】由题意有：当时，，所以， 所以，当时，，所以，所以， 又在上单调递减，所以，解得，所以， 故选：C. （与导数结合、根据函数的奇偶性和单调性解不等式）（24-25高三下·上海·阶段练习） 35．定义在上的函数为奇函数，其导数为，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由奇函数的性质结合题意可得出函数在上单调递减，不等式可变为，由的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】令，当时，， 所以在上单调递减，又因为函数为定义在上奇函数， 为定义在上奇函数，所以为定义在上的奇函数， 则在上单调递减，即函数在上单调递减， 所以由可得：， 即，所以， 故选：C. （“新定义”函数的单调性问题）（2025·辽宁·二模） 36．若函数满足：存在非零常数，对任意，，则称是“衰减函数”．已知函数为上的奇函数，且当时，，若为“衰减函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用绝对值的性质，得，再利用奇函数的性质，得到的图象，再利用题设定义，数形结合，即可求解. 【详解】当，即时，； 当，即时，， 所以当时，，因为为奇函数，所以其图象关于原点对称， 作出的大致图象，如图所示， 因为为“衰减函数”，所以在上恒成立， 所以将的图象向右平移个单位长度后得到的图象不在图象的上方， 由图象知点向右平移6个单位长度后得点不在点的左边， 所以，解得． 故选：D． （综合考查函数单调性的应用）（2025·湖南·三模） 37．已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小值为 C．为R上的增函数 D．关于x的不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，赋值推理判断AB；利用函数单调性定义推理判断C；将不等式等价转化，再利用单调性求解. 【详解】对于A，令，则，而，解得，A正确； 对于B，令，则，，假设存在使得， 对任意实数x，有， 此时为常数函数，与矛盾，即不存在使得，则，B错误； 对于C，由，得， ，且，则，又当时，，则， 又恒成立，因此 ， 即，因此为R上的增函数，C正确； 对于D，，则， ，不等式 ，令，由，即， 解得或，即或，而为R上的增函数，， 于是或，不等式的解集为，D正确. 故选：ACD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄金考点09   函数的单调性（考点总动员） 考法一 判断多个解析式的单调性 【十年真题*精选】 真题1-1（2023·北京·高考真题） 1．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 真题1-2（2021·全国·高考真题） 2．下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2024·河南信阳·模拟预测） 3．下列函数中，在其定义域上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 模拟1-2（2025·北京海淀·三模） 4．下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 模拟1-3（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习） 5．下列函数中，在其定义域上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 确定函数单调性（区间）的4种常用方法 （1）定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘（除）或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断． （2）图象法：如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性． （3）熟悉一些常见的基本初等函数的单调性. （4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性． 考法二 求函数的单调区间 【十年真题*精选】 真题2-1（2017·全国·高考真题） 6．函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 真题2-2（2017·全国·高考真题） 7．已知函数，则 A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2026高三·全国·专题练习） 8．已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 模拟2-2[山东泰安肥城2024月考] 9．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 模拟2-3. 10．函数的单调递增区间是 . 【解题规律*总结】 1.利用基本初等函数的单调区间 2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间. 3.形如的函数为，的复合函数，为内层函数，为外层函数. 当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增； 当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增. 简称为“同增异减”. 4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间. 5.特别提醒：（1）单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y＝在（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数，而只能写成在（－∞，0）和（0，＋∞）上是减函数． （2）区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点． 考法三 根据函数的单调性求参数 【十年真题*精选】 真题3-1（2023·全国·高考真题） 11．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题3-2（2024·全国·高考真题） 12．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题3-3（2019·北京·高考真题） 13．设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2024·广东揭阳·二模） 14．已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 模拟3-2（2025·陕西西安·模拟预测） 15．若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模拟3-3（2025·江苏南通·模拟预测） 16．已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 1.利用单调性求参数的范围（或值）的方法 （1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； （2）需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． （3）注意函数单调性呈现的三种方式：定义式、比值式、x2－x1与f（x2）－f（x1）关系式. 2.利用分离参数法； 3.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）a≥f（x）恒成立⇔a≥f（x）max；（2）a≤f（x）恒成立⇔a≤f（x）min. 4.若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的． 考法四 比较抽象函数值的大小 【十年真题*精选】 真题4-1（2017·天津·高考真题） 17．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 真题4-2（2019·全国·高考真题） 18．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（2025·重庆·三模） 19．已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 模拟4-2（24-25高三·重庆·期末） 20．已知函数满足：①定义域为，②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，，且，都有，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 模拟4-3[天津河西区2024期中] 21．定义在上的偶函数在上是增函数，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 1.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 2.先构造函数，确定函数的单调性，再比较函数值大小． 3.与导数等综合考查是一种新趋势. 考法五 解抽象函数不等式 【十年真题*精选】 真题5-1（2020·山东·高考真题） 22．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题5-2（2017·全国·高考真题） 23．函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟5-1（2025·云南·模拟预测） 24．已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 模拟5-2（2025·陕西安康·模拟预测） 25．已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ． 模拟5-3[河北沧衡八校2024期中] 26．已知函数对于任意x，，总有，当时，，且，则不等式的解集为 ． 【解题规律*总结】 1.单调性质法：根据函数解析式，结合函数的单调性，讨论不同区间对应解析式的x范围，然后取并. 2.图象法：根据题中所给的函数解析式，画出函数图像，从图中发现是不等式成立的x范围. 3.求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f（g（x））＞f（h（x））的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g（x）＞h（x）（或g（x）＜h（x））． 考法六 根据解析式判断函数的奇偶性、单调性 【十年真题*精选】 真题6-1（2020·全国·高考真题） 27．设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 真题6-2（2020·全国·高考真题） 28．设函数,则（    ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 真题6-3（2017·北京·高考真题） 29．已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 【三年模拟*荟萃】 模拟6-1（2025·广东·三模） 30．下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 模拟6-2（24-25高三上·天津河北·期末） 31．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数，递减区间是 B．是奇函数，递减区间是 C．是偶函数，递增区间是 D．是偶函数，递增区间是 模拟6-3（2025·北京·模拟预测） 32．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 函数奇偶性的三个关注点． ①若奇函数在原点处有定义，则必有f（0）＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合； ③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，对函数单调性的考查，一直是一个命题热点，主要考查内容聚焦主干知识与关键能力.如以常见函数为载体，判断函数的单调性、确定复合函数的单调区间，凸显数学抽象、数学运算的核心素养；又如与不等式、方程等相结合，根据函数的单调性或单调区间求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养；还有与函数的奇偶性等性质结合，考查单调性的应用--求最值、比较大小、解不等式等，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．从命题趋势看，以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性等，与导数的应用结合，比较函数值大小等，值得关注“新定义”函数的单调性问题.命题难度有容易、中等或中等以上等多种可能. 【考点预测*展望】 （综合考查抽象函数的单调性、奇偶性、对称性） 33．已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 （根据分段函数的单调性求参数范围）（2025·河北秦皇岛·模拟预测） 34．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （与导数结合、根据函数的奇偶性和单调性解不等式）（24-25高三下·上海·阶段练习） 35．定义在上的函数为奇函数，其导数为，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． （“新定义”函数的单调性问题）（2025·辽宁·二模） 36．若函数满足：存在非零常数，对任意，，则称是“衰减函数”．已知函数为上的奇函数，且当时，，若为“衰减函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （综合考查函数单调性的应用）（2025·湖南·三模） 37．已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小值为 C．为R上的增函数 D．关于x的不等式的解集为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$