专题02 空间向量的应用10大重点题型（举一反三期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题02 空间向量的应用10大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 求平面的法向量 1．（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京西城·期中）空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·新疆省直辖县级单位·阶段检测）平面上三个点写出平面的一个法向量为___________. 4．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 5．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 题型2 利用空间向量证明线、面的平行关系 6．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（   ） A．与夹角为 B．与平面垂直 C．与垂直 D．与平面平行 7．（25-26高二上·天津·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是___________． 8．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 9．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 10．（25-26高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型3 利用空间向量证明线、面的垂直关系 11．（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 13．（25-26高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则____________． 14．（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 15．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，设，点分别在线段上，且. (1)证明：； (2)若平面平面，求的值； (3)设直线与平面相交于点，求线段的长度（用表示）. 题型4 16．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）如图，这个立体图形是由正四棱锥和正方体组成的，其中，则点到平面的距离为（   ） A．6 B． C． D． 17．（25-26高二上·湖北武汉·期中）如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱，，的中点，为上的动点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·河南·期中）已知平面的一个法向量为，，点，均在平面内，则点到平面的距离为__________. 19．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知正方体的棱长为4，分别为的中点，在线段上，且． (1)求证：面； (2)求点到平面的距离． 20．（25-26高二上·天津和平·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，，分别为棱，的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 题型5 21．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·上海虹口·阶段检测）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为____________． 24．（25-26高二下·全国·课堂例题）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 25．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 题型6 点到直线、异面直线距离的向量求法 26．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知空间三点，，，则点P到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 28．（25-26高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为_________.    29．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，点在棱上，且，点到平面的距离为.    (1)求四棱锥的表面积； (2)求点到直线的距离. 30．（25-26高二上·广东韶关·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点. (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)若平面与平面交于直线，求二面角的余弦值. 题型7 异面直线夹角的向量求法 31．（25-26高二上·陕西商洛·期中）在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在正方体中，为的中点，在线段上，且，则与所成角的余弦值为（） A．1 B．0 C． D． 33．（25-26高二上·四川宜宾·期中）如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）如图，在几何体中，，，，，，平面，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 35．（25-26高二上·山东聊城·期中）棱长为2的正方体中，分别为棱上的动点，且. (1)若，求与所成的角的余弦值； (2)证明：平面平面. 题型8 利用空间向量求线面角 36．（25-26高二上·广东惠州·期中）正方体的棱长为2，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·重庆·期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，,，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值为_________． 39．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别为、的中点． (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 40．（25-26高二上·福建三明·期中）如图1，在中，、分别为、的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. (1)求证：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型9 利用空间向量求面面角 41．（25-26高二上·四川·期中）在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 42．（25-26高二上·广东揭阳·期中）如图，在正三棱柱中，，是的中点，，分别在棱，上，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高二上·新疆喀什·期中）如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为____________．    44．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在四棱锥中，，，，平面平面. (1)求证：平面； (2)点在棱上，，求平面与平面夹角的余弦值. 