精品解析：安徽省亳州市蒙城县部分学校2024-2025学年八年级下学期5月联考数学试题

2024-2025学年度八年级下学期月考试卷 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.，故不是最简二次根式； B.是最简二次根式； C.，故不是最简二次根式； D.，故不是最简二次根式； 故选：B． 2. 一个正多边形每个内角为，则这个正多边形的边数是（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内外角和，利用正多边形的外角和定理，每个外角等于减去内角，再用外角和除以每个外角度数即可得到边数． 【详解】解：每个内角为，则每个外角为． 正多边形的外角和为，边数外角和÷每个外角度数． 因此，这个正多边形的边数为8， 故选C． 3. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解． 【详解】解：由题意知：被开方数， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0． 4. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法，熟悉掌握配方的方法是解题的关键．移项后方程两边都加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：D． 5. 在一次演讲比赛中，七位评委为某位选手打出的分数如下：87，95，89，99，87，93，97（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ） A. 平均分 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】先将分数从小到大依次排序，然后分别求解各量，最后比较即可． 【详解】解：将分数从小到大依次排序为：87，87，89，93，95，97，99； 平均分为：， 众数为：87， 中位数为：93， 方差为：， 去掉一个最高分和一个最低分后从小到大依次排序为：87，89，93，95，97； 平均分为：， 众数不存在， 中位数为：93， 方差为：， ∴去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数， 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数、方差．解题的关键在于正确的运算． 6. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 7. 在Rt△ABC中，a，b，c为三边长，则下列关系中正确的是 ( ) A. += B. += C. = D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用分类讨论思想、根据勾股定理判断即可． 详解：∵a，b，c三边都可以是斜边，∴a2+b2=c2，a2+c2=b2，b2+c2=a2． 故选D． 点睛：本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 8. 某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价，销量不佳；第二次又降价，销售大增，很快就清理了库存．设两次降价的平均降价率为x，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设该商品的原价为a元，则经过两次降价后的价格为元，利用经过两次降价后的价格原价两次降价的平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该商品的原价为a元，则经过两次降价后的价格为元， 根据题意得：， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，则PE＋PF的值是（ ） A. 1.5 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接PB，利用即可求得PE+PF的值． 【详解】如图，连接PB ∵四边形ABCD是菱形，其周长为12cm ∴AB=BC=3cm，cm2 ∵ ，PF⊥AB，PE⊥BC ∴ 即PE+PF=2cm 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、图形的面积计算等知识，关键是利用面积相等． 10. 在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交直线于点F，若，则的长为（　　） A. B. 3 C. 或 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质得由E是的中点，得，由折叠得，则 ，可证明，得，再分两种情况讨论，一是点F线段上，因为，所以，则，由勾股定理得；二是点F在线段的延长线上，则，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ∵E是的中点， ∴， 由折叠得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 当点F线段上，如图1 ∵， ∴， ∴， ∴； 当点F在线段的延长线上，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故选：C． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义、分式有意义的条件的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得，根据分式有意义的条件得出，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 12. 设分别为一元二次方程的两个实数根，则___________． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，代入求值，理解并掌握一元二次方程的解的含义，代入求值的方法是解题的关键． 根据一元二次方程的根，可得，根据根与系数的关系得，将代数式变形得，代入求值即可． 【详解】解：设分别为一元二次方程的两个实数根， 原式． 故答案为： 2023． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为___________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念及一元二次方程的解法进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得（舍去）． 故答案：3． 【点睛】本题主要考查同类二次根式及一元二次方程的解法，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 14. 