同步微点进阶强化练10 如胶似漆：直线与圆-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

强化练 直线与圆方程 一、单选择题 （23-24高二上·天津南开·期中） 1．点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】过点作垂直于直线，根据圆的性质可得以为直径的圆过定点和，得解. 【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和，易知直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故选：D.    2．如果实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】所求的取值范围等价于求同时经过点P和圆上的点的所有直线的斜率范围，结合图形根据直线与圆相切可求. 【详解】令，即， 所求的取值范围等价于求同时经过点P和圆上的点的所有直线的斜率范围， 从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，斜率取最小值时对应的直线斜率为负且与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得. 故的取值范围为. 故选：A （2021·北京·高考真题） 3．已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出 【详解】由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 则弦长为， 则当时，取得最小值为，解得. 故选：C. （23-24高三下·浙江·阶段练习） 4．半径为3的圆内有一点，点在圆上，当最大时，的长等于（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】画出图形，当时，最大，然后在中，用勾股定理求出即可． 【详解】如左图，因为点A在圆O内，所以为锐角，作与E, ． 欲使最大，即最大，由于为定值，则只要最大即可． 当，重合时，即时，最大，如右图 中，，，， 则故当最大时，的长等于． 故选：C． 5．已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（ ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系判断：由点满足的性质得出圆心到直线的距离和圆半径之间的关系，从而判断各选项． 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：C. （23-24高二上·山东烟台·期中） 6．过直线上一点P作圆的两条切线PA，PB，若，则点P的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令已知圆的圆心，由题设易知四边形为正方形且边长为，进而求得直线与直线夹角余弦值为，根据直线所过点并设，应用向量夹角坐标表示列方程求P的横坐标. 【详解】由题设，已知圆的圆心，四边形为正方形且边长为， 所以，而到直线的距离，如下图， 令直线与直线夹角为，则， 又直线过，令，则， 所以， 则. 故选：D （23-24高三上·江苏南京·阶段练习） 7．已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知：点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，且直线与圆有交点，结合直线与圆的位置关系列式求解即可. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设中点为，则， 且，可得， 又因为，可知为边长为2的等边三角形， 则，可得， 可知点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆， 因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点， 可知圆心到直线的距离，解得：. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求圆的方程有两类方法： （1）几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程； （2）代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径． （23-24高二上·湖南·阶段练习） 8．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下正确的序号为（    ） ①存在轴上的唯一点对，，使得为常数 ②存在轴上的无数个点对，，使得为常数 ③存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数 ④存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】易得圆关于直线轴对称，设，（），，再根据对恒成立求出的关系式，再根据关于的方程的解的个数即可得出答案. 【详解】圆心坐标为，圆心在轴上， 所以圆关于直线轴对称， 设，（），， 则， 即对恒成立， 所以，所以，所以， 所以且，所以且且， 即有无数组解，所以①错误，②正确； 因为直线（）定点， 所以圆关于直线（）对称， 根据上推理得，存在直线上的无数个点对，，使得的值与的位置无关， 所以③错误，④正确． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设，（），，再根据对恒成立求出的关系式，判断出关于的方程的解的个数是解决本题的关键. 二、多选择题 （24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试） 9．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B选项正确. 直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确. 圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：BC （24-25高二上·内蒙古·阶段练习） 10．已知，，是曲线上的任意一点，若的值与x，y无关，则（    ） A．m的取值范围为 B．m的取值范围为 C．n的取值范围为 D．n的取值范围为 【答案】BC 【分析】由方程知曲线为半圆，再由题意转化为半圆夹在两平行直线之间，求出相切与过端点的情况即可得解. 【详解】由曲线，得，则（）， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（x轴及以上部分）. 若的值与x，y无关， 则该曲线在两平行直线：与：之间. 当与该曲线相切时，，解得， 则m的取值范围为. 当经过点时，，解得，则n的取值范围为. 故选：BC （23-24高三上·辽宁·期中） 11．已知，，是圆的三条不同的切线，则下列说法正确的是（    ） A．，，可能相交于一点 B．由，，所围成的正三角形均全等 C．当，，所围成的三角形为正三角形时，正三角形的面积为或 D．若与平行，则夹在与之间的线段长度的最小值是6 【答案】CD 【分析】A：根据过圆外一点作圆的切线条数进行判断；B：结合图示进行分析；C：根据B选项的结果计算出正三角形的面积；D：先分析出所夹线段长度最小值时的情况，然后分析证明完成计算. 【详解】圆，圆心为，半径， 对于A：因为，，是三条不同的切线，所以交点不可能是切点， 又因为过圆外一点只能作两条圆的切线，所以，，不可能相交于一点，故A错误； 对于B：由，，所围成的正三角形有两种情况，如下图所示： 所以B选项说法错误； 对于C： 当正三角形为下图情况时： 此时圆心到直线的距离等于，所以正三角形的边长为， 所以正三角形的面积为， 当正三角形为下图情况时： 此时， 所以，所以，所以正三角形的边长为， 所以正三角形的面积为， 所以正三角形的面积为或，故C正确； 对于D：因为，显然当时夹在与之间的线段长度有最小值，下面说明原因： 设是不与垂直的任意一条圆的切线，且与交于，过点作交于点，如下图所示，    由图可知，为直角三角形且为斜边为直角边， 所以的长度即为夹在与之间的线段长度的最小值， 又因为且均与圆相切，所以之间的距离即为直径长度， 所以夹在与之间的线段长度的最小值为，故D正确； 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相切的综合运用，其中涉及到直线围成图形形状以及平行线被第三条直线所截得的线段长度问题，难度较大.分析本题BC选项的关键在于先找到符合条件的正三角形，然后通过平移直线分析正三角形的边长，从而可完成计算. 三、填空题： （2023·全国·高考真题） 12．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（中任意一个皆可以） 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 13．过点且与圆：相切的直线方程为 【答案】或 【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解． 【详解】解：将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意； 当过点的直线斜率存在时， 可设直线方程为，即， 利用圆心到直线的距离等于半径得，解得， 即此直线方程为， 故答案为：或 ． （23-24高二上·福建漳州·期中） 14．过点的直线为，为圆与轴正半轴的交点．若直线与圆交于两点，则直线的斜率之和为 ． 【答案】 【分析】设，与圆方程联立可得韦达定理的结论，利用两点连线斜率公式表示出直线的斜率之和，结合韦达定理化简整理可得结果. 【详解】由题意得：， 当直线斜率为时，与圆相切于点，不合题意； 设直线，， 由得：， 则，解得：， ，， ， 直线的斜率之和为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是采用设线法联立圆的方程得到韦达定理式，并化简得，再将韦达定理式代入计算即可. 四、解答题. （24-25高二上·浙江金华·开学考试） 15．已知x，y满足. (1)求的最小值； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点与圆的位置关系求解； （2）利用直线与圆的位置关系求解． 【详解】（1）可化为， 则点在以为圆心，3为半径的圆上， 圆心到原点的距离为（原点在圆外），因此圆上点到原点距离的最小值是， 所以的最小值是； （2）设，即， 由得，所以的最大值是． 16．已知定点，，动点满足.设动点的轨迹是曲线， (1)求曲线的方程； (2)直线和曲线交于两点、，求线段的长； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，结合两点点距离公式即可求解； （2）求出圆心到直线的距离，接着由圆的半径和弦长公式即可得解. 【详解】（1）设，由得， 两边平方化简得， 所以曲线的方程. （2）由（1）知曲线是以为圆心，为半径的圆， 所以圆心到直线的距离是， 所以； （24-25高二上·浙江台州·阶段练习） 17．已知半径为2的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程. (2)已知，P为圆上任意一点，在y轴上找出定点B（异于点A），使得为定值，不需证明.. (3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设圆C的圆心坐标为，根据直线与圆相切，可求得圆心，进而得到方程； （2）假设存在定点B，设，表示出，进而求解； （3）结合（2）可得，进而转化为P、B、三点共线问题. 【详解】（1）由题意设圆C的圆心坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆的标准方程为；. （2）假设存在定点B，设， 设，则， 则， 当，即或（舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点B使得为定值， B的坐标为； （3）由（2）知，故，从而， 当且仅当P、B、三点共线时，最小， 且， 所以的最小值为. （24-25高二上·山东青岛·阶段练习） 18．我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切. (1)直接写出的反射光线所在直线的方程； (2)求圆的方程； (3)点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用对称性质求出反射光线所在直线的方程. （2）设出圆心坐标，利用切线性质，结合点到直线距离公式求出圆心坐标即得. （3）由（2）求出点坐标，设出点坐标，利用直角三角形边角关系、切线长定理及三角形面积公式求出点坐标，再借助光的反射性质求出直线的方程. 【详解】（1）设的反射光线所在直线上任意点为，则该点关于轴对称点在直线上， 所以的反射光线所在直线的方程为. （2）设点，而圆与直线相切，且圆半径为3， 则，即， 整理得或，又点在第一象限，即，因此，点， 所以圆的方程为. （3）由（2）知，点到轴距离为3，即轴与圆相切于点， 由一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，得点在点的右侧， 设，则，连接，， ，， 又， 整理得，解得，即点， 直线的斜率为，由光的反射性质知，，则直线的斜率为， 直线的方程为，即. （24-25高二上·江西·阶段练习） 19．已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于. (1)求实数的取值范围; (2)若，用含的式子表示四边形的面积; (3)当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离，即可求出参数的取值范围； （2）设，，则，，联立直线与圆的方程，消元，列出韦达定理，由，表示出，则； （3）表示出直线、的方程，由，得到，再联立、的方程，求出、，即可得到，从而得解. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆交于，两点，所以圆心到直线的距离， 解得， 所以实数的取值范围为； （2）当时，设，，则，， 由，消元整理得， 所以，，， 所以， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ； （3）由，，则，，且直线、的斜率存在， 当时，由（2）知，，，，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 因为、相交，所以，即，， 所以，解得， 联立、的方程得， ， ， 所以， 所以点在定直线上运动.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化练 直线与圆方程 微点10    如胶似漆：直线与圆 一、单选择题 （23-24高二上·天津南开·期中） 1．点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 2．如果实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2021·北京·高考真题） 3．已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． （23-24高三下·浙江·阶段练习） 4．半径为3的圆内有一点，点在圆上，当最大时，的长等于（    ） A． B．3 C． D． 5．已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（ ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 （23-24高二上·山东烟台·期中） 6．过直线上一点P作圆的两条切线PA，PB，若，则点P的横坐标为（    ） A． B． C． D． （23-24高三上·江苏南京·阶段练习） 7．已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （23-24高二上·湖南·阶段练习） 8．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下正确的序号为（    ） ①存在轴上的唯一点对，，使得为常数 ②存在轴上的无数个点对，，使得为常数 ③存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数 ④存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 二、多选择题 （24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试） 9．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 （24-25高二上·内蒙古·阶段练习） 10．已知，，是曲线上的任意一点，若的值与x，y无关，则（    ） A．m的取值范围为 B．m的取值范围为 C．n的取值范围为 D．n的取值范围为 （23-24高三上·辽宁·期中） 11．已知，，是圆的三条不同的切线，则下列说法正确的是（    ） A．，，可能相交于一点 B．由，，所围成的正三角形均全等 C．当，，所围成的三角形为正三角形时，正三角形的面积为或 D．若与平行，则夹在与之间的线段长度的最小值是6 三、填空题： （2023·全国·高考真题） 12．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 13．过点且与圆：相切的直线方程为 （23-24高二上·福建漳州·期中） 14．过点的直线为，为圆与轴正半轴的交点．若直线与圆交于两点，则直线的斜率之和为 ． 四、解答题. （24-25高二上·浙江金华·开学考试） 15．已知x，y满足. (1)求的最小值； (2)求的最大值. 16．已知定点，，动点满足.设动点的轨迹是曲线， (1)求曲线的方程； (2)直线和曲线交于两点、，求线段的长； （24-25高二上·浙江台州·阶段练习） 17．已知半径为2的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程. (2)已知，P为圆上任意一点，在y轴上找出定点B（异于点A），使得为定值，不需证明.. (3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值. （24-25高二上·山东青岛·阶段练习） 18．我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切. (1)直接写出的反射光线所在直线的方程； (2)求圆的方程； (3)点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程. （24-25高二上·江西·阶段练习） 19．已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于. (1)求实数的取值范围; (2)若，用含的式子表示四边形的面积; (3)当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$