函数的定义域 讲义-2026届高三数学一轮复习

黄金考点07  函数的定义域（考点总动员） 考法一 求具体函数的定义域 【十年真题*精选】 真题1-1（2020·山东·高考真题） 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】由题知：，解得且. 所以函数定义域为. 故选：B 真题1-2（2019·江苏·高考真题） 2．函数的定义域是 . 【答案】. 【分析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得, 即 解得， 故函数的定义域为. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 真题1-3（2022·北京·高考真题） 3．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2025·湖北黄冈·模拟预测） 4．已知函数的定义域为，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求两个集合，再求交集. 【详解】由题意知， 所以. 故选：D 模拟1-2（2025高三·全国·专题练习） 5．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题得且，解不等式组即得函数的定义域. 【详解】由题得且， 解得：且， x∈， 故选：B 模拟1-3（2024·北京平谷·模拟预测） 6．函数的定义域是 【答案】 【分析】根据分数和对数有意义的条件即可求解. 【详解】函数有意义的条件是，解得且， 所以函数定义域为. 故答案为：. 【解题规律*总结】 求函数的定义域： （1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；④指数式的底数大于0且不等于1； ⑤对数式的底数大于0且不等于1，对数的真数大于零； ⑥正切函数（且，）. （2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. （3）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接. 考法二 根据函数的定义域求参数范围 【十年真题*精选】 真题2-1（2015·山东·高考真题） 7．已知函数 的定义域和值域都是 ，则 . 【答案】 【详解】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解； 若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以. 考点：指数函数的性质. 真题2-2（2015·山东·高考真题） 8．已知函数（且）在区间上的最大值是16， （1）求实数的值； （2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）当时，由函数在区间上是减函数求解；，当时，函数在区间上是增函数求解； （2）根据的定义域是，由恒成立求解． 【详解】（1）当时，函数在区间上是减函数， 因此当时，函数取得最大值16，即， 因此． 当时，函数在区间上是增函数， 当时，函数取得最大值16，即， 因此． （2）因为的定义域是， 即恒成立． 则方程的判别式，即， 解得， 又因为或，因此． 代入不等式得，即， 解得， 因此实数的取值范围是． 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（23-24高三上·河南驻马店·期末） 9．已知函数的定义域为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据函数定义域求出，利用基本不等式可求答案. 【详解】由题可知，且，即，所以， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为4. 故选：C. 模拟2-2（2024·浙江·模拟预测） 10．若分式不论x取何值总有意义，则点关于x轴的对称点在第 象限． 【答案】一 【分析】先通过分式的分母恒不为零求出的范围，根据的范围可得点所在象限，进而可得其关于x轴的对称点所在象限. 【详解】分式不论x取何值总有意义， 即方程无解 所以，解得， 所以， 所以点在第四象限，其关于x轴的对称点在第一象限. 故答案为：一. 模拟2-3（2026高三·全国·专题练习） 11．已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知对任意实数都成立，分和两种情况，结合判别式列式求解. 【详解】由题意得对任意实数都成立， 当时，，符合题意； 当时，满足，解得； 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 【解题规律*总结】 根据函数的定义域求参数范围问题，一般需要根据定义域的求解方法，转化成其它知识点，最为常见的是二次函数相关问题，如一元二次不等式恒成立，这类问题解答的基本思路是：考察二次项系数，正、负、零的情况；讨论相应方程根的判别式，列式；解不等式组等；分类讨论下，注意求并集. 考法三 定义域的重要应用 【十年真题*精选】 真题3-1（2020·全国·高考真题） 12．设函数,则（    ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 真题3-2（2017·全国·高考真题） 13．函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t=，则y=lnt， ∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数； x∈(4,+∞)时,t=为增函数； y=lnt为增函数， 故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D. 点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数. 当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增； 当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增. 简称为“同增异减”. 真题3-3（2022·全国乙卷·高考真题） 14．若是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2025高三·全国·专题练习） 15．已知函数是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据，得到方程，求出；方法二：根据得到方程，求出，经检验，满足，故. 【详解】方法一：， 令，解得，故定义域为， 则， 因为是奇函数，所以，即， 故，因此； 方法二：，故， 即，故，解得， 故， 令，解得，故定义域为， 所以，故为奇函数. 故选：A. 模拟3-2（2025·云南曲靖·二模） 16．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出各个函数的定义域，代入判断函数奇偶性，进而结合二次函数以及对数函数的性质，即可得出单调性. 【详解】设，，， 对于A项，易知定义域为R， 且，所以为偶函数. 根据二次函数的性质可知，在上单调递增.故A正确； 对于B项，定义域为R， 且，所以不是偶函数.故B错误； 对于C项，定义域为， 且. 当时，在上单调递增.故C正确； 对于D项，定义域为， 且，所以为奇函数.故D错误. 故选：AC. 模拟3-3 17．已知定义域为的奇函数，则的解集为_______． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. 等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集. 【详解】由题知，， 所以恒成立，即． 又因为奇函数的定义域关于原点对称， 所以，解得， 因此，， 由单调递增，单调递增， 易知函数单调递增， 故等价于 等价于 即，解得． 故答案为： 【解题规律*总结】 函数的定义域是构成函数的重要元素，对函数的研究必须遵循“定义域优先”的原则，否则，极易出错.如研究函数的奇偶性，定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；研究复合对数函数的单调性，对数的真数必须大于零等. 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，对函数定义域的考查，主要集中在求具体函数的定义域、根据函数的定义域求参数、考查函数定义域的应用等.命题体现较强的综合性，如与集合、指数函数、对数函数、三角函数的综合等.从定义域的应用看，又主要侧重考查函数图像的辨析、在函数单调性中的应用、在函数奇偶性中的应用、 在函数的零点问题中的应用、在实际问题中的应用等.综合考查直观想象、等价转化、数学运算、数学式子的变形能力，以及逻辑推理、函数方程、数形结合等思想方法. 命题的形式以选择（多选）题、填空题为主，难度基本在中等或中等以下. 【考点预测*展望】 （具体函数的定义域与集合知识交汇）（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习） 18．已知集合，则集合中的子集个数为（   ） A．18 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】由题意得，进一步即可得解. 【详解】由题意，则， 所以集合中的子集个数为. 故选：C. （已知函数的定义域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题）（2024高三·全国·专题练习） 19．已知函数的定义域为R，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为不等式对任意的恒成立，分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】由题意，不等式对任意的恒成立． 当时，恒成立，即符合题意． 当时，则，解得． 综上，的取值范围是． 故选：B （根式、分式、对数函数的定义域）（2025·北京朝阳·一模） 20．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. （抽象函数的定义域）（2025高三·全国·专题练习） 21．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】先求得的范围，进而可得的定义域为，利用，进而求得函数的定义域. 【详解】因为 由，得，所以的定义域为． 由，得，所以函数的定义域为． 故答案为：． （与指数函数、对数函数交汇问题） 22．已知函数（，且）的图象过点． (1)求实数a的值； (2)求函数的定义域，并判断其在定义域上的单调性（不需要证明）； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1)2 (2)，函数在上单调递增 (3) 【分析】（1）将点代入函数解析式求解； （2）由（1）得函数，从而可得其定义域，再由复合函数的单调性判断其单调性即可. （3）易知在上单调递增，由求解； 【详解】（1）解：因为函数（且）的图象过点， 所以，即，解得； （2）由（1）得，所以函数， 由 解得， 所以函数的定义域为 ，函数在上单调递增. （3）由复合函数的单调性知：在上单调递增， 又， 所以，即，即， 解得， 所以不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄金考点07  函数的定义域（考点总动员） 考法一 求具体函数的定义域 【十年真题*精选】 真题1-1（2020·山东·高考真题） 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 真题1-2（2019·江苏·高考真题） 2．函数的定义域是 . 真题1-3（2022·北京·高考真题） 3．函数的定义域是 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2025·湖北黄冈·模拟预测） 4．已知函数的定义域为，集合，则（    ） A． B． C． D． 模拟1-2（2025高三·全国·专题练习） 5．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 模拟1-3（2024·北京平谷·模拟预测） 6．函数的定义域是 【解题规律*总结】 求函数的定义域： （1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；④指数式的底数大于0且不等于1； ⑤对数式的底数大于0且不等于1，对数的真数大于零； ⑥正切函数（且，）. （2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. （3）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接. 考法二 根据函数的定义域求参数范围 【十年真题*精选】 真题2-1（2015·山东·高考真题） 7．已知函数 的定义域和值域都是 ，则 . 真题2-2（2015·山东·高考真题） 8．已知函数（且）在区间上的最大值是16， （1）求实数的值； （2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围． 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（23-24高三上·河南驻马店·期末） 9．已知函数的定义域为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 模拟2-2（2024·浙江·模拟预测） 10．若分式不论x取何值总有意义，则点关于x轴的对称点在第 象限． 模拟2-3（2026高三·全国·专题练习） 11．已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【解题规律*总结】 根据函数的定义域求参数范围问题，一般需要根据定义域的求解方法，转化成其它知识点，最为常见的是二次函数相关问题，如一元二次不等式恒成立，这类问题解答的基本思路是：考察二次项系数，正、负、零的情况；讨论相应方程根的判别式，列式；解不等式组等；分类讨论下，注意求并集. 考法三 定义域的重要应用 【十年真题*精选】 真题3-1（2020·全国·高考真题） 12．设函数,则（    ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 真题3-2（2017·全国·高考真题） 13．函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 真题3-3（2022·全国乙卷·高考真题） 14．若是奇函数，则 ， ． 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2025高三·全国·专题练习） 15．已知函数是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 模拟3-2（2025·云南曲靖·二模） 16．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 模拟3-3 17．已知定义域为的奇函数，则的解集为_______． 【解题规律*总结】 函数的定义域是构成函数的重要元素，对函数的研究必须遵循“定义域优先”的原则，否则，极易出错.如研究函数的奇偶性，定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；研究复合对数函数的单调性，对数的真数必须大于零等. 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，对函数定义域的考查，主要集中在求具体函数的定义域、根据函数的定义域求参数、考查函数定义域的应用等.命题体现较强的综合性，如与集合、指数函数、对数函数、三角函数的综合等.从定义域的应用看，又主要侧重考查函数图像的辨析、在函数单调性中的应用、在函数奇偶性中的应用、 在函数的零点问题中的应用、在实际问题中的应用等.综合考查直观想象、等价转化、数学运算、数学式子的变形能力，以及逻辑推理、函数方程、数形结合等思想方法. 命题的形式以选择（多选）题、填空题为主，难度基本在中等或中等以下. 【考点预测*展望】 （具体函数的定义域与集合知识交汇）（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习） 18．已知集合，则集合中的子集个数为（   ） A．18 B．16 C．32 D．64 （已知函数的定义域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题）（2024高三·全国·专题练习） 19．已知函数的定义域为R，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （根式、分式、对数函数的定义域）（2025·北京朝阳·一模） 20．函数的定义域为 ． （抽象函数的定义域）（2025高三·全国·专题练习） 21．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． （与指数函数、对数函数交汇问题） 22．已知函数（，且）的图象过点． (1)求实数a的值； (2)求函数的定义域，并判断其在定义域上的单调性（不需要证明）； (3)解关于x的不等式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$