同步微点进阶强化练8 花开五朵：直线方程-2025-2026学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

强化练8    花开五朵：直线方程 一、单选择题 1．已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（    ） A． B． C．0 D．8 2．关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 3．直线不过第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 （2024高二·全国·专题练习） 5．对于直线l：，下列说法不正确的是（ ） A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点 C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限 6．如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． （23-24高三上·上海浦东新·阶段练习） 7．在平面直角坐标系中，函数的图像上有三个不同的点位于同一条直线上，且这三点的横坐标之和为0，则有以下结论： ①该直线必过x轴上的一个定点. ②该直线斜率的取值范围是． 则下列选项正确的是（     ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 8．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为 A． B． C． D． 二、多选择题 9．（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 10．下列命题正确的有（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．直线的一个方向向量为 C．过点且在轴、轴上的截距相等的直线方程为 D．经过任意两个不同的点，的直线方程可以表示为 11．直线与两坐标轴围成的三角形的面积记为，则（    ） A．的最小值是 B．对于所有的，方程有个不等实数解 C．存在唯一实数，使 D．的值域是 三、填空题： 12．过点且以向量为方向向量的直线方程为 ；过点且与向量垂直的直线方程为 ． 13．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过的重心G，则AP= ．直线PQ的斜率为 14．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边，分别在轴、轴的非负半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上一点处，设折痕所在直线的斜率为，若，则折痕长的取值范围为 ．    四、解答题． 15．如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    16．已知函数（且）的图象与直线都过定点，且直线与轴、轴的正方向分别交于，两点，分别求满足下列条件的直线方程． (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积最小时，求直线的方程． 17．已知直线的方程为． （1）当时，求直线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）证明：不论取何值，直线恒过第四象限． （3）当时，求直线上的动点到定点，距离之和的最小值． 18．如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 19．如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数 （1）设，求面积的最小值； （2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化练8    花开五朵：直线方程 一、单选择题 1．已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（    ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【分析】由平行、垂直直线的斜率关系得出的值. 【详解】因为，所以，解得，又，所以， 解得.所以. 故选：A. 2．关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程中的换为，换为，即可得到关于原点对称的直线方程. 【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 3．直线不过第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），由此可解得实数的取值范围. 【详解】若，可得，直线的方程为，该直线不过第二象限，合乎题意； 若，可得，直线的斜截式方程为， 若直线不过第二象限，则，解得. 综上所述，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在斜率存在的前题下，一般从直线的斜率与纵截距或直线在两坐标轴上的截距来进行分析，结合已知条件列不等式（组）求解. 4．已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由已知求出直线方程，得出，代入即可求解. 【详解】解析：可得直线AB的方程为，则可得，， 则， 当时，取得最大值为3. 故选：B. （2024高二·全国·专题练习） 5．对于直线l：，下列说法不正确的是（ ） A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点 C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限 【答案】C 【分析】由直线方程的相关性质逐一判断即可. 【详解】对A,直线方程为，斜率为，一定存在，故A正确； 对B，，所以直线过点，故B正确； 对C，时斜率为，倾斜角为，故C错误； 对D，时，直线方程为，即，斜率是2，为正，与坐标轴的交点分别是和，因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，故D正确. 故选：C． 6．如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设关于直线对称的点为，关于直线对称的点为，连接与直线分别交于，连接，分别与直线交于，由题意，在线段之间即可，算出两点的坐标结合斜率公式即可得到答案. 【详解】设关于直线对称的点为，关于直线对称的点为，连接 与直线分别交于，连接，分别与直线交于， 由题意，在线段之间即可， 又，直线的方程为，设，则 ，解得，所以， 同理可得关于直线对称的点，所以直线：， 又直线方程为：，所以， 所以直线方程为：， 即，由，得，所以， 又易得方程为：，所以， 所以. 