如图，正方形的边长为4，点，分别是，边上的动点，且． （1）若，则______； （2）的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，从而得到，由勾股定理计算出的长，即可得到答案； （2）连接，通过证明可得，作点关于的对称点，连接，则，从而得到，当在同一直线时，最小，利用勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是正方形，且边长为4， ， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）连接， ， 四边形是正方形，且边长为4， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 作点关于的对称点，连接， 则， ， 当在同一直线时，最小， ， 在中，， 的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、最短距离问题、勾股定理，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 三、计算题（本题共2小题，每小题5分，满分10分） 15. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质，二次根式的乘除加减运算法则以及零指数幂的意义计算即可． 【详解】解∶原式 ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的一元二次方程: ; (1)求证:无论为何值，方程总有实数根; (2)若方程的一个根是2，求另一个根及的值. 【答案】 （1）证明:(方法一). ∴无论为何值时，方程总有实数根. (方法二)将代入方程，等式成立，即是原方程的解， 因此，无论为何值时，方程总有实数根， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出△＝（k﹣3）2≥0，从而证出无论k取任何值，方程总有实数根． （2）先把x＝2代入原方程，求出k的值，再解这个方程求出方程的另一个根． 【详解】(1)略 (2)把代入方程解得， 解方程得 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 18. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段的端点，都在正方形网格的格点上． （1）请在下面的网格中画出，使（点，都在正方形网格的格点上，画出一个符合题意的图形即可）； （2）在（1）中所画出的的对角线的长是______． 【答案】 （1）如图，平行四边形ABCD即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定以及数形结合的思想解决问题即可． （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）BD=， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察下列等式： ①，②，③，④， （1）按此规律完成第⑤个等式：(___________)(_______)(________)； （2）写出你猜想的第个等式(用含的式子表示)，并证明其正确性． 【答案】（1），，； （2）由规律可得：第个等式(用含的式子表示)为： ， 右边， 左边右边，即． 【解析】 【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为1，第二个式子的左边分母为2，…第五个式子的左边分母为5；右边第一个分数的分母为2，3，4，…第五个则为6，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1； （2）由（1）的规律发现第n个式子为，利用分式的加减证明即可． 【详解】（1） 故答案为：，，； （2）略 【点睛】此题考查数字的变化规律，关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律，并应用发现的规律解决问题． 20. 如图，在中，、分别是、延长线上的点，且，连接交、于点、．求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．由四边形是平行四边形，可得，，进而证明，即可得出． 【详解】略 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 为了解某校学生课外阅读情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，根据调查结果绘制了扇形统计图和条形统计图，部分信息如下： 请你根据统计图中的信息，解答下列问题． （1）图1中______，并补全图2中的条形统计图： （2）求抽取的这部分学生一周内平均每人阅读的次数； （3）根据本次调查的结果，估计该校3000名学生在一周内借阅图书为“3次及3次以上”的人数． 【答案】（1）20， 补全条形统计图如下： （2）1.88次；（3）720人 【解析】 【分析】（1）根据1次的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可求得a的值，求出借阅图书为2次的人数，即可补全图2中的条形统计图； （2）根据（1）中的结果和统计表中的数据，可以计算出抽取的部分学生一周内平均每人阅读的次数； （3）根据统计表中的数据，可以计算出该校3000名学生在一周内借阅图书为“3次及3次以上”的人数． 【详解】解：（1）本次调查的人数为：12÷24%=50（人）， a%=10÷50×100%=20%， ∴a=20， 借阅图书为2次的人数为：50-4-12-10-2=22（人）； 故答案为：20； （2）=1.88（次）， 即抽取的部分学生一周内平均每人阅读的次数为1.88次； （3）3000×=720（人）， 答：该校3000名学生在一周内借阅图书为“3次及3次以上”的人数有720人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 某网店销售某种玩具，平均每天可售出30件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，该网店采取了降价措施，在每件盈利不少于32元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．若每件商品降价（为正数）元． （1）用含的代数式表示出平均每天销售的数量，并直接写出的取值范围； （2）若该网店每天销售利润为2100元时，求的值． 【答案】（1）（30+2a）件，0＜a≤18；（2）15 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价a元，则平均每天可多售出2a件，即平均每天销售数量为（2a+8）件，并根据每件盈利不少于32元，求出a的取值范围； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件， 可得若降价a元，则平均每天可多售出2a件， 即平均每天销售数量为（30+2a）（件）， ∵50-a≥32， 解得：a≤18． ∴0＜a≤18； （2）由题意得：（50-a）（30+2a）=2100， 整理得：a2-35a+300=0， ∴（a-20）（a-15）=0． ∴a1=20，a2=15． ∵每件盈利不少于32元，即50-20=30＜32， ∴a2=20，舍去． 答：每件商品降价15元时，该商品每天的销售利润为2100元． 【点睛】本题考查了一元二次方程在商品利润问题中的应用，明确商品平均每天售出的件数乘以每件盈利等于每天销售这种商品利润是解决本题的关键． 七、解答题（本大题共1小题，满分14分） 23. 如图，在平行四边形中，分别是的中点，分别是对角线上的四等分点，顺次连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当平行四边形满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由． （3）若．探究四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：（1）如图1，连接， 分别是对角线上的四等分点， 是的中点，分别为的中点， 四边形是平行四边形， 过点， ， 是的中点， 为的中位线， ， 同理， ， 四边形是平行四边形 ； （2） 当满足时，四边形是菱形，理由如下： 如图2，连接， 四边形是平行四边形， ， 分别是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （3） 四边形是矩形，理由如下： 如图2，由（2）知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，菱形的判定定理，矩形的判定定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，得到过点，得到，可得到， ，即可得到结论； （2）当满足时，四边形是菱形，连接，可证明四边形是平行四边形，由，得到，即可得到结论； （3）四边形是矩形， 由（2）知，四边形是平行四边形，得到，继而得到，，即可得到结论． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度八年级下学期月考试卷 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个正多边形每个内角为，则这个正多边形的边数是（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 3. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A. B. C. D. 5. 在一次演讲比赛中，七位评委为某位选手打出的分数如下：87，95，89，99，87，93，97（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ） A. 平均分 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 6. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 7. 在Rt△ABC中，a，b，c为三边长，则下列关系中正确的是 ( ) A. += B. += C. = D. 以上都有可能 8. 某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价，销量不佳；第二次又降价，销售大增，很快就清理了库存．设两次降价的平均降价率为x，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，则PE＋PF的值是（ ） A. 1.5 B. 1 C. 2 D. 4 10. 在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交直线于点F，若，则的长为（　　） A. B. 3 C. 或 D. 或3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 12. 设分别为一元二次方程的两个实数根，则___________． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为___________ 14. 如图，正方形的边长为4，点，分别是，边上的动点，且． （1）若，则______； （2）的最小值为______． 三、计算题（本题共2小题，每小题5分，满分10分） 15. 计算：； 16. 解方程：． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的一元二次方程: ; (1)求证:无论为何值，方程总有实数根; (2)若方程的一个根是2，求另一个根及的值. 18. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段的端点，都在正方形网格的格点上． （1）请在下面的网格中画出，使（点，都在正方形网格的格点上，画出一个符合题意的图形即可）； （2）在（1）中所画出的的对角线的长是______． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察下列等式： ①，②，③，④， （1）按此规律完成第⑤个等式：(___________)(_______)(________)； （2）写出你猜想的第个等式(用含的式子表示)，并证明其正确性． 20. 如图，在中，、分别是、延长线上的点，且，连接交、于点、．求证：． 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 为了解某校学生课外阅读情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，根据调查结果绘制了扇形统计图和条形统计图，部分信息如下： 请你根据统计图中的信息，解答下列问题． （1）图1中______，并补全图2中的条形统计图： （2）求抽取的这部分学生一周内平均每人阅读的次数； （3）根据本次调查的结果，估计该校3000名学生在一周内借阅图书为“3次及3次以上”的人数． 22. 某网店销售某种玩具，平均每天可售出30件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，该网店采取了降价措施，在每件盈利不少于32元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．若每件商品降价（为正数）元． （1）用含的代数式表示出平均每天销售的数量，并直接写出的取值范围； （2）若该网店每天销售利润为2100元时，求的值． 七、解答题（本大题共1小题，满分14分） 23. 如图，在平行四边形中，分别是的中点，分别是对角线上的四等分点，顺次连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当平行四边形满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由． （3）若．探究四边形的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $