同步微点进阶强化练6 空间向量与立体几何范围问题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

强化练6    空间向量与立体几何范围问题 一、单选择题 1．已知向量，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出，得到答案. 【详解】因为， 所以， 当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. （24-25高三上·江苏淮安·开学考试） 2．已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意且与不共线，利用向量共线和数量积的坐标运算求解. 【详解】， 当时，有，解得，此时，与夹角为， 所以与夹角不可能为， 与夹角为锐角时，有，解得， 则实数的取值范围是. 故选：D. （24-25高二下·全国·课后作业） 3．点P在平面内的直线上，点P到点的距离最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把点到直线的距离转化为空间中两点间的距离，再利用函数的性质求最值． 【详解】由已知可设点， 当与平面内的直线垂直时，最小，， 因为点在平面内的直线上，所以位该直线的一个方向向量， 当最小时，， 即， 此时 所以当时，取最小值，此时点. 故选：C． （24-25高三上·浙江·开学考试） 4．如图，在下列四个正方体中，是顶点，是棱的中点，则三棱锥体积最大的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出点设点到平面的距离和三角形的面积，再利用体积公式即可求解AC,利用等体积法求解CD. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的边长为2.    对于A, 所以 设平面的一个法向量为，则 令则，所以 设点到平面的距离为，则 易知为等边三角形，边长为，所以， 所以. 对于B，易求得,点B到平面的距离为1， 所以； 对于C， 所以 设平面的一个法向量为，则， 令则，所以 设点到平面的距离为，则, 易求得所以； 对于D，易求得,点A到平面的距离为1， 所以; 所以A选项的体积最大. 故选：A. （24-25高二上·河北·阶段练习） 5．在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可. 【详解】因为正三棱柱中，有，所以为的中点，取中点， 连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为是棱上一动点，设，且， 因为，且， 所以，于是令， 所以，， 又函数在上为增函数， 所以当时，，即线段长度的最小值为. 故选：D. （2024·浙江·模拟预测） 6．边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设，从而求得，再根据向量模长公式结合即可求解. 【详解】    如图，建立空间直角坐标系，设， 则， 所以，则， 因为，又， 所以，即， 所以， 又，所以，当且仅当，此时时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：D. （23-24高一下·浙江宁波·期末） 7．在棱长为2的正四面体中，棱上分别存在点（包含端点），直线与平面，平面所成角为和，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量得到，最后根据范围求的取值范围即可. 【详解】 如图，取的中心，连接，取中点，连接，过点作交于点，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 因为为正四面体，所以，，， ，，，，， ，， 设，，，， 则， 由题意得可以作为平面的一个法向量， 则， 设平面的法向量为， ，则，令，则， 所以， ， ， 因为，，所以，， ，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用相似设出点的坐标，然后利用空间向量的方法求出线面角，最后求范围即可. （23-24高二上·辽宁·期末） 8．正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．48 D．50 【答案】D 【分析】先由,再由，推出，，,再由向量的数量积的计算公式得到，结合基本不等式，即可求解结果. 【详解】因为正四面体的棱长为， 所以， 同理可得,, 又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点M，N，, 所以， 由，则 因为，所以 当且仅当取等号， 此时， 所以 故的最小值为. 故选：D 二、多选择题 （23-24高一下·浙江绍兴·期末） 9．如图，已知正方体的棱长为，分别为棱上的点，，则（    ） A． B．平面经过棱的中点 C．平面截该正方体，截面面积的最大值为 D．点到平面距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】记为的中点，取线段上的点使得，正方体的中心为，然后说明平面截该正方体的截面就是中心为的六边形，之后根据正方体的对称性和勾股定理，逐个选项验证即可. 【详解】 记为的中点，棱的中点， 取线段上的点使得，正方体的中心为. 则根据对称性，和，和，和分别关于点对称. 从而在平面内，而，故， 从而在平面内. 由于前面的对称性，及在平面内， 知平面截该正方体的截面就是中心为的六边形， 从而一定在平面内，至此我们得到选项B正确. 前面已经证明，同理有，故. 由于，故， 同时显然有. 从而，. 由于，， 故四边形和都是等腰梯形，从而，. 这表明线段和互相平分且长度相等，所以四边形是矩形，故，至此我们得到选项A正确. 由于四边形和都是等腰梯形，且上底均为，下底均为， 腰长均为，故它们的高都等于. 所以它们的面积都等于. 故截面的面积. 当时，，至此我们得到选项C错误. 由于，且在平面内， 故点到平面的距离不超过. 而当时，分别是各自所在棱的中点，从而. 而，这表明点和点到三点的距离两两相等. 故点和点在平面的投影同样满足到三点的距离两两相等， 从而点和点在平面的投影都是的外心， 所以由点和点的投影是同一点，知垂直于平面. 从而由在平面内，知点到平面的距离就是的长，即. 所以，点到平面的距离的最大值是，至此我们得到选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于截面六边形的构造，这是利用正方体的对称性的关键. （23-24高二上·广东中山·阶段练习） 10．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标运算判断A，利用异面直线的向量夹角公式计算判断B，连接，结合锥体体积公式，利用等体积法判断C，利用向量的坐标运算表示线面角的正弦值，然后利用二次函数及正弦函数的单调性即可判断D. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，   ，，，，，，，； 对于A，假设存在点，使得， 则，又， 所以，解得，即点与重合时，，A正确； 对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，， 所以，方程无解；所以不存在点，B错误；    对于C，连接，设， 因为， 所以当，即点与点重合时，取得最大值； 又点到平面的距离， 所以，C正确； 对于D，由上分析知：，， 若是面的法向量，则， 令，则， 因为，设直线与平面所成的角为，， 所以， 当点自向处运动时，的值由到变大，此时也逐渐增大， 因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确. 故选：ACD （23-24高二下·福建莆田·期末） 11．是棱长为2的正方体表面上一点，则（    ） A．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．设是的中点，若，则线段长度的最大值为 D．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】选项A，利用等体积法，即，过过作于，根据条件知为三棱锥高，即可求解；选项B，建立空间直角坐标系，设，进而求得，即可求解；选项C，通过找出一个过且与垂直的平面，进面得出点的轨迹，即可求解；选项D，根据条件得到直线与所成的角为，再对在各个面的情况进行讨论，即可求解. 【详解】对于选项A，如图1，连接，因为，易知平面即平面， 过作于，因为面，面， 所以，又，面，所以面， 又的面积为定值，而随着的变化而变化，所以三棱锥的体积不为定值，所以选项A错误， 对于选项B，如图2，建立空间直角坐标系，因为正方形的棱长为2， 则，设，， 又，， 设与所成的角为， 则， 当时，，此时， 当时，令，， 又，得到，所以，得到， 故，所以选项B正确， 对于选项C，如图3，取的中点， 连接， 易知，所以与确定唯一平面， 由正方体性质知与相交，所以， 连接，易知，又，，面， 所以面，又面，所以，同理可得， 又，所以面， 因为，所以，故面，又是正方体表面上一点，故在正六边形的边上运动， 由对称性知，当与重合时，线段长度最大，最大值为，所以选项C正确， 对于选项D，因为直线与平面所成的角为， 若点在平面内，如图4，过，连接，则为直线与平面所成的角， 由题知，则，显然只有与重合符合题意， 同理可知若点在平面内，与重合符合题意， 又因为面，得直线与所成的角为， 若点在平面内时，点的轨迹是，此时轨迹长为， 若点在平面内时，点的轨迹是，此时轨迹长为， 若点在平面时，作面，连接，如图4所示， 因为，所以，又，所以， 得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一的圆，此时轨迹长为， 所以点的轨迹长度为，故选项D正确， 故选：BCD. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在选项C和选项D，对于选项C，将问题转化成寻找一个过且与垂直的平面，从而得出点的轨迹；对于选项D，根据条件将问题转化成与直线与所成的角为，再对点在各个平面的情况进行讨论，即可求解. 三、填空题： （21-22高二上·福建三明·开学考试） 12．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并求点的坐标. 【详解】因为点在直线上运动，， 所以，则，则，则，， 所以， 时，取最小值，此时， 故答案为： （24-25高二上·全国·课后作业） 13．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点，为平面内一点，当三棱锥体积达到最大，且点到平面的距离为时， ． 【答案】1 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求点面距，从而求得结论． 【详解】连接，且，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，则， 底面是边长为2的菱形，则当为棱上一点时，面积最大，从而三棱锥的体积最大， 设，则， 设平面的法向量，则即 令， 点到平面的距离为， 化简得，解得或（舍去），则，故． 故答案为：1. （23-24高二下·江苏常州·阶段练习） 14．如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【答案】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可. 【详解】解：连接，过点作垂直于的延长线于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示： 在三角形中，因为， 故， 则， 则， ， 故点，又，，， 设点，，由，可得， ，， 设平面的法向量， 则，即， 取，则， 故平面的法向量， 又， 设直线与平面所成角为，， 则， 因为，且， 故令，，， 则，，， 又，所以， ，即， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题. （24-25高二上·全国·课后作业） 15．在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段上一点．记异面直线与所成角为，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意，过作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及异面直线的夹角公式，代入计算，即可求解. 【详解】    过作，因为侧面是正三角形，所以O是CD的中点， 又因为平面底面，且平面，所以底面 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设．则，， ，，故． 令， 令，即，故， 当时，．当时，． 由对勾函数知．即． （24-25高二上·湖南·开学考试） 16．在空间直角坐标系中，已知点，，. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)2或 (2) 【分析】（1）根据向量的数量积坐标运算公式计算求参； （2）先由空间两点间的距离公式计算，再结合二次函数值域求解. 【详解】（1）由题意可得，， 因为， 解得或 （2）由空间两点间的距离公式， 得 ， 当时，有最小值. 17．如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内. (1)若中点为，求的面积； (2)若平面，求线段长度的最小值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用几何关系求出，从而得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）构造平面平面，从而确定点必在上，然后利用等面积法求解即可；或者利用空间向量结合二次函数求最值. 【详解】（1）连接、、， ， ，同理， 是正方形对角线AC中点， ，且， ， 即，则， . （2）法一： 取中点，连接，，， 易得，故四边形是平行四边形， ，又 平面 平面， 平面，同理， 平面 平面， 平面 ，且都在面内， 故平面平面， 则点必在上，且当时，长度最小， ， 由等面积法得：，解得， 故的最小长度为. 法二： 取为一组空间基底，则，， 平面， ，代入整理得， 故， 动点在平面内， ， ， 故， 当且仅当时，有最小值为. 法三： 由第一问知，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， ， ，， 同理， ，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设点，， ，即， 故， 当且仅当时，有最小值为. 18．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点分别为的中点，且. (1)若，求直线与平面所成角的正弦值； (2)若直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，从而求得平面的法向量与，由此可求得直线与平面所成角的正弦值； （2）设，从而分别求得平面与平面的法向量与及，从而由题意条件求得，进而可求得平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 【详解】（1）因为，则，即， 又因为平面，所以， 故建立如图所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，故， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. . （2）设，则，故， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，故， 易得平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得， 设平面与平面的夹角为，则， 因为，所以，则，故，即. 所以平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为. （24-25高三上·河北承德·开学考试） 19．正四棱柱中，点分别在上，且四点共面. (1)若，记平面与底面的交线为，证明：； (2)已知，若，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用已知可得四边形是平行四边形，进而可得平面，由线面平行的性质可得； （2）以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得四边形是平行四边形，进而可得，结合已知计算可求四边形面积的最大值. 【详解】（1）连接， 由正四棱柱，可得，，，又因为，所以由勾股定理可得， 又，所以，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以，所以； （2）以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，又底面是正方形，所以， 又，所以， 所以， 所以， 所以， ， 由正四棱柱，可得平在面， 又四点共面，过有唯一平面， 又平面平面，平面平面， 所以，同理可得，所以四边形是平行四边形， 又，所以， 所以，又， 所以，解得， 所以 ， 所以四边形面积的最大值为. （24-25高二上·江苏无锡·阶段练习） 20．如图1所示中，，，，分别为，中点.将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得.连接，，得到四棱锥，记的中点为，连接，动点在线段上. (1)证明：平面； (2)若，连接，，求直线与平面的夹角的正弦值； (3)求动点到线段的距离的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求解线面角的正弦； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可. 【详解】（1） 因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后， ，；以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立 空间直角坐标系，则，，，，， 为中点，所以，，设平面的法向量为 ，又，，所以， ，令，则，，所以，所以， 所以，所以平面. （2）设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以,，所以，， ，设平面的法向量为，， ，令，则，，所以，， 设直线与平面的夹角为， 所以， 所以直线与平面的夹角的正弦值. （3）设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化练6    空间向量与立体几何范围问题 一、单选择题 1．已知向量，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （24-25高三上·江苏淮安·开学考试） 2．已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （24-25高二下·全国·课后作业） 3．点P在平面内的直线上，点P到点的距离最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． （24-25高三上·浙江·开学考试） 4．如图，在下列四个正方体中，是顶点，是棱的中点，则三棱锥体积最大的是（    ） A．   B．   C．   D．   （24-25高二上·河北·阶段练习） 5．在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C． D． （2024·浙江·模拟预测） 6．边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． （23-24高一下·浙江宁波·期末） 7．在棱长为2的正四面体中，棱上分别存在点（包含端点），直线与平面，平面所成角为和，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （23-24高二上·辽宁·期末） 8．正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．48 D．50 二、多选择题 （23-24高一下·浙江绍兴·期末） 9．如图，已知正方体的棱长为，分别为棱上的点，，则（    ） A． B．平面经过棱的中点 C．平面截该正方体，截面面积的最大值为 D．点到平面距离的最大值为 （23-24高二上·广东中山·阶段练习） 10．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 （23-24高二下·福建莆田·期末） 11．是棱长为2的正方体表面上一点，则（    ） A．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．设是的中点，若，则线段长度的最大值为 D．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 三、填空题： （21-22高二上·福建三明·开学考试） 12．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． （24-25高二上·全国·课后作业） 13．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点，为平面内一点，当三棱锥体积达到最大，且点到平面的距离为时， ． （23-24高二下·江苏常州·阶段练习） 14．如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 . 四、解答题. （24-25高二上·全国·课后作业） 15．在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段上一点．记异面直线与所成角为，求的取值范围． （24-25高二上·湖南·开学考试） 16．在空间直角坐标系中，已知点，，. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 17．如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内. (1)若中点为，求的面积； (2)若平面，求线段长度的最小值. 18．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点分别为的中点，且. (1)若，求直线与平面所成角的正弦值； (2)若直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. （24-25高三上·河北承德·开学考试） 19．正四棱柱中，点分别在上，且四点共面. (1)若，记平面与底面的交线为，证明：； (2)已知，若，求四边形面积的最大值. （24-25高二上·江苏无锡·阶段练习） 20．如图1所示中，，，，分别为，中点.将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得.连接，，得到四棱锥，记的中点为，连接，动点在线段上. (1)证明：平面； (2)若，连接，，求直线与平面的夹角的正弦值； (3)求动点到线段的距离的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$