故选：B 【点睛】本题考查求点关于直线对称的点、两直线的交点的问题，涉及到入射光线、反射光线，考查学生的数学计算能力，是一道有一定难度的题. （23-24高三上·上海浦东新·阶段练习） 7．在平面直角坐标系中，函数的图像上有三个不同的点位于同一条直线上，且这三点的横坐标之和为0，则有以下结论： ①该直线必过x轴上的一个定点. ②该直线斜率的取值范围是． 则下列选项正确的是（     ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 【答案】A 【分析】画出函数图象，设出直线方程，由图可知，当时，解得其中一根，当时，联立直线和函数方程得，由韦达定理求出和，再根据三根之和为0，即可判断①，根据题意有两个不相等的负实根，可得，带入求解即可判断②. 【详解】，作出函数的图象如下 设直线方程为，显然当时，函数与直线交点个数不可能为3个，所以，由题意可得关于的方程有三个不等实数根， 当时，由可得，不妨设， 当时，由可得， 则有两个不相等的负实根，设为，， 则，， 由题意知，则，即， 所以直线方程为，所以直线过定点， 又在x轴上，所以①正确； 由有两个不相等的负实根，设为，， 所以，将代入可得 解得，所以直线斜率的取值范围是,所以②正确. 故选：A 【点睛】本题运用数形结合的思想，涉及到韦达定理的运用，考查学生的计算能力. 8．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标 【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ① AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为， 即x-2y+3=0．联立 解得 ∴△ABC的外心为（-1，1）． 则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ② 联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4． 当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A 【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等． 二、多选择题 9．（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为， 则反射光线所在直线的方程为， 当时，；当时，. 故选：BD. 【点睛】结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）. 10．下列命题正确的有（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．直线的一个方向向量为 C．过点且在轴、轴上的截距相等的直线方程为 D．经过任意两个不同的点，的直线方程可以表示为 【答案】BD 【分析】对于A，据两直线垂直可得或，由充分条件、必要条件可判断；对于B，求出直线的斜率，即可得到方向向量；对于C，分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论即可求；对于D，分，，且三种情况讨论即可. 【详解】对于A，由直线与直线互相垂直可得， 解得或， 所以是直线与直线互相垂直的充分不必要条件，故A错误． 对于B，直线的斜率为2，则该直线的一个方向向量为，故B正确． 对于C，当直线过原点时，直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，将代入解得， 此时直线方程为， 所以过点且在轴、轴上的截距相等的直线方程为或，故C错误． 对于D，当时，经过，的直线方程为，此时适合； 当时，经过，的直线方程为，此时适合； 当，时，经过，的直线方程为，也即， 故经过任意两个不同的点，的直线方程可以表示为，故D正确． 故选：BD 11．直线与两坐标轴围成的三角形的面积记为，则（    ） A．的最小值是 B．对于所有的，方程有个不等实数解 C．存在唯一实数，使 D．的值域是 【答案】BCD 【分析】分类讨论直线的位置，从而求出面积函数的值域判断AD，建立方程求解判断C，根据二次函数根的分布判断B. 【详解】直线可化为， 联立，解得，故直线恒过点，设，， 由题意可得中取得，取得， 当即时，直线的截距式为，由题意， 因为，所以，故， 当且仅当，即，即时等号成立， 当即或时，直线的截距式为，由题意， 则，，故， 因为时，，所以等号取不到，所以， 当即时，直线的截距式为，由题意， 则，，故， 因为时，，所以等号取不到，所以， 当时，无解，此种情况不存在，综上，的值域是， 故选项D正确，A错误； 当时，若，则，即，解得或（舍去）， 此时，无解； 若，则，即，解得或（舍去）， 此时，解得，满足；综上，存在唯一实数m，满足题意，故选项C正确； 当时，，即，则， 该方程有两个正根，又为单调函数， 所以当时，方程有个不等实数解； 当时，，即， 则，又，， 所以方程在上只有一个根， 又为单调函数，则方程有个不等实数解； 当时，，即， 则，又，， 所以方程在上只有一个根， 又为单调函数，则方程有个不等实数解； 综上，对于所有的，方程有个不等实数解，故选项B正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是找到直线恒过的定点，然后表示出三角形面积函数，分类讨论求值域及方程根的个数，是个难题. 三、填空题： 12．过点且以向量为方向向量的直线方程为 ；过点且与向量垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】第一空由直线的方向向量得到斜率，再由点斜式得到直线方程；第二空由直线的法向量与斜率关系得到斜率，再由点斜式得到直线方程； 【详解】第一空：因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即． 第二空：依题意知，所求直线与向量垂直，所以直线的斜率满足，解得，所以直线的方程为，即． 故答案为：； 13．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过的重心G，则AP= ．直线PQ的斜率为 【答案】 2 【分析】根据已知，利用对称性、重心的性质，求出对称点坐标，联立直线方程进行求解. 【详解】        建立如图所示的平面直角坐标系，可得，， 所以直线的方程为，的重心G的坐标为， 设点，，分别是点关于直线BC和y轴的对称点， 连接，所以，设，则有 ，解得，所以， 由光的反射原理可知，四点共线，所以， 即，解得，此时， 所以，，，直线的方程为， 联立直线的方程与的方程有：，解得， 即，所以直线PQ的斜率为. 故答案为：，2. 14．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边，分别在轴、轴的非负半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上一点处，设折痕所在直线的斜率为，若，则折痕长的取值范围为 ．    【答案】 【分析】当时，由图形直接求出直线方程得到折痕长度，当时，由点关于直线的对称点得到斜率关系，再由点斜式得到直线方程，最后结合两点间距离公式和二次函数求出结果； 【详解】当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程，折痕的长为2． 当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为， 所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得， 故，从而折痕所在的直线与的交点坐标为， 故折痕所在的直线方程为，即， 因为直线的斜率为，所以当时，折痕端点在线段上，在线段上， 如图．当时，折痕所在的直线交于点，交轴于点， 所以， 又因为，所以，所以． 综上所述，折痕长的取值范围为． 故答案为：.    四、解答题． 15．如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【答案】10.12m 【分析】建立如图所示坐标系，利用垂直关系得到斜率关系从而得到直线方程，再代入点即可求出； 【详解】如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，的中点的坐标为． 因为，所以直线的倾斜角为， 由，得点的坐标为，即． 又因为，所以， 所以直线的方程为． 又直线过点，所以，解得． 故灯柱高约为10.12m．    16．已知函数（且）的图象与直线都过定点，且直线与轴、轴的正方向分别交于，两点，分别求满足下列条件的直线方程． (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先确定定点，作，借助三角形相似可得两点的坐标，即可求出直线方程； （2）方法1，设直线的式方程为，由过定点得，即，代入三角形面积公式，结合一元二次方程性质即可求；方法2，由，借助基本不等式即可求；方法3，设直线的方程为，求出其截距，代入面积公式，结合基本不等式即可求. 【详解】（1）函数的图象过定点， 故直线过定点． 如图，作，则． 由三角形相似，， 可求得，， 所以直线方程为，即．    （2）方法1：根据题意，设直线的方程为，由题意知，， 因为直线过点，所以，解得， 所以的面积，化简得  ①． 所以，解得或（舍去）． 所以的最小值为4，将代入①式，得，解得， 所以， 所以直线的方程为． 方法2：由方法1可知，所以， 化简得，当且仅当，即时取等号， 所以的面积有最小值为4， 此时直线的方程为，即． 方法3：设直线的方程为， 令，得；令，得， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以的面积有最小值为4， 此时直线的方程为，即． 17．已知直线的方程为． （1）当时，求直线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）证明：不论取何值，直线恒过第四象限． （3）当时，求直线上的动点到定点，距离之和的最小值． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）. 【分析】（1）将代入可得直线方程，分别求得与两个坐标轴的交点坐标，即可求得直线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）将直线方程变形，解方程组即可确定直线所过定点坐标，即可确定其恒过第四象限. （3）将代入可得直线方程，根据两个点坐标可知两个点在直线同一侧，可先求得关于直线的对称点为的坐标，即可由两点间距离公式求得最短距离. 【详解】（1）当时，直线的方程为， 令，得； 令，得， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为． （2）证明：将直线的方程整理得， 由，得， 所以直线恒过点， 所以不论取何值，直线恒过第四象限． （3）当时，直线的方程为，定点，在直线的同一侧，其中关于直线的对称点为，则， 所以动点到定点，距离之和为， 所以当，，三点共线时，最小， 此时． 【点睛】本题考查了直线与坐标轴交点的求法，直线过定点的求法，点关于直线的对称点求法及最短距离问题，属于基础题. 18．如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1)证明见解析，定点坐标为； (2)； (3)． 【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标； （2）求出定点在直线上，且，由得到，设出，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程； （3）作出辅助线，确定关于和的对称点，得到，由对称性得，写成直线方程. 【详解】（1）直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为； （2）因为，，，所以， 由题意得直线方程为， 故直线经过的定点在直线上，所以， 设直线与交于点，所以， 即，所以， 设，所以，即， 所以，，所以， 将点坐标代入直线的方程，解得， 所以直线的方程为； （3）设关于的对称点，关于的对称点， 直线的方程为，即， 直线的方程为，所以， 解得，所以， 由题意得四点共线，，由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 19．如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数 （1）设，求面积的最小值； （2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在； 【分析】(1)利用直线的点斜式方程直线l的方程，再利用两条直线的交点坐标得和，再结合题目条件得，当时，得直线OA的方程为， 和，以及，再利用点到直线的距离公式得点M和N到直线OA的距离，从而得面积，令，则，从而得S ，再利用基本不等式求最值，计算得结论； (2)利用(1)的结论，结合两点间的距离公式得和，计算，由得结论． 【详解】(1)因为直线l过点，且斜率为k， 所以直线l的方程为 因为直线l与，分别交于点M，N，所以， 因此由得，即， 由得，即 又因为M，N的纵坐标均为正数， 所以，即 而，因此 又因为当时，直线OA的方程为， ，，且， 所以点M到直线OA的距离为， 点N到直线OA的距离为， 因此面积 令，则且， 因此 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为，即面积的最小值为 (2)存在实数，使得的值与k无关． 由(1)知：，，且 因此，， 所以 又因为，所以当时，为定值， 因此存在实数，使得的值与k无关． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$