精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

2024-2025学年度第一学期高二开学考试数学试卷 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 若向量，则向量对应的复数为 A. B. C. D. 2. 某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 6 3. 已知非零向量与同向，则（ ） A. 必与同向 B. 必与同向 C. 可能与同向、反向也可能是 D. 不可能与同向 4. 某圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π的扇形，则该圆锥的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（　　） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．地区不同，制作的粽子形状也不同，图中的粽子接近于正三棱锥．经测算，煮熟的粽子的密度为，若图中粽子的底面边长为，高为，则该粽子的重量大约是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的矩形中，，满足，，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部是 B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 是纯虚数 10. 已知，是不同平面，，，是不同直线，则“”的充分条件是（ ） A. ，； B. ，，； C. ，，； D. ，， 11. 下图是我国2018~2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法正确的是（ ） A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量的第60百分位数为536.5万辆 C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年 D. 2020年销量高于这六年销量的平均值 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知，向量在向量方向上的数量投影为，则与的夹角为________． 13. 已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为______． 14. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边，，，求面积的公式．这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即：．现有的三边，，满足，且的面积，若点是边的中点，则______． 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分） 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若函数关于点中心对称，求在上的值域． 16. 本小题满分12分） 设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且 ． (Ⅰ)求角的值； (Ⅱ)若，求（其中）． 17. 在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形， ∥， 平面. （Ⅰ）求证：平面 ； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 18. 某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照，，…，分成9组，制成了如下图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中a的值； （2）用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量的方差． 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点. （Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC； （Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE； （Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期高二开学考试数学试卷 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 若向量，则向量对应的复数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据复向量的几何意义求解即可. 【详解】因为向量， 所以向量对应的复数是．故选C． 【点睛】根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． 2. 某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义列出式子，进行求解. 【详解】由题意得，史地政”组合中选出的同学人数为. 故选：A 3. 已知非零向量与同向，则（ ） A. 必与同向 B. 必与同向 C. 可能与同向、反向也可能是 D. 不可能与同向 【答案】C 【解析】 【分析】比较的大小关系即可逐一判断. 【详解】向量与同向， 当时，与同向； 当时，与反向； 当时，． 故选：C. 4. 某圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π的扇形，则该圆锥的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆锥底面圆半径，再利用圆锥的结构特征求出高. 【详解】依题意，圆锥的母线长，设圆锥的底面圆半径为， 依题意，，解得， 所以圆锥的高. 故选：B 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（　　） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【详解】分析：把化为，故把的图象向左平移 个单位，即得函数的图象． 详解：， 故把的图象向左平移 个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象． 故选D ． 点睛：本题考查诱导公式，以及y=Asin（ωx+∅）图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键；函数图像平移满足左加右减的原则，这一原则只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进行加减. 6. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．地区不同，制作的粽子形状也不同，图中的粽子接近于正三棱锥．经测算，煮熟的粽子的密度为，若图中粽子的底面边长为，高为，则该粽子的重量大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等边三角形面积公式和正三棱锥体积公式求出粽子的体积，然后利用密度公式计算粽子的质量. 【详解】由题知， 粽子的体积， 根据可得， 该粽子重量大约为， 与C选项最为接近. 故选：C 7. 如图所示的矩形中，，满足，，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理将用表示出出来，从而可求得的值 【详解】因为为的中点，，， 所以， 因为，所以， 所以． 故选：A 8. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解. 【详解】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形. 故选：D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部是 B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 是纯虚数 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数的概念，可判断A；可得的几何意义判断BC；可求得判断D. 