精品解析：黑龙江省大庆市林甸县智研团队2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷

林甸县智研团队2024-2025学年度下学期期末教学质量检测 高一年级数学学科试卷 考试时间:120分钟 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题所给出的4个选项中只有一个是符合题的. 1. 某数学竞赛小组6名同学的初赛成绩分别为：94，96，98，96，95，97．则这组数据的（ ） A. 众数为98 B. 平均数为95 C. 方差为 D. 标准差为 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、平均数、方差、标准差定义计算可得结果. 【详解】易知这组数据中只有96出现了两次，所以众数为96，即A错误； 平均数为，因此B错误； 方差为；即C正确； 标准差为，即D错误. 故选：C 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得，再根据复数的模公式求解. 【详解】由题，， 所以. 故选：C. 3. 若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为5，乙组样本数据，，…，的平均数为5，则下列说法不正确的是（ ） A. 的值为 B. 乙组样本数据的方差为45 C. 两组样本数据的样本极差不同 D. 两组样本数据的样本中位数一定相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据两组样本数据的平均数与方差的关系，可判定A、B正确，根据极差的概念，可判定C正确，根据中位数的计算方法，可得判定D正确. 【详解】由甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为，方差为， 乙组样本数据，，…，的平均数为5， 可得，即，解得，所以A正确； 设乙组样本数据的方差为，可得，所以B正确； 不妨设，则甲组数据的极差为， 乙组数据的极差为， 因为甲组数据各不相同，所以两组样本数据的极差不相等，所以C正确； 设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为， 若，可得，所以两组样本数据的中位数可能相同，所以D不正确. 故选：D. 4. 如图，在山脚处测得山顶的仰角为，朝山顶沿坡度为的斜坡向上走到点处，此时测得山顶的仰角为，则山高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，再结合角的关系求得，最后在直角中求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为，，所以， 又，所以，所以， 在中，， 所以山高. 故选：A 5. ，，为两两不重合的平面，，为不重合的直线，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】ABC均可举出反例；D选项，由点线面的位置关系，求出，则，D正确. 【详解】对于A，若，，则或，A错误； B选项，若，，，则或异面，B错误； C选项，如图所示，满足，，，则不垂直，C错误； D选项，若，则， 又，，则， 所以，则，D正确. 故选：D 6. 在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得；利用正弦定理边化角整理可求得，利用二倍角正切公式化简所求，可得关于的函数的形式，结合的范围可求得结果. 【详解】，由正弦定理得：，即， 由余弦定理知：，， ，即， 由正弦定理得：， ， 整理可得：， 为锐角三角形，，，， ，即， ， ， ，，，， ，，， 即的取值范围为. 故选：C. 7. 在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D 8. 平行六面体的六个面都是菱形，那么顶点在平面上的射影一定是的（ ） A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，连接、、，分别交、、于点、，可得知点、、分别为、、的中点，设点在平面上的射影为点，推导出，同理可得出，，由此可得出结论. 【详解】如下图所示： 连接、、，分别交、、于点、， 由于平行六面体的六个面都是菱形，则点、、分别为、、的中点， 四边形为菱形，则， 由题意可知平面，平面，， ，平面， 平面，，则为线段的垂直平分线， 同理可知，为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线， 因此，点为的外心. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形四心的判断，利用线面垂直推导出线线垂直是解答的关键，考查推理能力，属于中等题. 二、多选题:本大题共三小题，每小题6分，满分18分.在每小题所给出的4个选项中有多项是符合题意的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有错选不得分. 9. 若复数，则（ ） A. B. 的实部与虚部之和等于的实部与虚部之和 C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】先对两个复数进行化简，再利用公式计算其模长，最后根据共轭复数的定义和复数对应点在复平面的位置即可得到答案. 【详解】对于选项，由题意得，，则，故正确． 对于选项，的实部与虚部之和为，的实部与虚部之和为，故错误． 对于选项，根据共轭复数的定义可得，的共轭复数为，故正确. 对于选项，在复平面内对应的点位于第二象限，故错误． 故选：. 10. 已知事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件A，B相互独立 B. 若事件A，B互斥，则 C. 若事件A，B相互独立，则 D. 若事件B发生时事件A一定发生，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用独立事件的判定得事件，B相互独立，即可判断A；由互斥事件概率求法、概率的基本性质依次判断B、C、D. 【详解】，，， 事件，B相互独立，则A，B相互独立，正确； 由，B互斥，则，正确； ，B相互独立，则， ∴，错误； 发生时A一定发生，，则，正确． 故选：ABD 11. 正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论中正确的是（ ） A. 当P在A1D上运动时，不一定有 B. 当P在直线A1D上运动时，三棱锥B1－ACP的体积不变 C. PA+PC的最小值为 D. 以点B为球心，为半径的球面与平面AB1C的交线长为π 【答案】BD 【解析】 【分析】作出辅助线，证明线面垂直，得到线线垂直判断A，由题可得平面，进而可得三棱锥的体积不变，判断B，将平面翻折到平面上，求得PA+PC的最小值判断C，根据球的截面的性质可得以点B为球心，为半径的球面与面 的交线即为的内切圆，即可判断D. 