第15章 技巧专题1 等腰三角形中的分类讨论思想&技巧专题2 构造等腰三角形的常用方法-2025-2026学年新教材八年级上册数学7分钟优化课堂(人教版2024）

技巧专题一 等腰三角形中的分类讨论思想 一、顶角和底角不确定时分类讨论 1.等腰三角形中,一个角为80°,则这个等腰三角形的顶角的度数为 ( ) A.50° B.80° C.80°或40° D.80°或20° 2.若等腰三角形的一个外角为140°,则底角的度数为 . 3.一个等腰三角形,一个角的度数是另一个角度数的14 ,求这个等腰三角形顶角的度数. 二、底边和腰不确定时分类讨论 4.△ABC是等腰三角形,AB=5,AC=7,则△ABC的周长为 ( ) A.12 B.12或17 C.14或19 D.17或19 5.一个等腰三角形的周长为18cm,且一边长是4cm,则它的腰长为 ( ) A.4cm B.7cm C.4cm或7cm D.全不对 6.已知△ABC的三边长分别为10-a,5,6,当△ABC为等腰三角形时,求a的值. 三、等腰三角形的形状不确定时分类讨论 7.已知等腰△ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=12BC ,则△ABC底角的度数为 ( ) A.45° B.75° C.75°或45°或15° D.60°或30° 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°,则等腰三角形的顶角度数为 . 9.等腰三角形中,一腰上的中线把三角形的周长分为6cm和15cm的两部分,则该三角形 的腰长为 . 10.已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°,求此等腰三角形的 顶角的度数. ·94· 技巧专题二 构造等腰三角形的常用方法 一、利用角分线与平行线构造等腰三角形 1.如图,在△ABC中,BD 平分∠ABC,DE∥CB,F是BD 的中点. (1)求证:△BDE是等腰三角形. (2)若∠ABC=50°,求∠DEF的度数. " % $# & ' 二、利用角分线与垂线构造等腰三角形 2.如图,在△ABC中,AD 平分∠BAC,E是BC 的中点,过点E 作FG⊥AD 交AD 的延长 线于点H,交AB于点F,交AC的延长线于点G. (1)求证:AF=AG. (2)求证:BF=CG. " % $# )& ( ' 三、利用截长补短法构造等腰三角形 3.截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线 段与某一短边相等,补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等. (1)如图1,在△ABC中,AD 平分∠BAC,交BC 于点D,且∠B=2∠C.为了证明结论 “AB+BD=AC”,小亮在AC上截取AE,使得AE=AB,解答了这个问题,请按照小 亮的思路写证明过程. (2)如图2,在四边形ABCD 中,已知∠BAD=58°,∠D=109°,∠ACD=42°,∠ACB= 80°,AD=10,CE⊥AB,EB=3,求AB的长. 
 
 " % $# & " % $ #& ·05· 技巧专题一 等腰三角形中的分类讨论思想 1.D 2.40°或70° 3.解:设顶角度数为x, 若底角度数是顶角度数的1 4 ,则底角度数 为1 4x , 则1 4x+ 1 4x+x=180° , 解得x=120°; 若顶角度数是底角度数的1 4 ,则底角度数 为4x, 则4x+4x+x=180°, 解得x=20°, ∴这 个 等 腰 三 角 形 顶 角 的 度 数 是 20° 或120°. 4.D 5.B 6.解:根据题意,得当10-a=5即a=5时, △ABC的三边长分别为5,5,6, 满足5+5>6,6-5<5, ∴能构成等腰三角形; 当10-a=6即a=4时, △ABC的三边长分别为5,6,6, 满足5+6>6,6-5<6, ∴能构成等腰三角形, 综上所述,当△ABC 为等腰三角形时,a 的值为4或5. 7.C 8.20°或160° 9.10cm 10.解:如 图,当 等 腰 三 角 形 为 锐 角 三 角 形时, " & # $ % ∵DE垂直平分AC,∠ADE=40°, ∴∠AED=90°, ∴∠A=90°-40°=50°; 如图,当等腰三角形为钝角三角形时, % " $# & ∵DE垂直平分AB,∠ADE=40°, ∴∠AED=90°, ∴∠CAB=∠AED+∠ADE=130°, 综上所述,等腰三形的顶角的度数为50° 或130°. 技巧专题二 构造等腰三角形的常用方法 1.(1)证明:∵BD 平分∠ABC, ∴∠EBD=∠CBD, ∵DE∥CB, ∴∠EDB=∠CBD, ∴∠EBD=∠EDB, ∴EB=ED, ∴△BDE是等腰三角形. (2)解:∵∠ABC=50°, ∴∠EBD=∠CBD=25°, 即∠EBD=∠EDB=25°, ∵△BDE 是 等 腰 三 角 形,F 是 BD 的 中点, ∴EF⊥BD, ∴∠DEF=90°-∠EDB=65°. 2.证明:(1)∵AD 平分∠BAC, ∴∠FAH=∠GAH, ∵FG⊥AD 交AD 的延长线于点H, ∴∠AHF=∠AHG=90°, 在△AHF和△AHG中, ∠FAH=∠GAH AH=AH ∠AHF=∠AHG 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△AHF≌△AHG(ASA), ∴AF=AG. (2)如图,过点 C 作CM ∥AB 交FG 于 点M, " $ ( ) . ' # & % ·801· ∵△AHF≌△AHG, ∴∠AFH=∠G, ∵CM∥AB, ∴∠CMG=∠AFH,∠B=∠ECM, ∴∠CMG=∠G, ∴CM=CG, ∵E是BC 的中点, ∴BE=CE, 在△BEF和△CEM 中, ∠B=∠ECM BE=CE ∠BEF=∠CEM 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△BEF≌△CEM(ASA), ∴BF=CM, ∴BF=CG. 3.(1)证明:如图,在 AC 上截取AE,使得 AE=AB,连接DE, " & $%# ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠DAC, ∵AD=AD, ∴△ABD≌△AED(SAS), ∴∠B=∠AED,BD=DE, ∵∠B=2∠C, ∴∠AED=2∠C, ∵∠AED 是△DEC的一个外角, ∴∠AED=∠C+∠EDC, ∴∠C=∠EDC, ∴DE=CE, ∴BD=EC, ∵AE+EC=AC, ∴AB+BD=AC. (2)解:如图,在 AE 上截取AF=AD,连 接CF, % $ #&'" ∵∠D=109°,∠ACD=42°, ∴∠DAC=180°-∠D-∠ACD=29°, ∵∠BAD=58°, ∴∠FAC=∠BAD-∠DAC=29°, ∴∠DAC=∠FAC=29°, ∵AC=AC, ∴△DAC≌△FAC(SAS), ∴∠AFC=∠D=109°, ∴∠CFE=180°-∠AFC=71°, ∵∠ACB=80°,∠FAC=29°, ∴∠B=180°-∠ACB-∠FAC=71°, ∴∠B=∠CFE, ∴CF=BC, ∵CE⊥AB, ∴BF=2BE=6, ∴AB=AF+BF=10+6=16, ∴AB的长为16. 精练7 最短路径 1.C 2.C 3.D 4.13 5.16 6.7 7.1000 8.解:如图,AC-CD-DB即为最短路径. % # #
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$ 8 ! O 9.解:(1)如图,建立平面直角坐标系,△A' B'C'即为所求. Z Y0 $ " # "
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(2)如图,点P 即为所求. ·901·