45．（25-26高二上·四川绵阳·期中）如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点G在棱上，且. (1)若，证明：平面； (2)若，求的值； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 题型10 空间线段点的存在性问题 46．（25-26高二上·北京·期中）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，错误的是（    ）    A．存在点∥平面 B．对任意点 C．存在点，使得与所成的角是 D．不存在点，使得与平面所成的角是 47．（25-26高二上·北京·期中）如图，正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，点为线段上的一个动点，给出下列四个结论: ①三棱锥的体积为定值; ②存在点，使平面； ③存在点，使平面平面; ④设直线FG与平面所成角为，则的最大值为. 其中所有正确结论的序号为____________. 48．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是棱的中点，平面平面．    (1)求证：． (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 49．（25-26高二上·北京·期中）在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，E是PA的中点，在线段AB上，且满足. (1)求证：平面PBC； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使得FQ与平面PFC所成角的正弦值是，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由. 50．（25-26高二上·浙江杭州·期中）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的应用10大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 求平面的法向量 1．（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【解答过程】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B. 2．（25-26高二上·北京西城·期中）空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据平面的法向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得． 【解答过程】因为，，， 所以. 当时，， ，， 所以是平面的一个法向量； 当是平面的一个法向量时， ，解得. 所以“”是“为平面的法向量”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（25-26高二上·新疆省直辖县级单位·阶段检测）平面上三个点写出平面的一个法向量为___________. 【答案】(答案不唯一) 【解题思路】根据平面的法向量的定义计算即得. 【解答过程】由则， 设平面的法向量为，则由,可取. 故答案为：. 4．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 【解题思路】（1）根据向量减法运算直接写出结果； （2）根据题意，由平面法向量的计算公式，列出方程，计算即可得到结果. 【解答过程】（1），，， ，. （2）设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， ， 所以平面的一个法向量为. 5．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【解题思路】（1）根据题意，由平面法向量的计算公式，计算即可得到结果； （2）根据题意，由直线的方向向量的定义、平面法向量的计算公式，计算即可得到结果. 【解答过程】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 题型2 利用空间向量证明线、面的平行关系 6．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（   ） A．与夹角为 B．与平面垂直 C．与垂直 D．与平面平行 【答案】A 【解题思路】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法逐一判断即可. 【解答过程】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设， 则 ， 对于A，，, ， 即，，夹角为， 所以与夹角为，A错误 对于B，，则，所以， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，， 则，所以，故C正确； 对于D，， 设平面的法向量， 则有，可取， 因为，且平面， 所以平面，故D正确. 故选：A. 7．（25-26高二上·天津·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是___________． 【答案】平行 【解题思路】根据两平面的法向量为共线向量，即可判断两平面的位置关系. 【解答过程】由题意, 因，即平面和平面的法向量是共线向量，故两平面互相平行. 故答案为：平行. 8．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 【答案】(1)；； (2)（答案不唯一） (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可. （2）根据法向量与平面垂直进行求解即可. （3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可. 【解答过程】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. （3）证明：由（1）可知，，所以， 由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面， 所以直线平面. 9．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）利用空间向量法证明线面平行. 【解答过程】（1）证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； （2）证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 10．（25-26高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【解题思路】（1）面面垂直得到线面垂直，再由线线垂直证明线面垂直； （2）取AD中点，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，设，使得平面，用空间向量建立等量关系，求得的值. 【解答过程】（1）证明：∵面面，面面， ，面， ∴面， ∵面， ∴， 又，，面，面 ∴面. （2）取中点为，连结， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵面面，面面， 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令. 则， 假设存在点使得面， 设，， 又，，，，， 有，∴， ∵面，为的法向量， ∴，即，得， 综上，存在点，即当时，点即为所求. 题型3 利用空间向量证明线、面的垂直关系 11．（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【解答过程】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 故选：C. 12．