【详解】对于A，连接，因为四边形为正方形，故， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 所以当P在A1D上运动时，一定有，A错误； 对于B，由正方体的性质可得，平面， 平面，到平面的距离为定值，     又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故B正确； 对于C，将平面翻折到平面上，如图，     连接AC，与的交点即为点P，此时取最小值AC， 在三角形ADC中，，故C错误； 对于D，由于平面，设与平面交于点， ，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为， ，， 在以为圆心，为半径的圆上，     由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ， 故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内， 交线长为，故D正确． 故选：BD. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 甲乙两人分别独立抛掷一枚均匀的骰子，甲掷次，乙掷次，设甲投掷出现偶数点的次数为，乙投掷出现奇数点的次数为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先考虑甲、乙投掷次的情况，然后根据概率的特征求出的值. 【详解】可以先考虑甲、乙各抛掷次的情形， ①如果甲投掷出现偶数点的次数等于乙投掷出现奇数点的次数，将该情形概率设为， 则第次甲必须再抛掷出偶数点，才能使得甲投掷出现偶数点的次数大于乙投掷出现奇数点的次数； ②如果甲投掷出现偶数点的次数小于乙投掷出现奇数点的次数，将该情形概率设为， 则第次无论结果如何，甲投掷出现偶数点的次数仍然不大于乙投掷出现奇数点的次数； ③如果甲投掷出现偶数点的次数大于乙投掷出现奇数点的次数，将该情形概率设为， 则第次无论结果如何，甲投掷出现偶数点的次数仍然大于乙投掷出现奇数点的次数； 由对称性可知 故，而由于， 故. 故答案为：. 13. 如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先，根据正四棱台的体积公式求出棱台的高；然后，通过建立关于外接球半径的方程来求解外接球半径；最后，利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积， 由棱台体积公式得， 设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为，则. 展开并化简：（负值舍去）， 则， 最终外接球表面积：， 故答案为： 14. 在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________. 【答案】9 【解析】 【分析】取的中点为，把用表示，根据平面向量数量积的定义表示出，再根据投影向量的定义及平面向量数量积的几何意义即可求出的值，也就是的最小值. 【详解】 如图所示：取的中点为，则， 所以， 所以 ， 所以，当且仅当，共线同向时取等号（此时为直角）. 故答案为：9 四、解答题:本大题共5小题，满分77分，解答时应有相应的步骤和过程. 15. 不透明的袋子中装有4个红球，m个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次绿球被取出的概率为． （1）求袋子中绿球的个数； （2）若进行2次取球，求这2次取出的球的颜色不同的概率． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式列方程求解； （2）根据独立事件概率乘法公式进行计算. 【小问1详解】 袋子中装有4个红球，m个绿球，从中有放回地随机取出1个球， 则绿球被取出的概率为． 由题可知，解得， 故袋子中绿球的个数为2． 【小问2详解】 由题可知，每次绿球被取出的概率为，则每次红球被取出的概率为， 且2次取出的球的颜色相互独立． 第一次取出红球，第二次取出绿球的概率为； 第一次取出绿球，第二次取出红球的概率为． 故2次取出的球的颜色不同的概率为． 16. 如图，在直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点. （1）证明：平面； （2）已知，，求CD与平面所成角的大小. 【答案】（1） 连结，交于点，连结， 因为点分别是的中点，所以 , 平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，根据几何关系构造辅助线，即可证明； （2）根据垂直关系，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再代入线面角的向量公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以，所以， 如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 所以，令，则，， 所以平面的法向量为， 设与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为. 17. 2025年1月下旬，DeepSeek的RI模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. （1）求图中a的值，并根据频率分布直方图估计该产品用户每日平均使用时长的中位数； （2）采用分层抽样的方法从样本中使用时长在，的用户中随机抽取7人. ①求应从，用户中分别抽取的人数； ②从选定的7人中随机抽取2人作进一步分析，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）； ③在②的条件下，设事件“随机抽取2人中至多有一名为忠实粉丝的人数”，求事件A的概率. 【答案】（1），70分钟 （2）①3人，4人； ②设在区间抽取样本记为a，b，c， 在区间抽取样本，记为A，B，D，E， 从中任取2人，试验的样本空间为： ， （也可这样表示） 共21个样本点. ③． 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求得，再求出频率分布直方图频率对应的时长即为中位数； （2）①根据分层抽样的概率确定人数；②用列举法写出样本空间后根据概率公式计算概率；③同样用列举法写出样本空间后根据概率公式计算概率 【小问1详解】 ，解得， 由图可知中位数在内，设中位数为x， 则有， 故，即中位数估计为70分钟. 【小问2详解】 ①时长在内的有人， 时长在内的有人， 由分层随机抽样可知，在区间应抽取3人，在区间应抽取4人. ②略 ③设事件“随机抽取2人中至多有一名为忠实粉丝的人数”， ， （也可这样表示） 共15个样本点. ∴， ∴随机抽取2人中至多有一名为忠实粉丝人数的概率为. 18. 已知在正四棱柱中，，点是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 由题可得，又平面，平面，故， 而平面，且， 平面，又平面， 所以平面平面. （2）； （3）3 【解析】 【分析】（1）由题，可证平面，再根据面面垂直的判定定理得证； （2）由题，为异面直线与所成角或其补角，求出三边长，利用余弦定理得到异面直线的夹角余弦值； （3）证明平面，由等体积法求出三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以为异面直线与所成角或其补角， 正四棱柱中，， 由勾股定理得， 在中，， 由余弦定理，得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 因为正方形，所以，， 又在正四棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以． 或. 19. 如图，已知中，，，直线过的重心P，与线段，分别交于点M，N，设，（，）. （1）证明：为定值，并求出此定值； （2）求的取值范围； （3）记，的周长分别为，，设，记，求的取值范围. 【答案】（1）证明如下： 因为，，则，， 因为点P是的重心，所以， 因为在直线l上，所以， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点P是的重心，利用向量的线性运算表达出，再根据已知条件转化为，利用三点共线即可证明； （2）先由余弦定理求得，再利用平面向量数量积定义表示，利用（1）的结论求取值范围即可； （3）先求出，写出，，再根据，及，化简，由（2）知，判断出单调性即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由余弦定理，得， 所以. 因为，，，， 由（1）知，所以，则. 因为，所以， 因为，所以当时，的最小值为，当或2时，的最大值为， 所以，即的取值范围为. 【小问3详解】 ， 所以，. 设，又，所以， 所以 . 由（2）知， 因为的对称轴为，在上单调递增， 又因为在上也是单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 林甸县智研团队2024-2025学年度下学期期末教学质量检测 高一年级数学学科试卷 考试时间:120分钟 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题所给出的4个选项中只有一个是符合题的. 1. 某数学竞赛小组6名同学的初赛成绩分别为：94，96，98，96，95，97．则这组数据的（ ） A. 众数为98 B. 平均数为95 C. 方差为 D. 标准差为 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为5，乙组样本数据，，…，的平均数为5，则下列说法不正确的是（ ） A. 的值为 B. 乙组样本数据的方差为45 C. 两组样本数据的样本极差不同 D. 两组样本数据的样本中位数一定相同 4. 如图，在山脚处测得山顶的仰角为，朝山顶沿坡度为的斜坡向上走到点处，此时测得山顶的仰角为，则山高为（ ） A. B. C. D. 5. ，，为两两不重合的平面，，为不重合的直线，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9 8. 平行六面体的六个面都是菱形，那么顶点在平面上的射影一定是的（ ） A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心 二、多选题:本大题共三小题，每小题6分，满分18分.在每小题所给出的4个选项中有多项是符合题意的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有错选不得分. 9. 若复数，则（ ） A. B. 的实部与虚部之和等于的实部与虚部之和 C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件A，B相互独立 B. 若事件A，B互斥，则 C. 若事件A，B相互独立，则 D. 若事件B发生时事件A一定发生，则 11. 正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论中正确的是（ ） A. 当P在A1D上运动时，不一定有 B. 当P在直线A1D上运动时，三棱锥B1－ACP的体积不变 C. PA+PC的最小值为 D. 以点B为球心，为半径的球面与平面AB1C的交线长为π 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 甲乙两人分别独立抛掷一枚均匀的骰子，甲掷次，乙掷次，设甲投掷出现偶数点的次数为，乙投掷出现奇数点的次数为，则__________. 13. 如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 14. 在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________. 四、解答题:本大题共5小题，满分77分，解答时应有相应的步骤和过程. 15. 不透明的袋子中装有4个红球，m个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次绿球被取出的概率为． （1）求袋子中绿球的个数； （2）若进行2次取球，求这2次取出的球的颜色不同的概率． 16. 如图，在直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点. （1）证明：平面； （2）已知，，求CD与平面所成角的大小. 17. 2025年1月下旬，DeepSeek的RI模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. （1）求图中a的值，并根据频率分布直方图估计该产品用户每日平均使用时长的中位数； （2）采用分层抽样的方法从样本中使用时长在，的用户中随机抽取7人. ①求应从，用户中分别抽取的人数； ②从选定的7人中随机抽取2人作进一步分析，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）； ③在②的条件下，设事件“随机抽取2人中至多有一名为忠实粉丝的人数”，求事件A的概率. 18. 已知在正四棱柱中，，点是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 19. 如图，已知中，，，直线过的重心P，与线段，分别交于点M，N，设，（，）. （1）证明：为定值，并求出此定值； （2）求的取值范围； （3）记，的周长分别为，，设，记，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $