同步微点进阶强化练3 空间向量坐标法-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

强化练3 微点3空间向量坐标法 一、单选择题 1．已知，，若，则实数z的值为（    ） A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据向量垂直，则数量积为0，从而得到关于的方程，解出即可. 【详解】∵，，， ∴，即，解得：． 故选：D． 2．如图所示，在三棱柱中，底面，，，点、分别是棱、的中点，则直线和所成的角为（    ） A．120° B．150° C．30° D．60° 【答案】D 【解析】以为原点。分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可求得结果. 【详解】以为原点。分别为轴建立空间直角坐标系： 令， 则，，，， 所以，， 所以， 所以直线和所成的角为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求解是本题的解题关键. （23-24高二上·辽宁·阶段练习） 3．如图，在正方形中，点，分别是线段，上的动点，且，与交于G，在与之间滑动，但与和均不重合．现将四边形沿直线折起，使平面平面，在从滑动到的过程中，的大小（    ）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．不发生变化 D．由小变大 【答案】C 【分析】以为原点，，，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，利用空间向量的数量积可判断. 【详解】设正方形的边长为，， ，，，，， ，， ， 由面面垂直关系可知，即角度不会发生变化，所以C正确； 故选：C.    （2024高三下·浙江杭州·专题练习） 4．已知三棱锥中，，和所成的角为，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥放入长方体中，并建立适当的空间直角坐标系，由已知表示出各个点的坐标，进一步结合，列出方程组求出即可进一步求解. 【详解】将三棱锥放入长方体中，在棱上面， 并以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 由题意， 所以， 因为和所成的角为，， 所以， 而底面三角形外接圆圆心为中点， 设球心到平面的距离为， 则， 所以， 则由， 解得，从而， 即该三棱锥外接球的表面积是. 故选：B. 5．人大附中举办了“阳春德泽·欧以咏志”春日合唱比赛大获成功．数学组想举办“响亮（谐音向量）学生音乐节”独唱比：想在独唱比赛取得好的成绩取决于三个要素：情感投入，唱歌技巧和舞台效果（单位：分）．每个参赛同学各有优势．最多只能分配10分到三个不同的要素中．根据经验，数学组老师约定三个要素为时会达到最佳效果．计分方式是计算参赛同学的三维要素向量与的夹角余弦值，公式是，该值越大得分越高．根据此规则，你认为下列四位参赛同学得分最高的是（    ） 同学 情感投入 唱歌技巧 每台效果 A 6 3 1 B 1 4 4 C 2 3 4 D 2 4 3 A．同学A B．同学B C．同学C D．同学D 【答案】C 【分析】根据题意得到四位同学的三维要素向量，再逐一利用公式计算得对应的，从而得解. 【详解】易得， 对于A同学，其三维要素向量为，则， 则其对应的； 对于B同学，其三维要素向量为，则， 则其对应的； 对于C同学，其三维要素向量为，则， 则其对应的； 对于D同学，其三维要素向量为，则， 则其对应的； 易得，， 所以，， 故C同学的三维要素向量与的夹角余弦值最大，则其得分估计最高. 故选：C. （2024高三·全国·专题练习） 6．在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，应用向量垂直的坐标表示可得，再应用向量模长的坐标表示及二次函数性质求最小值. 【详解】设，，且，， ∴，，又， ∴，即． ∵， ∴， 当且仅当时等号成立. 故选：B （23-24高三上·重庆·阶段练习） 7．已知正四棱锥底面边长为2，高为1，动点在平面内且满足，则直线与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，根据，求得，设，直线与所成角为，根据向量的夹角公式，求得，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设正方形的中为，过点作的垂线， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点， 设，可得，， 所以，， 因为，可得， 设，直线与所成角为， 则， 令，可得，则， 则，可得. 故选：B.    8．已知长方体中，，，，空间中存在一动点满足，记，，，则（        ）. A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．对任意的点，有 D．对任意的点，有 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，由题意可得各顶点的坐标，由，设的坐标为，可得、、的取值范围都为，求出数量积，由的坐标的范围可得答案． 【详解】以为轴，为轴，为轴，为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，、，，设点， 所以，，，，， 因为，所以，，，，， ，， ， 恒成立，故C正确，A不正确； ，令，则， ，矛盾，所以B不正确； 恒成立，所以D不正确. 故选：C． 【点睛】本题考查了空间向量数量积的大小比较，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 二、多选择题 9．如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为60°，为锐角，且侧面底面，下列四个结论正确的是（    ） A． B． C．直线与平面所成的角为45° D． 【答案】ACD 【分析】选项A，侧棱与底面所成角为，可得，又四边形为菱形，可判断； 选项B，D，建立空间直角坐标系，转化为判断数量积是否为0，可判断； 选项C，可知即为与平面所成的角，即可判断. 【详解】 如图，过作，为垂足，连结，如图建立空间直角坐标系 对于A选项，侧棱与底面所成角为，为锐角，且侧面底面，，又三棱柱的各棱长相等，可知四边形为菱形，，故A选项正确； 对于B选项，易知 ，故B选项不正确； 对于C选项，由题意可知即为与平面所成的角， ，，故C选项正确； 对于D选项，， 因此，故D选项正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查了空间向量与立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题 （24-25高二上·湖南邵阳·开学考试） 10．为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论正确的有（    ） A．当直线与成角时，与成角； B．当直线与成角时，与成角； C．直线与所成角的最小值为； D．直线与所成角的最大值为. 【答案】BC 【分析】根据题意，得到一个正方体，设正方体棱长为1，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设直线与的方向单位向量分别为，，再设点在运动过程中的坐标为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由题意知，三条直线两两垂直，画出图形，如图所示， 不妨设图中所示的正方体棱长为1，可得， 斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，点的运动轨迹为以为圆心，1为半径的圆，以为坐标原点，以所在的直线分别为，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 直线与的方向单位向量分别为， ，且， 设点在运动过程中的坐标为，其中为与的夹角，， 所以在运动过程中的向量为且， 设与的夹角为， 则， 所以，所以C正确，D错误； 设与的夹角为， 则， 当与的夹角为时，即，， 因为，可得， 因为，所以，此时与的夹角为，即，所以B正确；A错误. 故选：BC. 11．已知圆柱底面半径，高，下底面圆心为O，上底面圆心为，A是下底面圆上任意一点，B是上底面圆上任意一点，则下列命题中正确的是（    ） A．向量与的夹角为定值 B．的最大值为 C．与夹角的最大值为 D． 【答案】ACD 【分析】建立合理的空间直角坐标系，设，，利用向量夹角公式即可判断A,C，利用向量坐标化的数量积计算即可判断B，利用向量模长的相关计算方法即可判断D. 【详解】以下底面互相垂直的两条直径和上下底面圆心连线为坐标轴建立空间直角坐标系； 对A，由圆柱底面半径，高， 则可设，，其中 ，则， 因为，所以，故A正确； 对B，， ，则，则，则， 所以的最大值为1，故B错误； 对C， ， 因为，所以， 所以与夹角的最大值为，故C正确； 对D，， ， ，故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题： 12．已知点,,，则中角的大小是 ． 【答案】## 【分析】先写出，再由求得，即可求出角的大小. 【详解】，可得，， 可得，又，. 故答案为：. （23-24高二上·湖北武汉·期末） 13．对于任意向量定义运算：．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，则，根据的范围可得答案. 【详解】由题意得，，， 设，则， 因为，所以，所以. 故答案为：. （23-24高二上·安徽宿州·期中） 14．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面点法式方程为，经过点且一个方向向量为的空间直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：若空间直线的方程是，直线是两个平面与的交线，则直线夹角为 ． 【答案】## 【分析】首先根据题意把两个平面与的交线即的直线方程求出来，然后可以分别得到两直线的方向向量，从而由向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意空间直线：的方向向量为， 直线是两个平面与的交线， 所以直线上的点满足，不妨设，则， 所以， 所以直线的方程为， 从而直线：的方向向量为， 设直线夹角为，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题. （23-24高二上·江西·期中） 15．如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.    (1)证明：； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建系，利用空间向量的坐标运算证明线线垂直； （2）根据空间向量的坐标运算求，进而可得结果. 【详解】（1）由题意易知，，两两相互垂直，以A为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.    则，，，，. 因为，， 所以，因此. （2）因为，， 则，， 可得， 所以. 16．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作. (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. 【答案】(1) (2)①；②2 【分析】（1）根据所给定义可得，，再根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）设分别为与同方向的单位向量，则， ①根据空间向量线性运算法则得到，即可得解； ②依题意、且根据空间向量数量积的运算律得到方程，即可求出，再根据及向量数量积的运算律计算可得； 【详解】（1）解：由，，知，， 所以， 所以； （2）解：设分别为与同方向的单位向量， 则， ① ②由题， 因为，所以， 由知 则 17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】答案见解析 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标可得向量的坐标，由向量的坐标运算可计算模长以及数量积，进而可求解. 【详解】方案一：选条件①． 假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．设，，则，，，所以，． 因为，所以，即． 因为，，所以，所以．又， 所以，故存在点，，满足，此时． 方案二：选条件②． 假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以． 设，，则，，， 所以，．因为，且， 所以，解得．又，所以， 故存在点，，满足，此时． 方案三：选条件③．假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2， 则，，，，所以，． 设，，则．因为， 所以与不共线，所以，即， 则， 故不存在点，满足． 18．如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： (1)求的模； (2)求的值； (3)求证：平面. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的模长公式可求得结果； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值； （3）利用空间向量法可证得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）解：因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，所以，，则. （2）解：依题意得、、、， 所以，，，， 又，， 所以，. （3）证明：依题意得、、、、， 则，，， 所以，，， 则，，即，， 又因为，所以，平面. 19．已知三棱锥中，. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点M在线段上，满足，点N在线段上，且，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）取中点，连接，证明两两垂直，从而得线面垂直、面面垂直； （2）过作于，连接，证明是二面角的平面角，然后在直角三角形中计算出余弦值． （3）建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，由它们的数量积为0求出的关系，从而可得范围． 【详解】（1）取中点，连接， 因为，所以，所以，， 又，所以，即， 即，又，平面，所以平面， 而平面，所以平面平面； （2）由（1）得，又，，平面， 所以平面，平面，所以，同理， 过作于，连接， ，平面，所以平面，又平面， 所以，所以是二面角的平面角． 由.得，， ，所以． （3）以为轴建立空间直角坐标系，由，， ，， 设，则． ， ， 因为， 所以，， ，则，所以，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化练3 微点3空间向量坐标法 一、单选择题 1．已知，，若，则实数z的值为（    ） A．5 B．2 C．3 D．4 2．如图所示，在三棱柱中，底面，，，点、分别是棱、的中点，则直线和所成的角为（    ） A．120° B．150° C．30° D．60° （23-24高二上·辽宁·阶段练习） 3．如图，在正方形中，点，分别是线段，上的动点，且，与交于G，在与之间滑动，但与和均不重合．现将四边形沿直线折起，使平面平面，在从滑动到的过程中，的大小（    ）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．不发生变化 D．由小变大 （2024高三下·浙江杭州·专题练习） 4．已知三棱锥中，，和所成的角为，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 5．人大附中举办了“阳春德泽·欧以咏志”春日合唱比赛大获成功．数学组想举办“响亮（谐音向量）学生音乐节”独唱比：想在独唱比赛取得好的成绩取决于三个要素：情感投入，唱歌技巧和舞台效果（单位：分）．每个参赛同学各有优势．最多只能分配10分到三个不同的要素中．根据经验，数学组老师约定三个要素为时会达到最佳效果．计分方式是计算参赛同学的三维要素向量与的夹角余弦值，公式是，该值越大得分越高．根据此规则，你认为下列四位参赛同学得分最高的是（    ） 同学 情感投入 唱歌技巧 每台效果 A 6 3 1 B 1 4 4 C 2 3 4 D 2 4 3 A．同学A B．同学B C．同学C D．同学D （2024高三·全国·专题练习） 6．在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． （23-24高三上·重庆·阶段练习） 7．已知正四棱锥底面边长为2，高为1，动点在平面内且满足，则直线与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知长方体中，，，，空间中存在一动点满足，记，，，则（        ）. A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．对任意的点，有 D．对任意的点，有 二、多选择题 9．如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为60°，为锐角，且侧面底面，下列四个结论正确的是（    ） A． B． C．直线与平面所成的角为45° D． （24-25高二上·湖南邵阳·开学考试） 10．为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论正确的有（    ） A．当直线与成角时，与成角； B．当直线与成角时，与成角； C．直线与所成角的最小值为； D．直线与所成角的最大值为. 11．已知圆柱底面半径，高，下底面圆心为O，上底面圆心为，A是下底面圆上任意一点，B是上底面圆上任意一点，则下列命题中正确的是（    ） A．向量与的夹角为定值 B．的最大值为 C．与夹角的最大值为 D． 三、填空题： 12．已知点,,，则中角的大小是 ． （23-24高二上·湖北武汉·期末） 13．对于任意向量定义运算：．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是 ． （23-24高二上·安徽宿州·期中） 14．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面点法式方程为，经过点且一个方向向量为的空间直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：若空间直线的方程是，直线是两个平面与的交线，则直线夹角为 ． 四、解答题. （23-24高二上·江西·期中） 15．如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.    (1)证明：； (2)求. 16．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作. (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. 17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： (1)求的模； (2)求的值； (3)求证：平面. 19．已知三棱锥中，. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点M在线段上，满足，点N在线段上，且，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$