精品解析：江苏省扬州市江都区邵樊片2024-2025学年七年级下学期第二次月考数学试卷

七年级数学试卷 2025．5 （考试时间：120分钟，试卷满分150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 4. 若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（ ） A. B. C. D. 6. 由方程组可得到与的关系式是（　　） A. B. C. D. 7. 关于的不等式的解集如图所示，则的取值是（ ） A. 0 B. C. D. 8. 如图所示，把一根绳子对折成线段，然后从处将绳子剪断，如果是的一半，且剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 9. 一张纸的厚度大约是，将数据“0.000104”用科学记数法的表示为______． 10. 已知是关于的二元一次方程的解，则的值为______． 11. 若，，，为整数，则______． 12. 若，为正整数，则______． 13. 数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 _____． 14. 已知关于，的二元一次方程组，则_____． 15. 已知甲、乙两数的和为16，乙数比甲数少3，则甲数是_______，乙数是_______． 16. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打_______折． 17. 矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 18. 如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为 S1，S2，两个小正方形，面积分别为 S3，S4，若 2S1－S2 的值与 AB 的长度无关，则 S3 与 S4 之间的关系是______. 三、解答题（共10小题，共96分） 19. （1）计算： （2）简便计算： 20. （1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 21. 先化简再求值：，且单项式与是同类项． 22. 若关于的二元一次方程组的解满足，求的最小整数解． 23. 某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价30元，羽毛球每只定价5元．该店还制定了两种优惠方法： ①买一副球拍赠送一只羽毛球； ②按总价的付款． 某人计划购买4副球拍，n只羽毛球（）， 此人通过计算发现：用方法①所需费用不超过方法②，那么此人最多买了多少只羽毛球． 24. 实践与操作 （1）如图，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形被称为格点三角形，在数学活动课上，老师要求学生在的正方形网格中画出与成轴对称的格点三角形．你也试试． （2）如图，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． ①请在方格纸中画出旋转中心； ②旋转角为______． 25. 如图，将沿方向平移，得到． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 26. 某中学组织师生共人去参观博物院．阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” （1）客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（利用二元一次方程组求解） （2）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用为 元． 27. 阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数的值为______； （2）用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． （3）若实数，满足，求的最小值． 28. 定义：三个关于的整式、、，若的解集为，则称它们构成“不等式”例如：三个整式，，，当的解集为，则称，，构成“不等式”． （1）整式，，1可以构成“不等式”吗？请说明理由； （2）若三个关于的整式，，，可以构成“不等式”，求所有的值； （3）若三个整式，，构成“不等式”，求关于的不等式组的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试卷 2025．5 （考试时间：120分钟，试卷满分150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法运算，积的乘方，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐一运算判断即可． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D． 2. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： ， 故选A 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 3. 下列各式中能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的运用，根据整式乘法及平方差公式逐项判断即可求解，掌握平方差公式的结构特点是解题的关键． 【详解】解：A：，不能用平方差公式计算，故A选项不合题意； B：，能用平方差公式计算，故B选项符合题意； C：，不能用平方差公式计算，故C选项不合题意； D：，不能用平方差公式计算，故D选项不合题意； 故选：． 4. 若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变可知，即可得到的取值范围． 【详解】解：， ，即． 故选：C． 5. 如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知将图形绕点逆时针旋转得出符合题意的图形即可．本题考查了生活中的旋转现象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：如图所示：将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是 故选：C． 6. 由方程组可得到与的关系式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用代入法即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 把代入得，， 整理得，， 故选：． 