（25-26高二上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意可以建立空间直角坐标系，根据线面垂直，则直线的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例关系. 【解答过程】因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：    设，则，所以 ， 设平面的法向量为，则，即 ，令，得，所以法向量为， 设，因为， 因为平面，则，所以，解得， 则 . 故选：B. 13．（25-26高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则____________． 【答案】/ 【解题思路】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得，通过平面，建立关于的方程，确定的值，结合两点间的距离公式即可求解. 【解答过程】如图，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，得． 设，则． 因为平面，所以，则，解得，， 所以，，故． 故答案为：. 14．（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【解答过程】（1）证明：以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）证明：由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 15．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，设，点分别在线段上，且. (1)证明：； (2)若平面平面，求的值； (3)设直线与平面相交于点，求线段的长度（用表示）. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【解题思路】（1）利用面面垂直的性质可得平面，进而利用线面垂直的性质可得，建立空间直角坐标系，利用向量法可得结论； （2）求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求的值； （3）设，求得，利用向量法可求得，进而可求解. 【解答过程】（1）证明：因为平面平面，平面平面， 在矩形中，平面，所以平面. 又因为平面平面，所以. 以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系， 则，. 所以， 所以， 所以. （2）. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 若平面平面，则， 得，解得， 因为，所以. （3）设，则，所以. 由（2）可知，平面的一个法向量，所以， 得，解得. 所以，所以， 所以. 题型4 16．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）如图，这个立体图形是由正四棱锥和正方体组成的，其中，则点到平面的距离为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】依题意可以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出到平面的距离. 【解答过程】根据题意可知，以点为坐标原点，分别以向量的正方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：      设相交于点，连接， 易知在正四棱锥中平面，又平面，所以； 又可知，，所以； 所以可得，则， 设平面的一个法向量为， 所以，解得，令，可得，即； 易知， 设到平面的距离为，则可知. 故选：D. 17．（25-26高二上·湖北武汉·期中）如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱，，的中点，为上的动点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以点为原点建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【解答过程】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 设平面的法向量， 则有，令， 则解得，所以， 而，设，故， 设，则，得到，解得， 可得，即，设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得，故A正确. 故选：A. 18．（25-26高二上·河南·期中）已知平面的一个法向量为，，点，均在平面内，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解题思路】把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解． 【解答过程】，因为平面的一个法向量为， 所以，解得， 则，又， 则点到平面的距离为. 故答案为:. 19．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知正方体的棱长为4，分别为的中点，在线段上，且． (1)求证：面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量计算点面距离即可. 【解答过程】（1）证明：在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵，平面，∴平面； （2）如图以为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，令，则， 所以是平面的一个法向量， 又， 则D到平面的距离为. 所以点D到平面的距离为. 20．（25-26高二上·天津和平·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，，分别为棱，的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【解题思路】（1）取的中点，利用面面垂直的性质可得底面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理得证. （2）由（1）利用异面直线夹角的向量求法求解. （3）求出平面的法向量再利用点到平面距离的向量法求解. 【解答过程】（1）证明：在四棱锥中，取的中点，连接，由，得， 由侧面底面，平面，侧面底面，则底面， 以为原点，过平行于的直线为轴，以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 因此，所以. （2）由（1）知，设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3）由（1）知，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离. 题型5 21．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【解答过程】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 22．（25-26高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B. 23．（25-26高二上·上海虹口·阶段检测）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为____________． 【答案】/ 【解题思路】建立空间直角坐标系，可证得平面 平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解． 【解答过程】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 所以， 因为平面，平面，平面，平面， 所以 平面， 平面， 又，平面， 所以平面 平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 故答案为：． 24．（25-26高二下·全国·课堂例题）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【解答过程】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 25．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【解答过程】（1）证明：在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 题型6 点到直线、异面直线距离的向量求法 26．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知空间三点，，，则点P到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求，，再根据点到直线的距离计算可得. 【解答过程】因为，，， 所以，, 则，，， 所以点到直线的距离 . 故选：C. 27．（25-26高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解. 【解答过程】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 28．（25-26高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为_________.    【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，得到向量，再利用向量投影公式求在上投影向量的模，最后结合勾股定理即可求出. 【解答过程】由题意得，以B为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，, ，，， ， 设点D到直线的距离为，则， 故答案为：. 29．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，点在棱上，且，点到平面的距离为.    (1)求四棱锥的表面积； (2)求点到直线的距离. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）通过已知棱长求出四棱锥各面的边长，再根据三角形和梯形面积公式计算各面面积，最后求和得到表面积； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求出点的坐标，再根据向量关系求出点到直线的距离. 【解答过程】（1）已知正方体棱长为，则； 在中，根据勾股定理； 同理，在中，； 在正方形中，； 的面积； 的面积：先求边上的高，根据勾股定理， 再根据三角形面积公式可得； 和的面积：这两个三角形是全等的直角三角形，； 梯形的面积： ；   四棱锥的表面积为各面面积之和，即； （2）建立空间直角坐标系并求出相关点的坐标和向量 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系：    则，设，其中， 可得， 设平面的法向量为，因为法向量与平面内的向量垂直， 所以，即， 令，由可得，将代入，得，解得，所以平面的一个法向量， 设到平面的距离为，根据点到平面的距离， 已知，所以，即， 因为，所以，则，解得，故， 此时， 根据点到直线的距离公式， 所以点到直线的距离为. 30．（25-26高二上·广东韶关·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点. (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)若平面与平面交于直线，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【解题思路】（1）依题意建系，利用向量法证明两直线的位置关系即可； （2）利用空间中点到直线的距离的向量公式计算即得； （3）利用空间向量夹角公式计算即可. 【解答过程】（1）证明： 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示. 已知正方体棱长为，则，，，， 所以，， 因， 所以； （2）由题可得，，，. ，，， 则与同方向的单位向量为， 设点到的距离为，则， 即点到直线的距离为. （3）根据正方体性质，可知平面的法向量可取， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设二面角的平面角为，由图知这是锐二面角， 故， 即二面角的余弦值为. 题型7 异面直线夹角的向量求法 31．（25-26高二上·陕西商洛·期中）在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解. 【解答过程】由题意可知，，两两垂直， 故分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A. 32．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在正方体中，为的中点，在线段上，且，则与所成角的余弦值为（） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成的角的三角函数. 【解答过程】根据题意，可以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 不妨设，则，，，. 所以，. 设直线与所成的角为， 则 . 故选：D. 33．（25-26高二上·四川宜宾·期中）如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】连接与交于点，连接，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量和的坐标，结合向量的夹角公式，即可得解. 【解答过程】连接与交于点，连接， 由题意得，，且平面， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设四棱锥各棱长均为2，则，， 可得， 则， 设异面直线与所成角为， 则． 故选：D. 34．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）如图，在几何体中，，，，，，平面，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出向量坐标，进而利用向量夹角的余弦公式求解． 【解答过程】平面，平面，， 又，两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， 则， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：． 35．（25-26高二上·山东聊城·期中）棱长为2的正方体中，分别为棱上的动点，且. (1)若，求与所成的角的余弦值； (2)证明：平面平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得，再利用夹角公式求解； （2）求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，再由证明. 【解答过程】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图. ， . 所以， . 所以. 故与所成的角的余弦值为. （2）证明：设，则， . 设平面的一个法向量， 由则 令，则，所以平面的一个法向量. 同理可得平面的一个法向量. 因为. 所以平面平面. 题型8 利用空间向量求线面角 36．（25-26高二上·广东惠州·期中）正方体的棱长为2，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接建立空间直角坐标系，用向量法计算线面角的正弦值. 【解答过程】因为在正方体中，故以所以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，则， 设平面的法向量为. 由，得，令，得. 所以向量与平面所成角的正弦值为 . 故选：A. 37．（25-26高二上·重庆·期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，,，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【解答过程】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形， 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以，， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 38．（25-26高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值为_________． 【答案】1 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出，求出后即可得解. 【解答过程】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，取，则，， 所以， 设与面所成的角为， 则， ∵，∴， 所以与面所成的角的正切值为. 故答案为：. 39．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别为、的中点． (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）取的中点为，连接，证明四边形是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可； （2）以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，从而写出相关向量，求出相关平面的法向量，再利用线面夹角正弦值公式即可得到答案． 【解答过程】（1）证明：取的中点为，连接， 因为、分别为、的中点，所以，， 又因为四边形为矩形，，，且为的中点， 所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以直线平面． （2）因为平面，、平面，则，， 以为原点，平面内过点且垂直于的直线为轴，、所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，则， 因为，故为等腰直角三角形，且． 所以、，所以． 易知平面的一个法向量为， 则设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 40．（25-26高二上·福建三明·期中）如图1，在中，、分别为、的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. (1)求证：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【解题思路】（1）先证，再由面面垂直，即可证明线面垂直，再推出线线垂直； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，即可由向量法求得线面角的正弦值； （3）假设存在点，设，其中，由（2）建立的空间直角坐标，可求得直线的方向向量与直线的方向向量，根据题意，可求得的值. 【解答过程】（1）证明：因为在中，，分别为，的中点， 所以，，所以， 又为的中点，所以. 又因为平面平面，且平面，所以平面， 又平面，所以. （2）取的中点，连接，所以. 由（1）得，.建立空间直角坐标系，如图所示， 由题意得，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设直线和平面所成的角为， 则. 所以直线和平面所成角的正弦值为. （3）假设线段上存在点适合题意，设，其中. 设，则， 则有， 所以，，，从而， 所以，又， 所以， 又直线和所成角的余弦值为， 所以，整理得， 解得或2（舍去）， 所以线段上存在点适合题意，且. 题型9 利用空间向量求面面角 41．（25-26高二上·四川·期中）在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设正方体的棱长为1，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值. 【解答过程】两两垂直，故以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，取的中点为，连接， 则， ，， 则， 又因为，，，平面，故平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则，所以 为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 故选：D． 42．（25-26高二上·广东揭阳·期中）如图，在正三棱柱中，，是的中点，，分别在棱，上，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】取AB的中点O建立空间直角坐标系，设长度找出相关点的坐标，得到两个平面的法向量，最后注意该二面角为钝二面角，利用向量求解即可. 【解答过程】取AB的中点O，连接OC，OG，设，，以为原点，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 则，则， 设平面的法向量为，则 ，令，则； 平面的法向量为， 由图可知二面角为的平面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为 . 故选：C. 43．（25-26高二上·新疆喀什·期中）如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为____________．    【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量法可求二面角的余弦值. 【解答过程】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 44．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在四棱锥中，，，，平面平面. (1)求证：平面； (2)点在棱上，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】(1)  用线面垂直判定定理：先证，再用已知，得平面 (2) 用空间向量法建系，然后求Q坐标，再找两平面法向量，最后算向量夹角求二面角余弦值. 【解答过程】（1）证明：由，，得 在四边形中，，，，， 可得：， 所以 ，故 . 因为平面平面，且平面平面=，平面，， 所以平面，所以. 又，且，,平面， 所以平面. （2）取的中点，以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系； 则，，，. 由 ，得为中点，故 . 平面法向量 . ， 设平面的法向量为，则： ，取，则， 故. 两平面夹角的余弦值为. 45．（25-26高二上·四川绵阳·期中）如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点G在棱上，且. (1)若，证明：平面； (2)若，求的值； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用条件先证明，连接，交于点，连接，再证明，利用线面平行的判定定理即可证得结论； （2）根据题设条件建系，设，求出相关点和向量的坐标，利用即可求得的值； （3）分别求出两平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标公式求得夹角余弦的解析式，借助于二次函数的性质即可求得其范围. 【解答过程】（1）证明：当时，是的中点，因是的中点，则， 连接，交于点，连接， 因四棱锥是正四棱锥，则平面，且互相垂直平分， 又是的中点，则，故， 又平面，平面，故平面. （2）由（1）易得两两垂直， 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 设，则， 所以，则，， 则 由可得： ，解得. （3）由上分析，， 设平面的法向量为， 则，可取； 又，， 设平面的法向量为， 则，可取， 设平面与平面的夹角为，则， 因，则，故可得. 即平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 题型10 空间线段点的存在性问题 46．（25-26高二上·北京·期中）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，错误的是（    ）    A．存在点∥平面 B．对任意点 C．存在点，使得与所成的角是 D．不存在点，使得与平面所成的角是 【答案】D 【解题思路】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解.选项A，取平面的一个法向量，将∥平面平面转化为；选项B，转化为；选项C，与所成的角是转化为；选项D，由平面，结合选项C可知. 【解答过程】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点， 以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则 ， 设，又， ∴，又， 则， ∴， 选项A，取平面的一个法向量， 令，解得，此时， ∴当时，与垂直，而平面， 故∥平面，故A项正确； 选项B，， 则， 故对任意点，故B项正确； 选项C，，则， 令， 化简得，解得，或， 故存在点，使得与所成的角是，故C项正确； 选项D，连接， 在正方体中， 由底面是正方形，则， 由平面，平面，则， 又平面，平面，， 则平面，即是平面的一个法向量， 由C项分析可知，存在点，使得与所成的角是， 即存在点，使得与平面所成的角是，故D项错误. 故选：D. 47．（25-26高二上·北京·期中）如图，正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，点为线段上的一个动点，给出下列四个结论: ①三棱锥的体积为定值; ②存在点，使平面； ③存在点，使平面平面; ④设直线FG与平面所成角为，则的最大值为. 其中所有正确结论的序号为____________. 【答案】①②④ 【解题思路】对于①选项，利用等体积法判断；对于②、③、④三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解 【解答过程】易得平面平面，所以到平面的距离为定值， 又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故①正确． 对于②, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴,，建立空间直角坐标系, 则， ， 所以， 设，则， 所以，， 因为平面， 所以， 解得，当为线段上靠近的四等分点时，平面，故②正确. 对于③，设平面的法向量为， 则，取，得， 所以平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，取，得， 所以平面的法向量为， 因为平面平面，所以， 设，即， 解得，又因为，不合题意， 线段上不存在点，使平面，故③错误． 对于④，平面的法向量为， 则， 因为， 所以， 所以的最大值为．故④正确． 故答案为：①②④． 48．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是棱的中点，平面平面．    (1)求证：． (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点，且为棱上靠近点的一个三等分点，理由见解析 【解题思路】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直平面，再应用线面垂直判定定理得出平面进而得出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系设向量关系，再分别求出两个面的法向量，再应用二面角的余弦值求出参数. 【解答过程】（1）证明：连接，如图，由题知四边形是菱形，则， 又分别为棱的中点，所以，故． 因为为等边三角形，为的中点，所以． 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，故． 又平面，所以平面， 因为平面，所以．    （2）存在点，且为棱上靠近点的一个三等分点，理由如下： 连接，如图． 由，可知为等边三角形， 又是的中点，所以， 由(1)得平面，所以两两互相垂直． 故以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 假设在棱上存在符合要求的点，设， 则． 设平面的法向量为， 则即即 取，则，所以． 由(1)得是平面的一个法向量， 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，即，解得或（舍去）， 故存在点，且为棱上靠近点的一个三等分点，使得平面与平面的夹角的余弦值为． 49．（25-26高二上·北京·期中）在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，E是PA的中点，在线段AB上，且满足. (1)求证：平面PBC； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使得FQ与平面PFC所成角的正弦值是，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）取的中点，连接和，利用线面平行的判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用向量法二面角的余弦值. （3）由（2）中相关信息，利用线面角的向量求法求解即得.. 【解答过程】（1）证明：在四棱锥中，取的中点，连接和，由E是PA的中点， 得，且，又， 则且，四边形为平行四边形， 于是，而平面，平面，所以平面. （2）由，，得，由平面，平面， 得，而，则 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则 由，得，解得，即 设平面的法向量为，， 则，令，得， 设平面的法向量为，， 则，令，得， 设二面角的大小为，由图形观察得为锐角， 因此， 所以二面角的余弦值是. （3）假定存在点满足条件，设点，由， 得，则，又平面的法向量为， 由与平面所成角的正弦值为，得， 整理得，又，解得，此时， 所以存在点，使得FQ与平面PFC所成角的正弦值是，. 50．（25-26高二上·浙江杭州·期中）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)1； (3)存在， 【解题思路】（1）如图，由平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角系，利用空间向量法求解点面距即可； （3）假设存在点满足题意，令（），利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，解出，再次利用空间向量法求解线面角即可. 【解答过程】（1）证明：取中点，连接，，则， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）由已知得，，，， ，， 又平面，平面， 所以，建立如图空间直角系. 则，，，，，. 显然平面的法向量，， 点到平面的距离. （3）假设存在点满足题意，令，，则， 显然平面的法向量，设平面的法向量为 由，取， ， 即，解得. ，，. 记与平面所成角为， 则. 存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $