同步微点进阶强化练1 有始有终的向量回路-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

强化练1 “有始有终”的向量回路 一、单选择题 1．已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（    ） A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算化简得，即可判断四点位置情况. 【详解】, 则， 所以，则， 故四点共面. 故选：A （24-25高二·上海·随堂练习） 2．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 【答案】A 【分析】由求解即可． 【详解】，所以． 故选：A． （23-24高二下·甘肃·期末） 3．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. （23-24高一下·山东青岛·期末） 4．已知平面，平面，，BD与平面所成的角为30°，，，则点C与点D之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用空间向量的数量积以及结合向量求距离的方法即可求解. 【详解】 如图，因为平面，，平面，所以，所以, 作，垂足为，连接， 则或， 易知, 若,则， 若,则, 故选：C. （23-24高一下·重庆·期末） 5．平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】由求解即可． 【详解】解：由题意，，， 又，， 所以，即有， 故选：A． （23-24高二上·山东枣庄·阶段练习） 6．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点， 得，于是， 由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以. 故选：C （23-24高二上·广东江门·期末） 7．已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二面角的概念，结合空间向量的数量积运算即可求得结果. 【详解】如图所示，易知，所以结合已知有， 易知， 设正方形边长为2，所以， , 故选：A. （23-24高二下·福建漳州·期末） 8．正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解. 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用球心，将转化为，然后分析点位置即可. 二、多选择题 （23-24高二下·安徽·开学考试） 9．如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形计算即可求解. 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：， 又， 所以，故C错误； D：，故D正确． 故选：BD （23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习） 10．如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用空间向量的线性运算，得到，再利用模长公式、空间向量的运算律及数量积的定义，得到，可判断出选项A和B的正误；又，从而得到，可判断出选项C和D的正误. 【详解】因为点是的中点，是上的一点，且， 所以 ， 故， 又，且 ， 所以，故A正确，B错误， 又，所以 ，故C正确，D错误. 故选：AC． （23-24高二上·广东·期末） 11．如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与平面的夹角正切值为 D． 【答案】BC 【分析】对于A：直接求解判断；对于B：通过证明面来判断；对于C：为直线与平面的夹角，计算其正切值即可；对于D：分别求出，，然后利用公式计算即可. 【详解】对于A：因为， 所以， 则，A错误； 对于B：因为，为线段中点， 所以， 又面面，面面，面， 所以面，又面， 所以，B正确； 对于C：因为面， 所以面， 所以为直线与平面的夹角， 又，C正确； 对于D： ， 又， 所以，D错误. 故选：BC. 三、填空题： （23-24高二下·江苏南通·阶段练习） 12．空间四边形中，，，，且异面直线与成，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】## 【分析】由异面直线与成角，可知与夹角为或，由，得出，可得出，化简后可求得的值，利用空间向量的数量积可计算出的值，进而可得出异面直线与所成角的大小. 【详解】因为异面直线与成角，则与夹角为或， 又，. 两边平方，得， 即， 或， （或舍去）. 即与夹角为，所以异面直线与所成角为. 故答案为：. （22-23高二上·广东佛山·阶段练习） 13．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取两点，且，到直线的距离，到直线的距离，，则该斜坡的坡度是 .    【答案】 【分析】由空间向量数量积的运算律求解． 【详解】设斜坡的坡角为，由题意知 与 的夹角为， 因为，所以， 即，所以，因为是锐角，所以. 故答案为： （23-24高二上·河北保定·期中） 14．已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理可判断，，共面，又平面，所以. 【详解】因为， 所以，， 所以，，共面， 又，，为底面圆周上三点，所以点为平面上一点， 由已知平面， 所以， 又圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以， 所以的最小值为， 故答案为：. 四、解答题. （23-24高三上·四川成都·开学考试） 15．在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【详解】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面； （23-24高二上·河南开封·期末） 16．如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可； （2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB＝2AD＝2，PA＝2，∠PAB＝∠PAD＝60°． (1)求PC的长； (2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设由求解； （2）由求解. 【详解】（1）解：设 ∵AB＝2AD＝2，PA＝2，∠PAB＝∠PAD＝60°， ∵， （2），且 ∴＝ ， ， ∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为. （23-24高二下·全国·课后作业） 18．如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求和夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案； （2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 则. （23-24高二上·四川遂宁·期中） 19．如图，四面体的每条棱长都相等，M，N，P分别是，，的中点 (1)求证：，，为共面向量； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量基本定理表达出，得到，，为共面向量； （2）证明出线面垂直，得到平面的法向量为，求出，并求出，，利用线面角的正弦求解公式求出答案. 【详解】（1）因为M，N，P分别是，，的中点， 故， 所以，，为共面向量； （2）四面体的每条棱长都相等，设为2， 连接，因为均为等边三角形， 又N是的中点，所以⊥，⊥， 因为，平面， 故⊥平面， 所以平面的法向量为， 其中，， 故 ， 又 ， 故， ， 故， 设与平面所成角的大小为， 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化练1 “有始有终”的向量回路 一、单选择题 1．已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（    ） A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 （24-25高二·上海·随堂练习） 2．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． （23-24高二下·甘肃·期末） 3．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 （23-24高一下·山东青岛·期末） 4．已知平面，平面，，BD与平面所成的角为30°，，，则点C与点D之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 （23-24高一下·重庆·期末） 5．平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． （23-24高二上·山东枣庄·阶段练习） 6．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． （23-24高二上·广东江门·期末） 7．已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． （23-24高二下·福建漳州·期末） 8．正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选择题 （23-24高二下·安徽·开学考试） 9．如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． （23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习） 10．如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． （23-24高二上·广东·期末） 11．如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与平面的夹角正切值为 D． 三、填空题： （23-24高二下·江苏南通·阶段练习） 12．空间四边形中，，，，且异面直线与成，则异面直线与所成角的大小为 . （22-23高二上·广东佛山·阶段练习） 13．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取两点，且，到直线的距离，到直线的距离，，则该斜坡的坡度是 .    （23-24高二上·河北保定·期中） 14．已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为 ． 四、解答题. （23-24高三上·四川成都·开学考试） 15．在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； （23-24高二上·河南开封·期末） 16．如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB＝2AD＝2，PA＝2，∠PAB＝∠PAD＝60°． (1)求PC的长； (2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值． （23-24高二下·全国·课后作业） 18．如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求和夹角的余弦值． （23-24高二上·四川遂宁·期中） 19．如图，四面体的每条棱长都相等，M，N，P分别是，，的中点 (1)求证：，，为共面向量； (2)求与平面所成角的正弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$