精品解析：山东省临沂市2024-2025学年高一下学期学科素养水平检测考试数学试题

临沂市2024级普通高中学科素养水平检测考试 数学 2025.7 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义求解即可. 【详解】复数对应的点的坐标是， 故， 所以. 故选：C 2 已知，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角差的正切公式求解即可. 【详解】已知，解得. 故选：B. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的充要条件列方程求解即可. 【详解】已知向量，，若，则，解得. 故选：B. 4. 直线，平行的一个充分条件是（ ） A. ，都垂直于同一个平面 B. ，与同一个平面所成的角相等 C. ，都平行于同一个平面 D. ，都垂直于同一条直线 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中的点、线、面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若，都垂直于同一个平面，则直线，平行，符合充分条件，故A正确； 对于B，若，与同一个平面所成的角相等，则直线，可能相交，比如圆锥的母线和底面所成角都相等，但圆锥的母线都相交，故B错误； 对于C，若，都平行于同一个平面，则直线，可能相交，故C错误； 对于D，若，都垂直于同一条直线，则直线，可能相交，比如正方体同一个顶点的三条棱，两两垂直，故D错误. 故选：A 5. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于5”，“至少有一颗骰子的点数为2”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列出样本空间，利用古典概率求解即可. 【详解】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有： ，，，，，，，， 共13个基本事件， 所以. 故选：D 6. 如图是一个在圆柱顶部挖去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型，已知圆柱的底面半径为3，圆锥的高为4，若该几何模型的体积为60π，则其表面积为（ ） A. 48π B. 60π C. 72π D. 144π 【答案】C 【解析】 【分析】由圆柱、圆锥体积公式列方程求得圆柱的高，再结合圆柱、圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】设圆柱的高为，则，解得， 故所求为. 故选：C. 7. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列判断错误的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】利用平移得到，然后利用奇函数的定义判断A选项，利用整体代入法判断选项B,C,D. 【详解】函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象， 故； 对于A，，故， 则函数是奇函数，故A正确； 对于B，当时，，故在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，，故的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，当时，，故，故D错误. 故选：D 8. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，外接球的球心为，若点S是正四棱锥的表面上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出外接球的半径，然后根据图形求解的最小值. 【详解】设，连接，则平面， 依题意可得，， 所以，且球心在直线上， 连接，设外接球的半径为，则，解得， 因为，故球心在线段上， 又S是正四棱锥的表面上的一点，的最小值即球心到平面的距离， 且. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：5，7，4，3，5，7，7，6，4，2，则该组数据（ ） A. 极差是7 B. 众数不等于平均数 C. 25%分位数是4 D. 方差是3.5 【答案】BC 【解析】 【分析】利用极差，众数，平均数，百分位数和方差的公式逐项求解即可. 【详解】对于A，将该组数据从小到大排列：， 故极差为：，故A错误； 对于B，该组数据众数为7， 平均数为： ， 故众数不等于平均数，故B正确； 对于C，，故25%分位数是该组数据的第3个数，即4， 故C正确； 对于D，该组数据的方差为： 故D错误. 故选：BC 10. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角函数的两角和差公式和同角三角函数的基本关系逐项计算即可. 【详解】对于A，，故， 则，故故A错误； 对于B，故B正确； 对于C， ，故， 因，为锐角，所以，故， 故 所以故C正确； 对于D，由B知，，故 所以 故，故D正确. 故选：BCD 11. 在棱长为的正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则（ ） A. 过A，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 异面直线和所成的角可以为90° C. 当P为中点时，二面角的正切值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】作出截面判断A；举例说明判断B；利用几何法求出二面角正切判断C；将正方形与正方形置于同一平面内，求出最小值判断D. 【详解】对于A，连接，由，得四边形为平行四边形， 又分别是的中点，则，， 因此梯形是过三点的平面截正方体所得截面，A正确； 对于B，平面，平面，则，而， 平面，则平面，又平面， 因此，又，则，当点与重合时， 异面直线和所成的角为90°，B正确； 对于C，延长交延长线于，取中点，连接， 由分别为中点，得，则， ，于是，是二面角的平面角， ，C正确； 对于D，将正方形与正方形置于同一平面内，则， 当且仅当是与的交点时取等号，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是关于x的方程的一个根，则_______. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意也是关于x的方程的一个根，结合韦达定理求得即可. 【详解】若是关于x的方程的一个根， 则也是关于x的方程的一个根， 所以， 解得， 所以. 故答案为：3. 13. 已知两个非零向量与夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.若，，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模长的计算公式和基本不等式求解即可. 【详解】， ， 所以且， 故 因为，故， 且， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 故答案为： 14. 在中，，，记，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等面积法结合三角形面积公式求解即可. 【详解】， 故 即, 故， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响. （1）求； （2）求甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和对立事件的性质求解即可； （2）利用概率的性质求解即可. 【小问1详解】 设事件为“甲能猜对灯谜”， 事件为“乙能猜对灯谜”， 由题意得，与相互独立，且,， 故甲、乙都猜不对的概率：, 故. 【小问2详解】 甲、乙恰有一人猜对灯谜的事件为, 且， 故甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率为. 16. 已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正余弦定理进行边角互化即可； （2）利用三角形的面积公式求出然后利用正弦定理结合三角函数的性质求出的取值范围即可. 【小问1详解】 ， 故，即 故， 且，故. 【小问2详解】 由正弦定理得， ， 因为是锐角三角形，. 故，即 所以，故， 所以， 故面积的取值范围为. 17. 某校为了解高一学生在学业水平模拟考试中数学成绩的情况，从全年级的成绩中随机抽取100名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，其中分数在内的学生有15人. （1）求m，n的值； （2）学校准备按成绩从高到低抽取前34%的学生进行表彰，用样本估计总体的方法，估计受表彰学生的最低分是多少? （3）若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从这6人中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有1人成绩在内的概率. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率和频数的关系以及频率之和为1求解即可； （2）先确定受表彰的学生的最低分在哪一组，然后利用受表彰学生的频率之和为34%列方程求解即可； （3）利用古典概率的公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 由图可得：，解得. 【小问2详解】 设受表彰的学生的最低分是， 频率为 频率为 故，且，解得， 故受表彰的学生的最低分是. 【小问3详解】 ）由分数在和）内的频率之比为， 故从成绩在和内的学生中共抽取6人， 则在内抽取2人，记为 在内抽取4人，记为 再从这6人中选取2人进行个案分析，抽取的样本空间为： ，共15个样本点， 这2人中恰有1人成绩在内的有： ，共8个样本点， 故这2人中恰有1人成绩在内的概率为. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交. （1）求证：； （2）若，，. （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成的角. 【答案】（1）见解析 （2）（i）见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理求解即可； （2）利用线面垂直的判定定理和线面角的定义求解即可. 【小问1详解】 直线和直线相交，故四点共面， 四棱锥中，，平面， 平面，故平面， 因为平面平面，平面， 故. 【小问2详解】 （i），，故， 故， 所以，故， 因为平面，平面， 故，且，平面， 故平面. （ii）因为，E为的中点， 故F为的中点，且， 故， 因为平面，平面， 故，且，平面， 故平面， 故是直线与平面所成的角， 因为，， 所以 所以即， 故直线与平面所成的角为. 19. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若为偶函数，且，对于任意的，至少存在4个整数b，使恒成立，求m的取值范围； （3）若的最大值为2，对于任意的，存在，使等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简后求解即可； （2）利用偶函数求出，然后将恒成立问题转化为最值问题求解即可； （3）设，然后利用三倍角公式结合三角函数的性质求出的值域，然后将任意的，存在，转化为值域的包含关系，然后利用三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 故的最小正周期: 【小问2详解】 为偶函数，且， 故，， 当时，， 若恒成立，即恒成立， 所以，故， 至少存在4个整数b， 故，即 当时，， 此时b至少有这4个解， 故m的取值范围为 【小问3详解】 的最大值为2， 故，即， 令， 因为 ， 故， ，故，则. 任意的，存在，使等式成立， 所以， 故， 即， 当时，， 故，解得， 故的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用三倍角公式，求出的值域，然后将恒成立和存在问题转化为值域的包含关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临沂市2024级普通高中学科素养水平检测考试 数学 2025.7 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 直线，平行的一个充分条件是（ ） A. ，都垂直于同一个平面 B. ，与同一个平面所成的角相等 C. ，都平行于同一个平面 D. ，都垂直于同一条直线 5. 抛掷一红一绿两颗质地均匀六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于5”，“至少有一颗骰子的点数为2”，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个在圆柱顶部挖去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型，已知圆柱的底面半径为3，圆锥的高为4，若该几何模型的体积为60π，则其表面积为（ ） A. 48π B. 60π C. 72π D. 144π 7. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列判断错误的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 8. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，外接球的球心为，若点S是正四棱锥的表面上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：5，7，4，3，5，7，7，6，4，2，则该组数据（ ） A. 极差是7 B. 众数不等于平均数 C. 25%分位数是4 D. 方差是3.5 10. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则（ ） A. 过A，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 异面直线和所成的角可以为90° C. 当P为中点时，二面角的正切值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是关于x的方程的一个根，则_______. 13. 已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.若，，则的最小值为_______. 14. 在中，，，记，，，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响. （1）求； （2）求甲、乙恰有一人猜对灯谜概率. 16. 已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求面积取值范围. 17. 某校为了解高一学生在学业水平模拟考试中数学成绩的情况，从全年级的成绩中随机抽取100名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，其中分数在内的学生有15人. （1）求m，n的值； （2）学校准备按成绩从高到低抽取前34%的学生进行表彰，用样本估计总体的方法，估计受表彰学生的最低分是多少? （3）若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从这6人中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有1人成绩在内的概率. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交. （1）求证：； （2）若，，. （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成的角. 19. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若为偶函数，且，对于任意，至少存在4个整数b，使恒成立，求m的取值范围； （3）若的最大值为2，对于任意的，存在，使等式成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$