【详解】由，易知的虚部是3，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确； ，是实数不是纯虚数，故D错误. 故选：BC. 10. 已知，是不同平面，，，是不同直线，则“”的充分条件是（ ） A. ，； B. ，，； C. ，，； D. ，， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,由，，则,可能相交，可能异面，可能平行，故A错误， 对于B，由线面平行的性质定理可知，，，则，B正确， 对于C,若，，，则，C正确， 对于D，若，，，则,异面或者平行，D错误， 故选：BC 11. 下图是我国2018~2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法正确的是（ ） A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量的第60百分位数为536.5万辆 C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年 D. 2020年销量高于这六年销量的平均值 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增；对于B，将数据从小到大排序，按百分位数计算公式计算即可；对于C，计算每年的增长率比较即可；对于D，求出平均值并和年数据比较即可. 【详解】对于A，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增，故A正确； 对于B，因为，将所有汽车销量数据从小到大排序， 所以销量的第百分位数为第个数据，即，故B正确； 对于C，年的增长率为， 年的增长率为 年的增长率为 年的增长率为 年增长率为 年的增长率超过其他年份的增长率，故C正确； 对于D，这六年销量的平均数为 ，故D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知，向量在向量方向上的数量投影为，则与的夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量投影的定义求得与的夹角的余弦即可求解. 【详解】向量在向量方向上的数量投影为，由题意，向量， 所以与的夹角为，因为，所以． 故答案为：． 13. 已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为，的中点，得， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，而，有， 于是， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为： 14. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边，，，求面积的公式．这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即：．现有的三边，，满足，且的面积，若点是边的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由余弦定理得出,由面积公式求出再求出，余弦定理可得出中线的长. 【详解】，所以， 设，，，则 所以，，， 由正弦定理可得，可得 ， 又，则在中角 最小，所以角为锐角， 所以 ， 在中， ， 所以. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分） 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若函数关于点中心对称，求在上的值域． 【答案】（1）最小正周期为， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用倍角公式化简得，结合正弦函数的单调区间及最小正周期即可求解； （2）先写出，由关于点中心对称解出，再结合正弦函数的值域即可求解. 【小问1详解】 ．∴的最小正周期为， 令，∴的单调递增区间为 【小问2详解】 ． ∵关于点中心对称，∴，∵，∴． ∴．当∴． 16. 本小题满分12分） 设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且 ． (Ⅰ)求角的值； (Ⅱ)若，求（其中）． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：(1) 利用两角和与差的正弦公式展开化简得 ，又为锐角，所以 ；(2)由可得，即，然后利用余弦定理得的另一个关系，从而解出. 试题解析：(1)因为 ， 所以，又为锐角，所以. (2)由可得 ① 由（1）知，所以 ② 由余弦定理知，将及①代入，得 ③ ③+②×2，得，所以 因此，是一元二次方程的两个根. 解此方程并由知. 考点：两角和与差的正弦定理、平面向量的数量积、余弦定理. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形， ∥， 平面. （Ⅰ）求证：平面 ； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB= 60°，， 由余弦定理可知， ，即， 在中， ，， 则是直角三角形，且 ， 又，且 ， 故BD⊥平面AED． （Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）要证明直线和平面垂直，只需证明直线和平面内的两条相交直线垂直．由已知得，故只需证明，在中，由余弦定理得的关系，即的关系确定，在中，结合已知条件可判定是直角三角形，且，从而可证明BD⊥平面AED；（2）求二面角，可先找后求，过作，由已知FC⊥平面ABCD，得面，故，，故为二面角F—BD—C的平面角，在中计算． 【详解】（1）略 （2）过作 ，交于点 . 因为FC⊥平面ABCD，面 ，所以，所以 面 ，因此， ， 故为二面角F—BD—C的平面角. 在中， ， 可得 因此. 即二面角F—BD—C的余弦值为. 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、二面角. 18. 某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照，，…，分成9组，制成了如下图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中a的值； （2）用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量的方差． 【答案】（1）0.30； （2）1.1136. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出a值作答. （2）求出100户居民月均用水量的平均数，再列式计算方差作答. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，数据在 的频率依次， 则由，解得， 所以直方图中a的值为0.30. 【小问2详解】 由频率分布直方图得100户居民月均用水量的平均数为： ， 所以这100户居民月均用水量的方差为： . 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点. （Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC； （Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE； （Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由. 【答案】 （Ⅰ）证明：因为平面,所以； 因为底面是菱形，所以; 因为,平面, 所以平面. （Ⅱ）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以, 因为,所以； 因为平面，平面, 所以； 因为 所以平面， 平面,所以平面平面. （Ⅲ）存在点为中点时，满足平面；理由如下: 分别取的中点，连接, 在三角形中，且； 在菱形中，为中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以; 又平面，平面，所以平面. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； (Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直； (Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）略 （Ⅲ）略 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $