分段函数 讲义——2026届高三数学一轮复习

黄金考点08   分段函数（考点总动员） 考法一 求分段函数值 【十年真题*精选】 真题1-1（2018·江苏·高考真题） 1．函数满足，且在区间上，则的值为 ． 【答案】 【详解】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果. 详解：由得函数的周期为4，所以因此 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 真题1-2（2024·上海·高考真题） 2．已知则 ． 【答案】 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故， 故答案为：. 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2025·云南丽江·三模） 3．已知函数，则的值为（    ） A．24 B．4 C．12 D．8 【答案】A 【分析】由，则，从而可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：A. 模拟1-2（2024·山东济宁·三模） 4．已知函数，则 . 【答案】 【分析】利用已知的分段函数，可先求，再求即可. 【详解】因为，所以. 所以. 故答案为：. 模拟1-3（2024·江苏南通·模拟预测） 5．已知函数，则 . 【答案】 【分析】判断所在区间，再代入计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 【解题规律*总结】 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值. 考法二 根据分段函数值求其它量 【十年真题*精选】 真题2-1（2025·上海·高考真题） 6．已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 真题2-2（2021·浙江·高考真题） 7．已知，函数若，则 . 【答案】2 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值. 【详解】，故， 故答案为：2. 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2024·河南濮阳·模拟预测） 8．已知函数，满足，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】将的值依次代入解析式，解出的值即可求解. 【详解】， 即，则. 故选：. 模拟2-2（2024·山东泰安·二模） 9．已知函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式，当时m无解，当时解得，即可求解. 【详解】由题意知，当时，， 得，又，所以方程无解； 当时，， 得，即，解得， 所以. 故选：D 模拟2-3（2025·福建厦门·三模） 10．已知函数若，则 ． 【答案】8 【分析】求出，再判断的范围，即可利用求解. 【详解】， 所以， 因为时，， 所以，，解得， 故答案为： 【解题规律*总结】 求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 涉及进一步求其它量问题，也要注意定义域不同子集差异. 考法三 求分段函数的最值（值域） 【十年真题*精选】 真题3-1（2015·浙江·高考真题） 11．已知函数，则 ，的最小值是 ． 【答案】，. 【详解】， 若：，当且仅当时，等号成立； 若：，当且仅当时，等号成立，故可知． 考点：1．分段函数；2．函数最值． 真题3-2（2016·浙江·高考真题） 12．已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}， 其中min{p，q}= （Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）； （ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）. 【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）（ⅰ）．（ⅱ）． 【详解】试题分析：（Ⅰ）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（Ⅱ）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值． 试题解析：（Ⅰ）由于，故 当时，， 当时，． 所以，使得等式成立的的取值范围为． （Ⅱ）（ⅰ）设函数，， 则，， 所以，由的定义知，即 （ⅱ）当时， ， 当时，． 所以，． 【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式． 【思路点睛】（Ⅰ）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（Ⅱ）根据的取值范围求出的最大值，进而可得． 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（24-25高三下·江西·阶段练习） 13．设，用表示不超过的最大整数，例如：.已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的定义，先求函数的值域即可求解. 【详解】当时，，此时，或1； 当时，，此时0，或1； 当时，， 此时，所以的值域为. 故选：A. 模拟3-2（2025·上海松江·三模） 14．已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】根据二次函数性质求出时的值域，再根据对勾函数的单调性求出时的值域，然后利用分段函数的性质即可求解． 【详解】因为， 当时，， 当时，函数单调递减，故， 综上，函数的值域为． 故答案为：． 模拟3-3（2024·广西柳州·模拟预测） 15．记实数的最小数为，若，则函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值． 【详解】 如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象， 而的图象即是图中勾勒出的实红线部分， 要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标. 由联立解得，，故所求函数的最大值为． 故答案为：． 【解题规律*总结】 分段函数的值域，是各部分函数值集合的并集.求值域的方法往往用到单调性质法、基本不等式法、数形结合法、导数法等. 考法四 根据分段函数的最值（值域）求参数 【十年真题*精选】 真题4-1（2022·北京·高考真题） 16．设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，  解得 . 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 真题4-2（2023·北京·高考真题） 17．设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下，    显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，    当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（2024·北京西城·一模） 18．已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可. 【详解】当时，，故当时，有最小值为； 时，单调递减，所以， 由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为. 故选：A 模拟4-2（2025·广东广州·三模） 19．若函数有最大值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑，函数的值域，结合时，若，不合要求，若，在上单调递减，进而得到不等式，及时代入判断即可. 【详解】当时， ， 当时，， 若，在上单调递增，此时没有最大值， 若，在上单调递减， 要想函数有最大值，则，解得； 若，，函数有最大值1，符合题意； 故实数的取值范围为. 故选：A. 模拟4-3（2025·安徽·模拟预测） 20．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，分类讨论，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】①当时，； 若，则，当时，； 若，当时，取得最小值－3，即； 若，，，，在时单调递增，； ②当时，函数的图象是一个二次函数，其对称轴为； 若，则在上单调递减，； 若，； 若，则在上单调递增，； 因为函数的值域为， 当时，在时最小值为，在时，不满足值域为； 当时，，，，不满足值域为； 当时，在时，在时； 为使值域为，需满足，解得. 综上，. 故选：D. 【解题规律*总结】 根据定义域的不同子集，结合存在的最值（值域），分别建立关于参数的方程、不等式（组）.利用分类讨论思想，注意求并集. 考法五 解分段函数不等式 【十年真题*精选】 真题5-1（2018·全国·高考真题） 21．设函数，则满足的x的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果. 详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D. 点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果. 【详解】 真题5-2（2017·全国·高考真题） 22．设函数则满足的x的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值. 【三年模拟*荟萃】 模拟5-1（2024·江西南昌·二模） 23．已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在条件下化简不等式求其解可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以，可得； 当时，不等式可化为， 所以，且， 所以， 所以不等式的解集是， 故选：B. 模拟5-2（2025·河北邢台·二模） 24．已知函数是定义在上的奇函数，且. 则不等式在上的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合奇函数的性质可得在上的解析式，再作出的图象，数形结合计算即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数且， 所以当时，，则； 当时，，则， 所以； 函数的图象可由函数的图象向左严移1个单位长度得到， 作出函数在上的图象，如图所示， 由图可知不等式在上的解集为． 故选：A． 模拟5-3（2024·黑龙江大庆·三模） 25．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的图象可知其单调性，进而利用单调性求解即可. 【详解】函数的图象如下，由图可知在R上单调递增. 因为， 所以，解得. 故选：D. 【解题规律*总结】 1.单调性质法：根据函数解析式，结合函数的单调性，讨论不同区间对应解析式的x范围，然后取并. 2.图象法：根据题中所给的函数解析式，画出函数图像，从图中发现是不等式成立的x范围. 3.数形结合法. 考法六 根据不等式（恒）成立求参数 【十年真题*精选】 真题6-1（2022·浙江·高考真题） 26．已知，若对任意，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转换为，再结合画图求解． 【详解】由题意有：对任意的，有恒成立． 设，， 即的图像恒在的上方（可重合），如下图所示： 由图可知，，，或，， 故选：D． 真题6-2（2022·浙江·高考真题） 27．已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【答案】 ## 【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可. 【详解】由已知，， 所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，. 【三年模拟*荟萃】 模拟6-1（2025·河北邢台·三模） 28．若不等式恒成立，则正实数整数解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】令，利用分段函数的性质，得到的最小值为，求得，结合为正实数，得到的整数解的个数，得到答案. 【详解】令， 当时，函数单调递减，所以； 当时，函数； 当时，函数单调递增，所以， 综上可得，函数的最小值为， 要使得不等式恒成立，则满足， 因为为正实数，所以，所以的整数解取值为，共有3个. 故选：B. 模拟6-2（2025·湖北黄冈·模拟预测） 29．已知定义域为的函数满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出的大致图象，数形结合求解不等式即可. 【详解】由得， 故当时，，从而， 同理，当时，， 当时，. 作出函数图象如图所示，令， 解得或，结合图象可知.    故选：B 模拟6-3（2024·广东深圳·模拟预测） 30．已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可. 【详解】因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 又因为函数在区间上单调递增， 所以当时，. 综上可得函数的最小值为. 因为，使得成立， 所以，解得：或. 故选：C. 【解题规律*总结】 1.分离参数法. 2.数形结合法. 考法七 分段函数的零点问题 【十年真题*精选】 真题7-1（2022·天津·统考高考真题） 31．设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 真题7-2（2018·浙江·高考真题） 32．已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． 【答案】 (1,4) 【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围. 详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是 当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【三年模拟*荟萃】 模拟7-1（2024·四川成都·二模） 33．已知函数，若存在m使得关于x的方程有两不同的根，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用幂函数的性质，得到函数的单调性，求得函数的最值，结合题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数，可得函数在，上为增函数， 当时，，当时，， 若存在m使得关于x的方程有两不同的根，只需， 解得或，所以t的取值范围为. 故选：B． 模拟7-2（2024·福建漳州·模拟预测） 34．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】令，求出方程的根，再结合图象求出的解的个数即可. 【详解】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数， 令，则，当时，，令，， 函数在上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则存在，使得； 当时，，解得或， 作函数的大致图象，如图：      又，则， 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当，时，，由的图象知，方程有一个解， 综上所述，函数的零点个数为5. 故选：B 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 模拟7-3（2025·江苏·模拟预测） 35．已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先分析分段函数的单调性，然后画图，将“存在实数使得函数恰有3个零点”问题转化为函数与直线有三个交点的问题，结合图象即可求得的取值范围. 【详解】当时，，求导得， 所以在上单调递增，最大值为. 当时，. 当时，；当时，， 画出的图象如下： 因为存在实数使得函数恰有3个零点，这个问题可以转化为函数与直线有三个交点的问题. 由图可知时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意. 当时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意. 当时，由图可以知道，存在实数使得函数与直线恰有3个交点，符合题意. 故答案为：. 【解题规律*总结】 1.函数零点个数判断方法：（1）直接法：直接求出f（x）=0的解；（2）图象法：作出函数f（x）的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 2.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 考法八 分段函数的单调性问题 【十年真题*精选】 真题8-1（2024·全国·高考真题） 36．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 真题8-2（2015·湖北·高考真题） 37．已知符号函数，是上的增函数，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知，列举、两个反例，结合排除法即可得. 【详解】由，是上的增函数，， 令，则， 此时，A错；，C错； 令，则， 此时，， 所以，此时D错； 故选：B 【三年模拟*荟萃】 模拟8-1（24-25高三上·江苏南通·开学考试） 38．函数在区间上（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可. 【详解】，即， 设，则单调递减， 且 故存在唯一一个使 故在上，，此时单调递减； 在上，，此时单调递增； 故在区间上先减后增. 故选：D 模拟8-2（2024·陕西渭南·二模） 39．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得. 【详解】由是上的增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 模拟8-3（2024·广东广州·三模） 40．函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】根据题意，在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解. 【详解】因为且，若函数是单调函数，结合二次函数可知：在R上单调递增， ，解得. 故答案为：4（答案不唯一）. 【解题规律*总结】 1．复合函数的单调性的判断方法 y＝f（g（x））的单调性判断可用口诀：同增异减． y＝f（t）和t＝g（x）在单调性相同时，复合后的y＝f（g（x））是单调递增的， y＝f（t）和t＝g（x）在单调性不同时，复合后的y＝f（g（x））是单调递减的． 2．利用函数的单调性求参数的范围（或值）的注意点：（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；（2）若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的． 3.分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，对函数及其性质的考查，主要考查内容聚焦主干知识与关键能力，主要考查函数的定义域、值域，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性，函数的概念与图像、函数的零点，函数的应用等主干知识；而分段函数往往是其重要载体，构成分段函数的函数类型涉及所学的所有；综合考查直观想象、等价转化、数学运算、数学式子的变形能力，以及逻辑推理、转化与化归、函数方程、数形结合等思想方法. 命题的形式以选择（多选）题、填空题为主，难度有容易、中等或中等以上. 【考点预测*展望】 （根据函数的单调性、奇偶性解不等式）（2025·山东济南·一模） 41．已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【详解】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A （与分段函数相关的“新定义”问题） 42．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过x的最大整数，则标为高斯函数.例如：，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A． B．的最大值为1 C．的最小值为0 D．在上的值域为 【答案】C 【分析】先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象判断最值情况即可. 【详解】对于A，，，所以，A错； 由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以当时，，且每段函数都是单调递减，每段的左端点的函数值都为1； 当时，，且每段函数都是单调递增，每段的左端点的函数值都为1； 绘制函数图象如图所示，      对于B，由图可知，当，没有最大值，B错； 对于C，由图可知，当，的最小值为0，C对； 对于D，由图可知，在上的值域为，D错. 故选：C （分段函数性质的综合问题）（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习） 43．已知定义在上的函数下列结论正确的为（    ） A．函数的值域为 B． C．当时，函数的最大值为4 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【分析】通过对函数的分析，作出其图象，即可求得函数的值域，判断各选项的正误. 【详解】因当时，， 故当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ,以此类推，可作出函数的图象，如图，    对于A，由图可知，函数的值域为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由图知，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 故时，函数取得最大值，故C正确； 对于D，由图可知，函数在上先增后减，故D错误. 故选：AC. （函数性质的综合问题） 44．设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数图象找出实数a，b，c的范围，求出，对不成立的结论可举反例,对恒成立的结论结合对勾函数的性质进行论证. 【详解】画出函数图象，如图，    因为，且，. 所以.且即. 对A，因为，所以，故A正确； 对B，因为，所以，由对勾函数的性质知函数在上为单调减函数，则，故B正确；     对C，因为，所以，又，则，令解得，即时，, 因为函数在上单调递减，则当时，有，故C不正确； 对D，因为，所以，由对勾函数的性质知在上递减，则. 因为函数在上单调递减，所以，故D正确. 故选：ABD （分段函数零点或方程根的个数问题）（2025·江苏盐城·三模） 45．设函数，若关于的方程的解的个数是 【答案】5 【分析】求出或2，分别求出和时的解，得到答案. 【详解】或2， 当时，若，则，无解， 若，，故或，解得或， 当时，若，则，解得， 若，，故或，解得或， 所以方程的解的个数有5个. 故答案为：5 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄金考点08   分段函数（考点总动员） 考法一 求分段函数值 【十年真题*精选】 真题1-1（2018·江苏·高考真题） 1．函数满足，且在区间上，则的值为 ． 真题1-2（2024·上海·高考真题） 2．已知则 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2025·云南丽江·三模） 3．已知函数，则的值为（    ） A．24 B．4 C．12 D．8 模拟1-2（2024·山东济宁·三模） 4．已知函数，则 . 模拟1-3（2024·江苏南通·模拟预测） 5．已知函数，则 . 【解题规律*总结】 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值. 考法二 根据分段函数值求其它量 【十年真题*精选】 真题2-1（2025·上海·高考真题） 6．已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 真题2-2（2021·浙江·高考真题） 7．已知，函数若，则 . 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2024·河南濮阳·模拟预测） 8．已知函数，满足，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 模拟2-2（2024·山东泰安·二模） 9．已知函数且，则（    ） A． B． C． D． 模拟2-3（2025·福建厦门·三模） 10．已知函数若，则 ． 【解题规律*总结】 求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 涉及进一步求其它量问题，也要注意定义域不同子集差异. 考法三 求分段函数的最值（值域） 【十年真题*精选】 真题3-1（2015·浙江·高考真题） 11．已知函数，则 ，的最小值是 ． 真题3-2（2016·浙江·高考真题） 12．已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}， 其中min{p，q}= （Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）； （ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）. 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（24-25高三下·江西·阶段练习） 13．设，用表示不超过的最大整数，例如：.已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 模拟3-2（2025·上海松江·三模） 14．已知函数，则的值域为 . 模拟3-3（2024·广西柳州·模拟预测） 15．记实数的最小数为，若，则函数的最大值为 ． 【解题规律*总结】 分段函数的值域，是各部分函数值集合的并集.求值域的方法往往用到单调性质法、基本不等式法、数形结合法、导数法等. 考法四 根据分段函数的最值（值域）求参数 【十年真题*精选】 真题4-1（2022·北京·高考真题） 16．设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 真题4-2（2023·北京·高考真题） 17．设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（2024·北京西城·一模） 18．已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 模拟4-2（2025·广东广州·三模） 19．若函数有最大值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 模拟4-3（2025·安徽·模拟预测） 20．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 根据定义域的不同子集，结合存在的最值（值域），分别建立关于参数的方程、不等式（组）.利用分类讨论思想，注意求并集. 考法五 解分段函数不等式 【十年真题*精选】 真题5-1（2018·全国·高考真题） 21．设函数，则满足的x的取值范围是 A． B． C． D． 真题5-2（2017·全国·高考真题） 22．设函数则满足的x的取值范围是 . 【三年模拟*荟萃】 模拟5-1（2024·江西南昌·二模） 23．已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 模拟5-2（2025·河北邢台·二模） 24．已知函数是定义在上的奇函数，且. 则不等式在上的解集为（   ） A． B． C． D． 模拟5-3（2024·黑龙江大庆·三模） 25．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 1.单调性质法：根据函数解析式，结合函数的单调性，讨论不同区间对应解析式的x范围，然后取并. 2.图象法：根据题中所给的函数解析式，画出函数图像，从图中发现是不等式成立的x范围. 3.数形结合法. 考法六 根据不等式（恒）成立求参数 【十年真题*精选】 真题6-1（2022·浙江·高考真题） 26．已知，若对任意，则（    ） A． B． C． D． 真题6-2（2022·浙江·高考真题） 27．已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟6-1（2025·河北邢台·三模） 28．若不等式恒成立，则正实数整数解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 模拟6-2（2025·湖北黄冈·模拟预测） 29．已知定义域为的函数满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 模拟6-3（2024·广东深圳·模拟预测） 30．已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 1.分离参数法. 2.数形结合法. 考法七 分段函数的零点问题 【十年真题*精选】 真题7-1（2022·天津·统考高考真题） 31．设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 . 真题7-2（2018·浙江·高考真题） 32．已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟7-1（2024·四川成都·二模） 33．已知函数，若存在m使得关于x的方程有两不同的根，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 模拟7-2（2024·福建漳州·模拟预测） 34．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 模拟7-3（2025·江苏·模拟预测） 35．已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ． 【解题规律*总结】 1.函数零点个数判断方法：（1）直接法：直接求出f（x）=0的解；（2）图象法：作出函数f（x）的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 2.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 考法八 分段函数的单调性问题 【十年真题*精选】 真题8-1（2024·全国·高考真题） 36．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题8-2（2015·湖北·高考真题） 37．已知符号函数，是上的增函数，，则（  ） A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟8-1（24-25高三上·江苏南通·开学考试） 38．函数在区间上（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 模拟8-2（2024·陕西渭南·二模） 39．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 模拟8-3（2024·广东广州·三模） 40．函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ． 【解题规律*总结】 1．复合函数的单调性的判断方法 y＝f（g（x））的单调性判断可用口诀：同增异减． y＝f（t）和t＝g（x）在单调性相同时，复合后的y＝f（g（x））是单调递增的， y＝f（t）和t＝g（x）在单调性不同时，复合后的y＝f（g（x））是单调递减的． 2．利用函数的单调性求参数的范围（或值）的注意点：（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；（2）若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的． 3.分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，对函数及其性质的考查，主要考查内容聚焦主干知识与关键能力，主要考查函数的定义域、值域，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性，函数的概念与图像、函数的零点，函数的应用等主干知识；而分段函数往往是其重要载体，构成分段函数的函数类型涉及所学的所有；综合考查直观想象、等价转化、数学运算、数学式子的变形能力，以及逻辑推理、转化与化归、函数方程、数形结合等思想方法. 命题的形式以选择（多选）题、填空题为主，难度有容易、中等或中等以上. 【考点预测*展望】 （根据函数的单调性、奇偶性解不等式）（2025·山东济南·一模） 41．已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． （与分段函数相关的“新定义”问题） 42．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过x的最大整数，则标为高斯函数.例如：，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A． B．的最大值为1 C．的最小值为0 D．在上的值域为 （分段函数性质的综合问题）（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习） 43．已知定义在上的函数下列结论正确的为（    ） A．函数的值域为 B． C．当时，函数的最大值为4 D．函数在上单调递减 （函数性质的综合问题） 44．设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． （分段函数零点或方程根的个数问题）（2025·江苏盐城·三模） 45．设函数，若关于的方程的解的个数是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$