7. 关于的不等式的解集如图所示，则的取值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据数字可知该不等式的解集为，解不等式，得，易得，求解即可获得答案． 【详解】解：由数轴可得，该不等式的解集为， 解不等式，得， 则有， 解得， ∴的值是． 故选：D． 8. 如图所示，把一根绳子对折成线段，然后从处将绳子剪断，如果是的一半，且剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的和与差，折叠的性质．根据题意分类讨论是解题的关键． 由题意知，分当点是绳子的对折点时，将绳子展开如图1，当点是绳子的对折点时，将绳子展开如图2，根据线段的和与差，折叠的性质求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 当点是绳子的对折点时，将绳子展开如图1， ∵是的一半，且剪断后的各段绳子中最长的一段为， ∴， ∴绳子的原长为； 点是绳子的对折点时，将绳子展开如图2， ∴， ∴， ∴绳子的原长为； 综上所述，绳子的原长为或， 故选：C． 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 9. 一张纸的厚度大约是，将数据“0.000104”用科学记数法的表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 10. 已知是关于的二元一次方程的解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程及其解，掌握方程解的意义及一元一次方程的解法是解决本题的关键．把方程的解代入二元一次方程得到关于k的一次方程，求解即可． 【详解】解：是二元一次方程的解， 故答案为：． 11. 若，，，为整数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂除法逆用，解题关键是熟练掌握运算法则．根据，，得出，，再逆用同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 若，为正整数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法，积的乘方，将所运算的式子变形为，最后结合积的乘方的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】利用多项式除以单项式法则计算即可得出“■”中的项，然后利用单项式乘多项式的法则进行计算验证即可． 【详解】解：∵ 即 ， ∴“■”中的一项是2y． 故答案为：2y． 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 14. 已知关于，的二元一次方程组，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的求解，把方程组的两个方程相减即可求解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． 【详解】解：， 得：， 故答案为：． 15. 已知甲、乙两数的和为16，乙数比甲数少3，则甲数是_______，乙数是_______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲数是x，乙数是y，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲数是x，乙数是y， 根据题意得， 解得 故答案为：，． 16. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打_______折． 【答案】8.8 【解析】 【分析】设打x折，由题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设打x折，由题意得， 解得：； 故答案为8.8． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键． 17. 矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 【答案】##12度 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系． 根据折叠的性质得，，结合进而得出，再求出即可求解． 【详解】解：根据折叠性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为 S1，S2，两个小正方形，面积分别为 S3，S4，若 2S1－S2 的值与 AB 的长度无关，则 S3 与 S4 之间的关系是______. 【答案】S4=4S3 【解析】 【分析】把两个小正方形S3、S4的边长分别设为a、b，分别表示出S1，S2，S3，S4的面积，根据与AB长度无关得出a、b的关系，进而得出S3、S4之间的关系. 【详解】设S3的边长为a，S4的边长为b，则， ∴， 又∵2S1－S2的值与AB的长度无关， ∴2a－b=0，即2a=b， ∴， ∴S4=4S3. 【点睛】本题考查整式加减中的无关问题，正确掌握做题方法是解题的关键. 三、解答题（共10小题，共96分） 19. （1）计算： （2）简便计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂、平方差公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可得解； （2）将式子变形为，再利用平方差公式计算即可得解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. （1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）， 解集在数轴上表示如下： ； （2）；所有整数解为 【解析】 【分析】本题考查了解不等式（组），在数轴上表示不等式的解集，熟练计算是解题的关键． （1）先解不等式，再将解集在数轴上表示出来； （2）先解每个不等式，再写出不等式组的解集，最后得到整数解即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， （2）, 解①得； 解②得， 故不等式组的解集为， 故不等式组的整数解为． 21. 先化简再求值：，且单项式与是同类项． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，同类项的定义，先去括号，再合并同类项即可化简，再根据同类项的定义求出，，代入化简后的式子计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： 与是同类项， ，， ， 原式． 22. 若关于的二元一次方程组的解满足，求的最小整数解． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，求不等式的整数解，先求出方程组的解，根据解的情况列出不等式，求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵， ∴， ∴， ∴的最小整数解为：3． 23. 某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价30元，羽毛球每只定价5元．该店还制定了两种优惠方法： ①买一副球拍赠送一只羽毛球； ②按总价的付款． 某人计划购买4副球拍，n只羽毛球（）， 此人通过计算发现：用方法①所需费用不超过方法②，那么此人最多买了多少只羽毛球． 【答案】最多买了16只羽毛球 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，根据题意列关于n的一元一次不等式，再求解即可． 【详解】解：方法①需要付款：（元）； 方法②需要付款：（元）． 方法①所需费用不超过方法②， ， 解得， 所以此人最多买了16只羽毛球． 24. 实践与操作 （1）如图，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形被称为格点三角形，在数学活动课上，老师要求学生在的正方形网格中画出与成轴对称的格点三角形．你也试试． （2）如图，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． ①请在方格纸中画出旋转中心； ②旋转角为______． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图和旋转作图，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和轴对称的定义． （1）根据轴对称图形的定义进行作图即可； （2）①根据找旋转中心的方法画图即可； ②根据旋转定义，找出旋转角即可． 【详解】解：（1）如图所示： ． （2）①当与，B与D是对应点时，连接，，分别作和的垂直平分线，则两条垂直平分线交于点E，则点E即为旋转中心，旋转角为； 当与，B与C是对应点时，连接，，分别作和的垂直平分线，则两条垂直平分线交于点F，则点F即为旋转中心，旋转角为； ②根据解析①旋转角为． 25. 如图，将沿方向平移，得到． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质得出的度数，据此求出的度数即可． （2）根据平移的性质得出，再结合和的长度即可解决问题． 【小问1详解】 解：因为由沿方向平移得到， 所以． 又因为， 所以； 【小问2详解】 解：由平移可知，， 所以， 即． 又因为， 所以， 所以． 26. 某中学组织师生共人去参观博物院．阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” （1）客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（利用二元一次方程组求解） （2）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用为 元． 【答案】（1）座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设租辆座客车，辆座客车，则，根据，都是非负整数，即可得到租金的值，进相比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元， 根据题意得：， 解得：， 答：座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元； 【小问2详解】 解：设租辆座客车，辆座客车， 根据题意得：， ， ，都是非负整数， ，，， 租金为， 当时，（元； 当时，（元； 当时，（元； 有三种方案，其中座客车租8辆时最省钱，为元， 故答案为：． 27. 阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数的值为______； （2）用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． （3）若实数，满足，求的最小值． 【答案】（1）或 （2）最小值为， （3）4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式以及配方法的应用，在配方法中，通过加上或减去适当的常数，可将代数式凑成完全平方式，在配方时加减的常数为解决本题的关键． （1）根据完全平方式的定义求解即可． （2）由配方法的定义，可将配方成，将配方成，再配平常数，根据完全平方式非负即可求解最值，再由幂的运算法则即可计算． （3）先将转化为，再将配方为，将看做一个整体，根据完全平方式非负即可整体求解的最小值． 【小问1详解】 解：根据完全平方式的定义，即， 可知代数式中，， 则， 当时，，解得； 当时，，解得； 所以或． 【小问2详解】 解： ， ，， 当，时，有最小值，最小值为， 此时，，解得：，． 所以． 【小问3详解】 解：， ，， ，，的最小值为4． 28. 定义：三个关于的整式、、，若的解集为，则称它们构成“不等式”例如：三个整式，，，当的解集为，则称，，构成“不等式”． （1）整式，，1可以构成“不等式”吗？请说明理由； （2）若三个关于的整式，，，可以构成“不等式”，求所有的值； （3）若三个整式，，构成“不等式”，求关于的不等式组的解集． 【答案】（1）可以构成“不等式”，理由见解析 （2）或1 （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据“不等式”的定义列出对应的不等式，从中得出m、n之间的数量关系及其符号． （1）由，即的解集为即可得出答案； （2）分、、三种情况分别求解即可； （3）依据新定义得出m、n之间的数量关系及m、n的正负情况，再代入方程组消掉m或n，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：，1，可以构成“不等式”， ∵，即的解集为， ∴，1，可以构成“不等式”； 【小问2详解】 解：①若，即， 则，即且， 解得（舍）； ②若，即， 则，即且， 此时； ③若，即，则， 即且； 综上，； 即或1； 【小问3详解】 解：由题意得，即， 则，， 化简得，代入， 得：，则， 由， 得：，即， ∴， 由，得：， ∴， 此时不等式组的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $