精品解析：山东省临沂市2022-2023学年高一下学期期末数学试卷

临沂市2022级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2023．7 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数乘法及复数相等求解即得. 【详解】由，得，而， 所以，. 故选：C 2. 某校在运动会期间组织了20名啦啦队队员，她们的身高（单位：cm）数据按从小到大排序如下： 162 162 163 165 165 165 165 167 167 167 168 168 170 170 171 173 175 175 178 178 则这20名队员身高的第75百分位数为（ ） A. 171 B. 172 C. 173 D. 174 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件结合百分位数的求解步骤求解即得. 【详解】由，得这20名队员身高的第75百分位数为. 故选：B. 3. 记内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得. 【详解】在中，由正弦定理，得. 故选：C. 4. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合复数的除法运算求出复数，进而根据模长公式即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 5. 如图，已知，则（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加法和数乘运算法则，取为基底，通过运算，即可得答案； 【详解】， ， 故选：B. 6. 已知非零向量，满足，且在方向的投影向量是，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂直关系的向量表示可得，再利用投影向量的意义求出，进而求出向量夹角. 【详解】由，得，则， 由在方向的投影向量是，得，因此， 则，又，， 所以与的夹角是. 故选：C 7. 图1是边长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，若，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作，过作，将几何体转化为三棱柱和两个三棱锥的体积之和求解. 【详解】过作，垂足为，连接，由对称性可得， 又，平面，平面， 过作，垂足为，连接，则， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面，即空间几何体为直三棱柱. ∵，，所以，， 同理求得，，则， 又，等腰三角形的面积为， 空间几何体拆分为三棱柱、三棱锥和三棱锥三个部分， ∴空间几何体的体积为. 故选：D. 8. 一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】第二次摸出的球是红球有两种情况，利用古典概率公式分类列式计算即得. 【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况： 第一次摸到黑球，第二次摸到红球的概率为， 第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为， 所以第二次摸出的球是红球的概率为. 故选：A. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间线线、线面、面面垂直或平行关系逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得存在过直线的平面与平面相交，令交线为，则， 而，，则，，因此，A正确； 对于B，由，，，得是平行直线或异面直线，B错误； 对于C，由，得存在过直线的平面与平面相交，令交线为，则， 由，得，又，则，因此，C正确； 对于D，，，，当都平行于的交线时，，D错误. 故选：AC 10. 若数据的平均数为2，方差为3，则（ ） A. 数据，，，的平均数为20 B. C. 数据，，，的标准差为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平均数，方差公式逐项计算即可求解. 【详解】对于A，由平均数公式，得数据，，…，的平均数为，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由方差公式，得数据，，…，的方差为，标准差为，C正确； 对于D，由， 得，即， 所以，D正确. 故选：BCD 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两角和差公式判断AC；根据倍角公式判断BD. 【详解】因为，， 对于选项A：因为， 解得，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：AB. 12. 在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（ ） A. B. 该三棱柱的体积为4 C. 过，，三点截该三棱柱的截面面积为 D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用题设建系，对于A，通过空间向量证明平面即得；对于B，利用直棱柱体积公式计算即得；对于C，先利用线面平行的性质作出截面，再计算其面积即可排除C；对于D，设点，利用空间向量的夹角公式计算得出关于的函数式，通过求函数的最大值得到所成角正切值的最大值. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，则. 对于A，， 因， ， 可得， 因，且两直线在平面内，则有平面， 又为棱上的动点，故，即A正确； 对于B，由题意，该三棱柱的体积为，故B正确； 对于C，如图，设经过，，三点的截面交于点，连接， 因，平面，平面，则平面， 又平面，故得，即截面为梯形. 因，， 设梯形的高为，则，解得. 则故C错误； 对于D，如图，因平面，平面，则， 又，，且两直线在平面内，故得平面， 故可取平面的法向量为， 又为棱上的动点，可设，则， 设直线与平面所成角为，则， 因，故当且仅当时，取得最小值为5，此时取得最大值为， 因，而正弦函数和正切函数在上均为增函数， 故此时取得最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于难题. 解题思路在于，化“动”为“静”，将线线垂直的判断转化成线面垂直的证明；利用线面平行的性质作出截面求解；通过建系，将线面所成角的问题进行量化，借助于函数的最值求解. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为72，120，160，为了解该医院医生的出诊情况，按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，已知抽取青年医生的人数为40，则抽取老年医生的人数为______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据分层抽样比例计算即得. 【详解】因抽取青年医生的比例为，而该医院老年医生有72人， 则按照分层随机抽样方法抽取样本，抽取老年医生的人数为. 故答案为：18. 14. 已知某圆锥的高为8，体积为，则该圆锥的侧面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的体积公式求出底面圆半径及圆锥的母线即可求出侧面积. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线为， 依题意，，解得，则， 所以该圆锥的侧面积. 故答案为：. 15. 在中，已知，是的方程的两个实根，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦达定理及和角的正切公式计算即得. 【详解】由方程有两个实根，得，解得或， 又是方程的两个实根，则， 当时，，则，此时的内角都为钝角，矛盾， 因此，显然，当时，， 不妨令为锐角，则为钝角，，此时是锐角， 必有，即，矛盾，从而， ，而， 所以. 故答案为： 16. 如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，，，则三棱锥外接球的体积____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据底面的斜二测直观图为，确定三角形形状以及边长，继而将三棱锥补成相邻三侧棱分别为的长方体，则三棱锥外接球即为该长方体的外接球，求得球的半径，可得答案. 【详解】由题意可知在斜二测直观图中，，， 则 , 则在中，, 三棱锥中， ，则可将三棱锥补成相邻三侧棱分别为的长方体，则三棱锥的外接球即为该长方体的外接球， 长方体的体对角线长即为外接球的直径，则外接球半径为 ， 故三棱锥外接球的体积， 故答案： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为和，，． （1）若与夹角为，求； （2）若点是线段的中点，且与垂直，求实数的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用坐标表示向量，进而求出. （2）由（1）中信息，利用向量垂直坐标表示，列式求出值. 【小问1详解】 依题意，，，则， ，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 由向量与垂直，得， 则，解得 所以实数的值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，侧面底面，． （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定、性质推理即得. （2）取、的中点、，利用线面垂直的判定性质证得为二面角的平面角，再在直角三角形中计算即可. 【小问1详解】 四棱锥的底面是正方形，则， 侧面底面，侧面底面，平面，则平面， 又平面，于是，而，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取、的中点分别为、，连接、、，则，， 由，得，而平面，则平面， 而，于是平面，又平面，则，又， 因此是侧面与底面所成二面角的平面角，，， 因为为的中点，，故， 而侧面底面，侧面底面， 平面，则平面，而平面，故， 则，所以侧面与底面所成二面角的正切值为. 19. 某市文旅局为激发夜间文旅市场的活力，共设置夜市摊点500个，为调查这些夜市摊点的服务情况，该文旅局随机抽取了100个夜市摊点进行评分，评分越高，服务越好，满分为100分．将分数以20为组距分为5组：、、、、，得到100个夜市摊点得分的频率分布直方图，如图，已知组的频数比组多8． （1）求直方图中和的值； （2）为进一步提升夜市经济消费品质，提高服务质量，该文旅局准备对剩下的所有夜市摊点进行评分，并制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书．若该文旅局希望使得恰有50%的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数． 【答案】（1），； （2）72分. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1及已知列出方程组，求解即得. （2）由频率分布直方图中，评分分数右侧小矩形面积和为0.5，列式计算即得. 【小问1详解】 依题意，， 所以，. 【小问2详解】 设应该制定的评分分数为分，则在频率分布直方图中，直线右边小矩形的面积和为0.5， 而的小矩形面积是， 则在内，于是，解得， 所以应该制定评分分数为72分. 20. 已知函数的最大值为1. （1）求的值； （2）将的图象向右平移个单位，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数解析式得，则函数最大值为，可得的值； （2）由函数图象变换得解析式，解正弦不等式即可. 【小问1详解】 由题意，函数， 化简得， ， 的最大值为1，，解得：. 【小问2详解】 由（1）可知， 将的图象向右平移个单位，得到函数的图象， 再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 得到函数的图象， ，，则有，， 解得， 所求的取值集合为. 21. 某中学举办诗词大会选拔赛，需要从甲、乙两位选手中选出一位代表学校参加全国诗词大会，甲、乙两位选手需要分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答．已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响． （1）求甲恰好抽到2道选择题的概率； （2）求甲答对的题目比乙多的概率． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用列举法求出古典概率即得. （2）分别求出甲答对1道、2道题，乙答对0道、1道题的概率，再利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算即得. 【小问1详解】 记3道选择题的题号为1，2，3，2道填空题的题号为4，5，随机抽取2道题作答， 则试验的样本空间，共10个样本点， 记事件“甲恰好抽到2道选择题”，则，， 所以甲恰好抽到2道选择题的概率为. 【小问2详解】 设事件，分别表示甲答对1道题，2道题，事件，分别表示乙答对0道题，1道题， 则，，，， 记事件“甲答对的题目比乙多”， 则， 且，，两两互斥，与，与，与分别相互独立， 因此，， ， 于是， 所以甲答对的题目比乙多的概率为. 22. 沂河岸边欲修建一个形状为平面凸四边形的休闲观光、生态保护的主题公园，如图，其中km，km，为正三角形．建成后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为生态保护的功能区域． （1）当时，求的面积； （2）求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，进而求出，即可求出的面积. （2）令，在中，由正余弦定理用及表示，再利用三角形面积公式及三角恒等变换求解即得. 【小问1详解】 在中，，由余弦定理得， 则，，， 由为等边三角形，得，，于是， 所以的面积（）. 【小问2详解】 不妨设，，，， 在中，， 在中，由余弦定理得， 又，则， 在中，由正弦定理得，则，又， 因此 ，又，当且仅当，即时取等号， 所以最大值为. 【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂市2022级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2023．7 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 某校在运动会期间组织了20名啦啦队队员，她们的身高（单位：cm）数据按从小到大排序如下： 162 162 163 165 165 165 165 167 167 167 168 168 170 170 171 173 175 175 178 178 则这20名队员身高的第75百分位数为（ ） A. 171 B. 172 C. 173 D. 174 3. 记内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量，满足，且在方向的投影向量是，则与的夹角是（ ） A B. C. D. 7. 图1是边长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，若，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 若数据的平均数为2，方差为3，则（ ） A. 数据，，，的平均数为20 B. C. 数据，，，标准差为 D. 11. 已知，，则（ ） A B. C. D. 12. 在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（ ） A. B. 该三棱柱的体积为4 C. 过，，三点截该三棱柱的截面面积为 D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为72，120，160，为了解该医院医生的出诊情况，按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，已知抽取青年医生的人数为40，则抽取老年医生的人数为______． 14. 已知某圆锥的高为8，体积为，则该圆锥的侧面积为_______________． 15. 在中，已知，是的方程的两个实根，则_______________． 16. 如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，，，则三棱锥外接球的体积____________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为和，，． （1）若与夹角为，求； （2）若点是线段的中点，且与垂直，求实数的值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4正方形，，侧面底面，． （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的正切值． 19. 某市文旅局为激发夜间文旅市场的活力，共设置夜市摊点500个，为调查这些夜市摊点的服务情况，该文旅局随机抽取了100个夜市摊点进行评分，评分越高，服务越好，满分为100分．将分数以20为组距分为5组：、、、、，得到100个夜市摊点得分的频率分布直方图，如图，已知组的频数比组多8． （1）求直方图中和的值； （2）为进一步提升夜市经济消费品质，提高服务质量，该文旅局准备对剩下的所有夜市摊点进行评分，并制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书．若该文旅局希望使得恰有50%的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数． 20. 已知函数的最大值为1. （1）求的值； （2）将的图象向右平移个单位，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求使成立的的取值集合. 21. 某中学举办诗词大会选拔赛，需要从甲、乙两位选手中选出一位代表学校参加全国诗词大会，甲、乙两位选手需要分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答．已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响． （1）求甲恰好抽到2道选择题的概率； （2）求甲答对的题目比乙多的概率． 22. 沂河岸边欲修建一个形状为平面凸四边形的休闲观光、生态保护的主题公园，如图，其中km，km，为正三角形．建成后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为生态保护的功能区域． （1）当时，求的面积； （2）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $